xrP(x)     x3(x3+x2)     x6+x5                    x
     -------- = ---------- = -------- = (x3+x2+x) + --------
       G(x)       x3+x+1      x3+x+1                 x3+x+1

               1110
            -------   
      1011 /1100000     (1100左移3位)
            1011
            ----
             1110
             1011
             -----
              1010
              1011
              -----
               0010
               0000
               ----
                010

       T(x)     x6+x5+x
      ------ = --------- = x3+x2+x,
       G(x)     x3+x+1

    *  生成多項式的最高冪次項系數是固定的1，故在簡記式中，將最高的1統一去掉了，如04C11DB7實際上是104C11DB7。
    ** 前稱CRC-CCITT。ITU的前身是CCITT。

4.CRC算法的實現
---------------
要用程序實現CRC算法，考慮對第2節的長除法做一下變換，依然是M = 11100110，G = 1011，
其系數r為3。
                                           
             11001100                      11100110000    
         -------------                     1011   
    1011 )11100110000                      -----------
          1011.......                       1010110000   
          ----.......                      1010110000
           1010......                      1011
           1011......        ===>          -----------
           ----......                       001110000    
              1110...                      1110000
              1011...                      1011
              ----...                      -----------
               1010..                       101000       
               1011..                      101000
               ----                        1011
                  100  <---校驗碼          -----------
                                            00100        
                                            100           <---校驗碼
                                           
程序可以如下實現：
    1)將Mx^r的前r位放入一個長度為r的寄存器；
    2)如果寄存器的首位為1，將寄存器左移1位(將Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB)，
      再與G的后r位異或，否則僅將寄存器左移1位(將Mx^r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB)；
    3)重復第2步，直到M全部Mx^r移入寄存器；
    4)寄存器中的值則為校驗碼。                                       

用CRC16-CCITT的生成多項式0x1021，其C代碼(本文所有代碼假定系統為32位，且都在VC6上
編譯通過)如下：

unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len)
{
    int i, j;
    unsigned short crc_reg;
       
    crc_reg = (message[0] << 8) + message[1];
    for (i = 0; i < len; i++)
    {
        if (i < len - 2)
            for (j = 0; j <= 7; j++)
            {
                if ((short)crc_reg < 0)
                    crc_reg = ((crc_reg << 1) + (message[i + 2] >> (7 - i))) ^ 0x1021;
                else
                    crc_reg = (crc_reg << 1) + (message[i + 2] >> (7 - i));     
            }
         else
            for (j = 0; j <= 7; j++)
            {
                if ((short)crc_reg < 0)
                    crc_reg = (crc_reg << 1) ^ 0x1021;
                else
                    crc_reg <<= 1;            
            }        
    }
    return crc_reg;
} 

顯然，每次內循環的行為取決于寄存器首位。由于異或運算滿足交換率和結合律，以及與0異
或無影響，消息可以不移入寄存器，而在每次內循環的時候，寄存器首位再與對應的消息位
異或。改進的代碼如下：

unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len)
{
    int i, j;
    unsigned short crc_reg = 0;
    unsigned short current;
       
    for (i = 0; i < len; i++)
    {
        current = message[i] << 8;
        for (j = 0; j < 8; j++)
        {
            if ((short)(crc_reg ^ current) < 0)
                crc_reg = (crc_reg << 1) ^ 0x1021;
            else
                crc_reg <<= 1;
            current <<= 1;           
        }
    }
    return crc_reg;
}

以上的討論中，消息的每個字節都是先傳輸MSB，CRC16-CCITT標準卻是按照先傳輸LSB，消息
右移進寄存器來計算的。只需將代碼改成判斷寄存器的LSB，將0x1021按位顛倒后(0x8408)與
寄存器異或即可，如下所示：

unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len)
{
    int i, j;
    unsigned short crc_reg = 0;
    unsigned short current;
       
    for (i = 0; i < len; i++)
    {
        current = message[i];
        for (j = 0; j < 8; j++)
        {
            if ((crc_reg ^ current) & 0x0001)
                crc_reg = (crc_reg >> 1) ^ 0x8408;
            else
                crc_reg >>= 1;
            current >>= 1;           
        }
    }
    return crc_reg;
}   

