有關階乘的算法，不外乎兩個方面：一是高精度計算;二是與數(shù)論相關。

　　一。 高精度計算階乘

　　這實際上是最沒有技術含量的問題，但是又會經(jīng)常用到，所以還是得編寫，優(yōu)化它的計算。

　　首先看小于等于12的階乘計算(計算結果不會超出32位范圍)：

　　int factorial(int n) {

　　if (n == 1 || n == 0)

　　return 1;

　　return factorial(n-1)*n;

　　}

　　這個遞歸程序簡單明了，非常直觀，然而一旦n > 12，則超過32位int型的范圍出現(xiàn)錯誤結果，所以上面這個遞歸程序僅適合n <= 12的階乘計算，為了計算較大n的階乘，需要將高精度乘法算法納入到階乘計算中來，高精度乘法過程可以如下簡單的描述：(其中A * B = C，A[0], B[0], C[0]分別存儲長度)

　　for (i = 1; i <= A[0]; i++)

　　for (j = 1; j <= B[0]; j++) {

　　C[i+j-1] += A[i]*B[j]; // 當前i+j-1位對應項 + A[i] * B[j]

　　C[i+j] += C[i+j-1]/10; // 它的后一位 + 它的商(進位)

　　C[i+j-1] %= 10; // 它再取余即可

　　}

　　C[0] = A[0] + B[0];

　　while (C[0] > 1 && C[C[0]] == 0) C[0]--; // 去頭0，獲得實際C的長度

　　有了這個高精度乘法之后，計算階乘就可以簡單的迭代進行：

　　for (i = 2; i <= n; i++) {

　　將i轉換成字符數(shù)組;

　　執(zhí)行高精度乘法：將上一次結果乘上i

　　}

　　二。 與數(shù)論有關

　　由于階乘到后面越來越大，巧妙的利用數(shù)論求得一些有趣的數(shù)字(數(shù)值)等成為階乘算法的設計點，下面給出幾道相關的問題與分析： www.liuhebao.com

　　(1) 計算階乘末尾第一個非0數(shù)字：

　　這是一個比較經(jīng)典的問題，比較復雜的算法是利用一個艱難的數(shù)學公式，可惜我不會，從網(wǎng)上的資料學習中，整理出下面這個簡單易懂的算法：

　　觀察n!，可以發(fā)現(xiàn)在乘的過程中，對于任意 n > 1，n!的末尾第一個非0數(shù)字都是偶數(shù)。我們只需保留最后一位非零數(shù)。當要乘的數(shù)中含有因數(shù)5時，我們可以把所有的因數(shù)5都當作8來乘。這是因為：

　　…x2*5=…10(舍)或…60，最后一位非零數(shù)為6。而恰好2*8=16，末位為6。

　　…x4*5=…70(舍)或…20，最后一位非零數(shù)為2。而恰好4*8=32，末位為2。

　　…x6*5=…30(舍)或…80，最后一位非零數(shù)為8。而恰好6*8=48，末位為8。

　　…x8*5=…90(舍)或…40，最后一位非零數(shù)為4。而恰好8*8=64，末位為4。

　　(對于n > 1時，最后一位不會出現(xiàn) 1, 7, 3, 9，而永遠是2, 4, 6, 8的循環(huán)出現(xiàn))

　　因此，在迭代作乘法時，主要就是計算因子5的數(shù)量，同時可見因子5的個數(shù)以4為循環(huán)節(jié)(即只需要取它的數(shù)量對4取模)。那么對于不同情況下的因子5的數(shù)量，可以通過res[5][4] = {{0,0,0,0}, {2,6,8,4}, {4,2,6,8}, {6,8,4,2}, {8,4,2,6}}來得到，使用nonzero[i]表示i的階乘的最后一位，那么：

　　如果t是偶數(shù)，則直接乘：nonzero[i] = (nonzero[i-1]*t)%10。

　　否則nonzero[i] = res[((nonzero[i-1]*t)%10)/2][five];

　　其中t是除掉所有因子5的結果，five為因子5數(shù)量對4的模。相關題目：

　　http://acm.zju.edu.cn的第1222題。不過這一道題注意的是，它的輸入n并非只在32位int數(shù)值范圍內，而是有很大的長度，所以計算這道變態(tài)題目時，需要利用到高精度除法(n/=5)和高精度加法(cnt+=n)。

　　(2)。 階乘末尾有多少個0

　　分析發(fā)現(xiàn)，實際上形成末尾0，就是因子5的數(shù)量，而計算1~n之間包含一個因子i的個數(shù)的簡單算法就是：

　　cnt = 0; while (n) { n /= i; cnt += n; }

　　因此，直接將i換成5，就可以得到因子5的數(shù)量，也即n!末尾0的數(shù)量。

　　(3)。 返回階乘左邊的第二個數(shù)字

　　簡單算法：用實數(shù)乘，超過100就除以10，最后取個位即可。因為整數(shù)部分的個位就是階乘結果左邊的第二個數(shù)字。相關題目： www.yzyedu.com

　　(4)。 判斷數(shù)值 m 是否可以整除 n!

　　算法：使用素因子判斷法

　　A. 首先直接輸出兩種特殊情況：

　　m == 0 則 0肯定不會整除n!;

　　n >= m 則 m肯定可以整除n!;

　　B. 那么就只剩最后一種情況：m > n，我們從m的最小素因子取起，設素因子為i那么可以 求得m的素因子i的個數(shù) nums1;再檢查閉區(qū)間 i ~ n 之間的數(shù)，一共包含多少個素因子i，就可以簡單的利用上面(2)中所介紹的數(shù)學公式進行計算得到nums2。如果nums2 < nums1，就表示1 ~ n中包含素因子的數(shù)量 < 除數(shù)m包含素因子i的數(shù)量，那么m必然不能整除n!，置ok = false。 www.yzjxsp.com

　　C. 最后：如果 !ok or m > n or m == 0 則不能整除;否則可以整除

　　(5)。數(shù)字N能否表示成若干個不相同的階乘的和：

　　這里可以選擇的階乘為：0! ~ 9!，實際上這一題與數(shù)論無關，與搜索有關。相關題目：http://acm.zju.edu.cn 的2358題。

　　分析，由于可供選擇的階乘數(shù)量較少，直接可以利用DFS搜索來做：

　　A. 首先將0 ~ 9的階乘作一個表A[10];再設置一個可以組成“和”的數(shù)組ans[N]。

　　B. 深度優(yōu)先搜索方法：

　　search(n) {

　　for(i = n; i <= 9; i++) {

　　sum += A[i]; //求和

　　如果sum在ans數(shù)組中不存在，則將sum插入到ans[]數(shù)組中

　　search(n+1);

　　sum -= A[i]; //回溯

　　}

　　}

　　C. 最后對于輸入n，就在ans數(shù)組中查找是否存在n，如果存在，則表示n可以表示成不同的階乘和，否則不行。