二、仿射變換(轉)

仿射變換是空間直角坐標變換的一種，它是一種二維坐標到二維坐標之間的線性變換，保持二維圖形的“平直線”和“平行性”，其可以通過一系列的原子變換的復合來實現，包括平移(Translation)、縮放（Scale）、翻轉（Flip）、旋轉（Rotation）和剪切(Shear)。

此類變換可以用一個3×3的矩陣來表示，其最后一行為(0, 0, 1)。該變換矩陣將原坐標(x, y)變換為新坐標(x', y')，這里原坐標和新坐標皆視為最末一行為(1)的三維列向量，原列向量左乘變換矩陣得到新的列向量：

[x']   [m00 m01 m02] [x]   [m00*x+m01*y+m02]

[y'] = [m10 m11 m12] [y] = [m10*x+m11*y+m12]

[1 ]   [ 0   0   1 ] [1]   [     1         ]

用代數式表示如下：

x’ = m00*x+m01*y+m02；

             y’ = m10*x+m11*y+m12；

如果將它寫成按旋轉、縮放、平移三個分量的復合形式，則其代數式如下：

    其示意圖如下：

幾種典型的仿射變換：

1.public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)

平移變換，將每一點移動到(x+tx, y+ty)，變換矩陣為：

[   1    0    tx  ]

[   0    1    ty  ]

[   0    0    1   ]

（譯注：平移變換是一種“剛體變換”，rigid-body transformation，中學學過的物理，都知道啥叫“剛體”吧，就是不會產生形變的理想物體，平移當然不會改變二維圖形的形狀。同理，下面的“旋轉變換”也是剛體變換，而“縮放”、“錯切”都是會改變圖形形狀的。） 

2.public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)

縮放變換，將每一點的橫坐標放大（縮小）至sx倍，縱坐標放大（縮小）至sy倍，變換矩陣為：

[   sx   0    0   ]

[   0    sy   0   ]

[   0    0    1   ]

3.public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)

剪切變換，變換矩陣為：

[   1   shx   0   ]

[  shy   1    0   ]

[   0    0    1   ]

相當于一個橫向剪切與一個縱向剪切的復合

[   1      0    0   ][   1   shx   0   ]

[  shy    1    0   ][   0     1   0  ]

[   0      0    1   ][   0     0    1  ]

（譯注：“剪切變換”又稱“錯切變換”，指的是類似于四邊形不穩定性那種性質，街邊小商店那種鐵拉門都見過吧？想象一下上面鐵條構成的菱形拉動的過程，那就是“錯切”的過程。） 

4.public static AffineTransform getRotateInstance(double theta)

旋轉變換，目標圖形圍繞原點順時針旋轉theta弧度，變換矩陣為：

[   cos(theta)    -sin(theta)    0   ]

[   sin(theta)     cos(theta)    0   ]

[       0           0            1   ] 

5.public static AffineTransform getRotateInstance(double theta, double x, double y)

旋轉變換，目標圖形以(x, y)為軸心順時針旋轉theta弧度，變換矩陣為：

[   cos(theta)    -sin(theta)    x-x*cos+y*sin]

[   sin(theta)     cos(theta)    y-x*sin-y*cos ]

[       0              0          1            ]

相當于兩次平移變換與一次原點旋轉變換的復合：

[1  0  -x][cos(theta)  -sin(theta)  0][1  0  x]

[0  1  -y][sin(theta)   cos(theta)  0][0  1  y]

[0  0  1 ][   0           0        1 ][0  0  1]