《離散數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》第六版1.1練習(xí)題第43題的個人分析
題目：在一個100條語句的列表中，第n條語句是“在這個列表中，恰有n條語句為假”..........
a）從這些語句中得出什么結(jié)論
b) 若第n條語句是”至少有n條語句為家“，結(jié)論是什么
c）假設(shè)包含99條語句，回答b
答案網(wǎng)上都有，我是給出自己的分析過程：（思路大概是：如果這句話話為真，推出這句話的內(nèi)容為真，由這句話的內(nèi)容又能推出其余話的是不是為真，再根據(jù)其余話的內(nèi)容來判斷是不是矛盾。
主要就是看這句話為真與這句話的內(nèi)容為真是不是矛盾。分清這句話和這句話的內(nèi)容，就明了了）a）p1，p2,.....p100分別代表這個100條語句。
假設(shè)p1為真，根據(jù)p1的內(nèi)容，既然只有1個語句為假了，那后面的99條語句說的全不是只有1個為假，說明后面99條全為假。可既然后面99條全為假了，那說明這個列表有99條為假，但是p1說只有1個為假，條件和結(jié)論相矛盾。所以假設(shè)不成立，說明p1為假。
同樣的方法推斷p2。假設(shè)p2為真，根據(jù)p2內(nèi)容，后面的98條全是假的了，再算上p1已經(jīng)為假了，說明列表里有99條為假，與p2內(nèi)容矛盾。所以假設(shè)不成立，說明p2也為假。
同樣推斷出p3到p98也都是假的。
再看p99，假設(shè)p99為真，首先前面98條已經(jīng)證明為假的了，再根據(jù)p99的內(nèi)容”恰有99條為假“，還差1條，說明p100肯定為假。而從p100的內(nèi)容”恰有100條語句“來判斷，p100也確實(shí)為假（因?yàn)閜99為真的，所以p100的內(nèi)容是不對的）。這個由條件到結(jié)果是不矛盾的。保險起見，再假設(shè)p99為假的，因?yàn)榍懊?8個已經(jīng)證明為假了，而p99也假設(shè)為假了，現(xiàn)在共有99條假的了，再根據(jù)p99的內(nèi)容，說明p100也必須為假，因?yàn)槿绻鹥100為真的話，那p99就是真話了。如果p100也為假的話，那說明這個列表全部都為假了，可是這樣又到底了p100的內(nèi)容是真的，條件到結(jié)論矛盾。再次證明了p99為真
再看p100，現(xiàn)在已知98都為假，p99為真，p99既然為真，那他的內(nèi)容就是一個事實(shí)”恰有99條為假“，還差1條，只能說明p100為假了，如果p100為假的話，那么p100所陳述的內(nèi)容就是假的，而事實(shí)也確實(shí)說明p100的內(nèi)容為假。
所以最后的結(jié)果是：除了p99，其余全為假。b）這個要反過來推到
先假設(shè)p100為真，那p100的內(nèi)容就是真的”至少有100條假“，因?yàn)榭偣簿?00條，說明全都為假，可既然100條都是假，那p100也是假的，又矛盾了。表明p100應(yīng)該為假的。（也可以從另外一個角度證明，p100的內(nèi)容”至少有100條假“是真的，說明”至少有99條、98條、1條為假“都是真的，前面99條都為真的，那怎么還能至少100條為假呢，矛盾。表明p100為假）
同樣方法推斷p99，假設(shè)p99為真，由p99的內(nèi)容推斷p1到p98都為真，而p1到p98都為真顯然是與p99的內(nèi)容不符合的，矛盾。表明p99為假。
同樣推斷出p98到p51都為假的。
再看p50，假設(shè)p50為真，由p50的內(nèi)容推斷p1到p49也都為真，說明50條為假的語句只能是p51到p100了，而事實(shí)上p51到p100也確實(shí)都為假，不矛盾。表明p50應(yīng)該為真。保險期間，我們再假設(shè)p50為假，那說明p50的內(nèi)容”至少50條語句為假“是不對的，可是p51到p100這50條語句已經(jīng)證明為假了，矛盾。再次表明p50應(yīng)該為真。
接著看p49，假設(shè)p49為真，由p49的內(nèi)容推斷p1到p48都為真，而p51到p100都為假，也論證了p49的內(nèi)容是沒錯的，沒有矛盾。p49為真
同理推斷出p48到p1也都為真。
所以最后的結(jié)果是：p1到p50為真，其余為假。c）同樣方法推斷出p99到p51為假
推斷p50，假設(shè)p50為真，由其內(nèi)容推斷出p1到p49都為真，一共99條語句，p1到p49為真，p50也假設(shè)為真了，只剩下49條語句根本湊不成50條為假了，所以矛盾，p50為假。可是p50如果為假的，由于p51到p99這49條已經(jīng)為假了，再加上p50又為假，說明這個列表確實(shí)至少有50個為假，這樣說明p50的內(nèi)容是對的，p50應(yīng)該是真的，再次矛盾。可見無論p50為真還是為假，都矛盾。
說明這是個悖論。