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一，序

一轉眼來美國讀這個Econ 的PHD已經兩年了，從剛來時的懵懵懂懂與對這邊PHD生活的新奇感到現在的每周7天只能休息一個晚上的Extremely Exhausted（個人時間安排不好，每學期選課老是貪多，還有可能就是我太笨了），從剛來時去開個銀行賬戶因為英語不好都差點沒開成到這個學期其中三 門課做了四堂Presentation而且越做越來勁，甚至都有點Enjoy這個過程（當然口語依然是差強人意）。回頭看來，時間好似過了很長，又好似所 有的都是在昨天；路好像走過了很遠，但又好像只是完成了美國大街上的一個Block；東西好像學了很多，但是又好像只是了解了點皮毛，離著運用自如依然有 孫悟空一個筋斗云才可以完成的距離，總之真是感慨頗多。不過正是由于這樣的感覺，我才有了寫一個自我安慰的學習總結，算是對這兩年學習生活的回顧，給自己 一個一段路已經結束，需要踏上另一段征程的心理暗示。同時，希望我的學習過程以及對相關課本的個人感覺，能對已經在路上或者即將上路的兄弟姐妹們有一個幫 助（怎么感覺象去法場？）。希望覺得有幫助的或者能從里面找到一點共同的經歷的兄弟姐妹們對著它會心一笑，更希望與我有不同觀點的人說說他們的感受，從而 讓別人對這個過程有著更明確的認識，以免我的愚見對別人產生負面影響，這是我最不希望看到的。好了，突然發現自己變得好羅唆，也許是英文看多了用多了的緣 故，還是中文更Sharp一點在表達意思上（也可能是自己中英文水平都差）。好了，廢話少說，現在開始。

二，我這個總結的用處？

第一， 對自己的學習算是個回顧總結。

第二， 你可以了解美國這邊Econ PHD上的一些課，怎么上課這邊

第三， 不論是在國內讀博的同學還是要到這邊來開始PHD生活的兄弟姐妹，可以把它當作一個你自己學東西的參考，這里面雖是我個人的偏頗之見，但是很多關于上課的東西我覺得還是有一定代表性的（我現在一個常青藤學校）

第 四， 對于來要來美讀PHD的同學，我相信從我的總結里你可以找到一個帶書的List，因為我推薦的大部分書都是在國內有影印版的，帶過來會省下你一大筆開銷， 初步估計1000刀左右。自從來美后，不算我從國內帶過來的那些書，我在這邊為了買書已經花了1500多刀了，其中很多是國內有影印版但是當時沒帶來，或 者影印版是最近才才出的。

三，兩點聲明：

第一， 我這里面經常會中英文混雜，不要認為我顯擺，我都習慣這樣亂用了，就寬恕我吧；更不要罵我假洋鬼子，我會很不舒服，我是中國人。

第 二， 我個人不是很贊同花很多時間在論壇上發帖子，寫Blog什么的，至少對我來說，寫這種個人感想的東西都是很認真的講自身感受，所以特別費時間，有這些精力 你去多學一門課多好。當然，純粹個人觀點，僅供參考。但是對我來說，這可能是從過去兩年到未來兩年內唯一的一篇個人感想了。當然，如果新的經歷積累到了一 定程度，我想我會再寫下一篇的（誰會點我寫不寫呢？呵呵）。

四，個人數學，經濟學等相關學科的背景：

把這個加上是因為 我覺得任何經驗介紹以及課本推薦都是基于個人背景的，我覺得容易的東西可能別人覺得難，而相反我覺得難的東西別人可能覺得相當簡單。把個人背景加上，這樣 希望借鑒我經驗的人就可以對照著看是否我說的適合不適合，如果背景比我好，可以把難度適當加大點；如果覺得背景比我稍差點（我估計基本沒有了！），可以適 當的從稍微基礎點的地方開始。我本科專業是管理科學與工程，學校就不說了。

我本科學的數學相當于考研的數一，Calculus一年，Linear Algebra一學期, Probability and Statistics一學期。我相信大部分經管類的學生學的數學課也都是這些，不過有的講的深一點，有的就講的很淺。 總的來說，Univariate Calculus 我掌握的很好，因為我很喜歡那些證明題，比如Mean-Value Theorem那一塊的東西，Multivariate 部分不好，這塊是國內數學教學的一大問題，拿我所在學校的數學系來說，Multivariate Calculus也是一個巨大的問題，通常大部分是計算題，不以Linear Algebra為基礎將那些重要的定理進行證明，如果你看一下《Principle of Mathematical Analysis》(以下簡稱為Baby Rudin，他寫的三本書我都會詳細介紹，這是第一本)，你就明白這種差距了。其他學校也應該差不多，拿北大來說，張筑生老師的《數學分析新講》我也讀 過，已經非常非常好了算是，但是感覺在難度上仍舊跟《Baby Rudin》差著一些。Linear Algebra 我學的很好，基本上計算部分不是任何問題，但是跟國外這邊數學系Honors Courses還是有差距的（國外這邊Undergraduate課程分為兩個Sequence，一個是基礎的，以計算概念為主，另一個是純理論的，一般 叫做Hounors Courses，不同的地方叫法不一樣可能，但都是以證明為主，修這些課的人基本都是以后要讀Graduate School的）。Probability and Statistics基本是只學的基礎概率，統計講的很少。這導致我后來不得不去修大量的數理統計理論課程。純數學的課程就是這樣了，還有一些應用數學的 課程，比如我本科學了一年的Operation Research，內容就是那些Linear Programming and nonlinear Programming，排隊論什么的優化方法，這其實正好是數理經濟學的內容，所以對我幫助挺大的。其他的主要是計算機課程，學過很多編程語言以及數據 庫（PASCAL，C，C＋＋，Data Structure等等），對我現在的好處就是見了什么新軟件根本不害怕，雖然不同編程語言語法不太一樣，但是原理都是那樣的。我本科經濟學基本上沒什 么，只是一門微觀經濟學，不過那個老師課講的非常好，所以導致了我后來的轉專業考研。