該算法使用了兩層循環，對消息逐位進行處理，這樣效率是很低的。為了提高時間效率，通
常的思想是以空間換時間。考慮到內循環只與當前的消息字節和crc_reg的低字節有關，對該
算法做以下等效轉換：

unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len)
{
    int i, j;
    unsigned short crc_reg = 0;
    unsigned char  index;
    unsigned short to_xor;
      
    for (i = 0; i < len; i++)
    {
        index = (crc_reg ^ message[i]) & 0xff;
        to_xor = index;      
        for (j = 0; j < 8; j++)
        {
            if (to_xor & 0x0001)
                to_xor = (to_xor >> 1) ^ 0x8408;
            else
                to_xor >>= 1;          
        }
        crc_reg = (crc_reg >> 8) ^ to_xor;
    }
    return crc_reg;
}

現在內循環只與index相關了，可以事先以數組形式生成一個表crc16_ccitt_table，使得
to_xor = crc16_ccitt_table[index]，于是可以簡化為：

unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len)
{
    unsigned short crc_reg = 0;
         
    while (len--)
        crc_reg = (crc_reg >> 8) ^ crc16_ccitt_table[(crc_reg ^ *message++) & 0xff];
       
    return crc_reg;
}  

crc16_ccitt_table通過以下代碼生成：

int main()
{
    unsigned char index = 0;
    unsigned short to_xor;
    int i;

    printf("unsigned short crc16_ccitt_table[256] =\n{");
    while (1)
    {
        if (!(index % 8))
            printf("\n");
       
        to_xor = index;      
        for (i = 0; i < 8; i++)
        {
            if (to_xor & 0x0001)
                to_xor = (to_xor >> 1) ^ 0x8408;
            else
                to_xor >>= 1;          
        }           
        printf("0x%04x", to_xor);
       
        if (index == 255)
        {
            printf("\n");
            break;
        }
        else
        {
            printf(", ");
            index++;
        }
    }
    printf("};");
    return 0;
}

生成的表如下：

unsigned short crc16_ccitt_table[256] =
{
0x0000, 0x1189, 0x2312, 0x329b, 0x4624, 0x57ad, 0x6536, 0x74bf,
0x8c48, 0x9dc1, 0xaf5a, 0xbed3, 0xca6c, 0xdbe5, 0xe97e, 0xf8f7,
0x1081, 0x0108, 0x3393, 0x221a, 0x56a5, 0x472c, 0x75b7, 0x643e,
0x9cc9, 0x8d40, 0xbfdb, 0xae52, 0xdaed, 0xcb64, 0xf9ff, 0xe876,
0x2102, 0x308b, 0x0210, 0x1399, 0x6726, 0x76af, 0x4434, 0x55bd,
0xad4a, 0xbcc3, 0x8e58, 0x9fd1, 0xeb6e, 0xfae7, 0xc87c, 0xd9f5,
0x3183, 0x200a, 0x1291, 0x0318, 0x77a7, 0x662e, 0x54b5, 0x453c,
0xbdcb, 0xac42, 0x9ed9, 0x8f50, 0xfbef, 0xea66, 0xd8fd, 0xc974,
0x4204, 0x538d, 0x6116, 0x709f, 0x0420, 0x15a9, 0x2732, 0x36bb,
0xce4c, 0xdfc5, 0xed5e, 0xfcd7, 0x8868, 0x99e1, 0xab7a, 0xbaf3,
0x5285, 0x430c, 0x7197, 0x601e, 0x14a1, 0x0528, 0x37b3, 0x263a,
0xdecd, 0xcf44, 0xfddf, 0xec56, 0x98e9, 0x8960, 0xbbfb, 0xaa72,
0x6306, 0x728f, 0x4014, 0x519d, 0x2522, 0x34ab, 0x0630, 0x17b9,
0xef4e, 0xfec7, 0xcc5c, 0xddd5, 0xa96a, 0xb8e3, 0x8a78, 0x9bf1,
0x7387, 0x620e, 0x5095, 0x411c, 0x35a3, 0x242a, 0x16b1, 0x0738,
0xffcf, 0xee46, 0xdcdd, 0xcd54, 0xb9eb, 0xa862, 0x9af9, 0x8b70,
0x8408, 0x9581, 0xa71a, 0xb693, 0xc22c, 0xd3a5, 0xe13e, 0xf0b7,
0x0840, 0x19c9, 0x2b52, 0x3adb, 0x4e64, 0x5fed, 0x6d76, 0x7cff,
0x9489, 0x8500, 0xb79b, 0xa612, 0xd2ad, 0xc324, 0xf1bf, 0xe036,
0x18c1, 0x0948, 0x3bd3, 0x2a5a, 0x5ee5, 0x4f6c, 0x7df7, 0x6c7e,
0xa50a, 0xb483, 0x8618, 0x9791, 0xe32e, 0xf2a7, 0xc03c, 0xd1b5,
0x2942, 0x38cb, 0x0a50, 0x1bd9, 0x6f66, 0x7eef, 0x4c74, 0x5dfd,
0xb58b, 0xa402, 0x9699, 0x8710, 0xf3af, 0xe226, 0xd0bd, 0xc134,
0x39c3, 0x284a, 0x1ad1, 0x0b58, 0x7fe7, 0x6e6e, 0x5cf5, 0x4d7c,
0xc60c, 0xd785, 0xe51e, 0xf497, 0x8028, 0x91a1, 0xa33a, 0xb2b3,
0x4a44, 0x5bcd, 0x6956, 0x78df, 0x0c60, 0x1de9, 0x2f72, 0x3efb,
0xd68d, 0xc704, 0xf59f, 0xe416, 0x90a9, 0x8120, 0xb3bb, 0xa232,
0x5ac5, 0x4b4c, 0x79d7, 0x685e, 0x1ce1, 0x0d68, 0x3ff3, 0x2e7a,
0xe70e, 0xf687, 0xc41c, 0xd595, 0xa12a, 0xb0a3, 0x8238, 0x93b1,
0x6b46, 0x7acf, 0x4854, 0x59dd, 0x2d62, 0x3ceb, 0x0e70, 0x1ff9,
0xf78f, 0xe606, 0xd49d, 0xc514, 0xb1ab, 0xa022, 0x92b9, 0x8330,
0x7bc7, 0x6a4e, 0x58d5, 0x495c, 0x3de3, 0x2c6a, 0x1ef1, 0x0f78
};

這樣對于消息unsigned char message[len]，校驗碼為：
    unsigned short code = do_crc(message, len);
并且按以下方式發送出去：
    message[len] = code & 0x00ff;
    message[len + 1] = (code >> 8) & 0x00ff;
   
接收端對收到的len + 2字節執行do_crc，如果沒有差錯發生則結果應為0。

在一些傳輸協議中，發送端并不指出消息長度，而是采用結束標志，考慮以下幾種差錯：
    1)在消息之前，增加1個或多個0字節；
    2)消息以1個或多個連續的0字節開始，丟掉1個或多個0；
    3)在消息(包括校驗碼)之后，增加1個或多個0字節；
    4)消息(包括校驗碼)以1個或多個連續的0字節結尾，丟掉1個或多個0；
   
顯然，這幾種差錯都檢測不出來，其原因就是如果寄存器值為0，處理0消息字節(或位)，寄
存器值不變。為了解決前2個問題，只需寄存器的初值非0即可，對do_crc作以下改進：
 
unsigned short do_crc(unsigned short reg_init, unsigned char *message, unsigned int len)
{
    unsigned short crc_reg = reg_init;
         
    while (len--)
        crc_reg = (crc_reg >> 8) ^ crc16_ccitt_table[(crc_reg ^ *message++) & 0xff];
       
    return crc_reg;
}

在CRC16-CCITT標準中reg_init = 0xffff，為了解決后2個問題，在CRC16-CCITT標準中將計
算出的校驗碼與0xffff進行異或，即：
    unsigned short code = do_crc(0xffff, message, len);
    code ^= 0xffff;
    message[len] = code & 0x00ff;
    message[len + 1] = (code >> 8) & 0x00ff;  
   
顯然，現在接收端對收到的所有字節執行do_crc，如果沒有差錯發生則結果應為某一常值
GOOD_CRC。其滿足以下關系：
    unsigned char p[]= {0xff, 0xff};
    GOOD_CRC = do_crc(0, p, 2);
其結果為GOOD_CRC = 0xf0b8。