我的研究生是在同一學校讀的，這里是比較有遠見的，開了高級微觀，高級宏觀，高級計量這些課程，用的教材也算是不錯，算是給我們開闊了眼界，導致了我后來 申請出國。微觀用的《Maschollel》，自我感覺學的可以，因為那些優化工具我都還算知道；宏觀用的《Romer》，一塌*涂，因為不會動態的優化 工具；計量用的《Green》，由于概率統計基礎不好，導致只是死記了幾個公式，根本不明白是什么回事。后來還上了動態優化，金融經濟學（用的黃奇輔那本 書）。這便是研究生階段學到的經濟學。這個階段我最重要的一個決定就是去數學系選修數學課，因為老是看不懂很多課本，比如Duffie 的《Dynamic Asset Pricing》等等，基本是除了最基本的經濟學書其他的都看不懂，因為里面的數學我不明白。最后實在忍受不了那種瞎猜胡蒙的感覺，我決定去數學系修課， 實際只能旁聽，因為我們好像沒有這種外系可以到數學系修學分的機制，雖然國內有些學校比如北大是可以，但是畢竟還是太少了啊。很多想申請Econ PHD的本身讀經濟的同學，知道數學重要，但是卻沒有辦法去修課來補，真是一大憾事，我相信如果可以的話，許多同學通過修數學課是可以進入更好一點甚至是 TOP的學校的。我先后在數學系聽了實變函數，隨機過程（不基于測度論的，因為是本科課程），泛函分析，概率論（用的復旦那本著名的教材，李賢平寫的）， 數理統計，測度論（用的是北師大嚴士健 <測度與概率> <概率論基礎，以及嚴加安老師的《測度論講義》，還有因為這些書看不明白了，我自己讀了一部分鐘開萊的《A Course in Probability》）。這便是我來美學習前所有的數學經濟學背景了。

五，純數學課程科目與教材推薦

由于現在純數學大概按照分析，幾何與拓撲，代數三個大方向來分類，所以我也按照這個分類來一門一門的看，概率與數理統計我放到另外一部分來講。

1：Analysis：

1.1：Mathematical Analysis

上 面我已經說過，微積分或者數學分析在美國這邊分為兩個Sequences,基礎的Sequence主要講Intuition，概念以及計算，我相信大家都 已經很熟。但是第二個Sequence才是精華，這個Sequence是一年的，主要教材為《Baby Rudin》，或者Strichartz的《 The Way of Analysis》，又或者Apostol 的《Mathematical Analysis》。 《Baby Rudin》最為嚴格，基礎不好的人看起來比較枯燥，但是It deserves a year’s effort. 如果花上一年的時間講其學好，個人認為將會受益終生，不論將來你做哪個方向。Apostol相對比較有趣點，包含了很多計算的內容，而且還包含了 Complex Analysis的簡單介紹，而Strichartz則是從一種純粹Intuition的角度出發來講述整個Calculus體系，用詞非常口語化，評價 則是褒貶不一。

關于這門課的重要性，我有這么一個故事。 剛來美學習時，系里夏天就安排了一個Summer Math Camp，這種安排據我所知是幾乎美國好一點的Econ PHD Program都會有的，內容就是給學生復習Calculus以及Linear Algebra的東西，從而讓學生早一點進入狀態以便更好的進行第一年Core Course（微觀，宏觀，計量以及數理經濟學）的學習。我們在Summer Math Camp完了后有個考試，內容就是關于數理經濟學的，如果你能考過，就可以免修第一學期的Math Econ，我幸運的得以免修。還有幾個同學也過了，結果我們就收到了Director of Graduate Studies的email，建議我們免修這個課的人去數學系修Honors Course for Analysis。而且，等第一年考過Qualify后，很多同學也被建議去修這個Sequence，從而導致我認識的人，不論做微觀，宏觀，計 量，IO，還是Development幾乎都修過這個課，至少是這個Sequence的第一學期的課。由此可見，基本的Mathematical Analysis是多么的重要。

個人建議：Baby Rudin與Apostol國內都有英文版（強烈建議，有英文版一定要看，千萬不要讀翻譯過來的），基礎比較好點前者為主后者為輔，基礎感覺不是很 Strong的后者為主，前者為輔。這兩本書的大部分答案網上都可以找得到，不過一定要自己做，要不然等于沒學，切記切記！！！

1.2：Real Analysis

Mathematical Analysis是數學系Undergraduate將來進Graduate School的Core Course，而Real Analysis則是Math PHD Program的Core Course。一點需要特別注意的是，千萬不要將這門課跟國內的實變函數等同起來，光是內容就差的很多。國內的實變函數講的是n維歐式空間的測度與積分， 而Real Analysis則講的是抽象空間上的測度與積分，而且這只是第一部分內容，后面還有關于Lebesgue意義下微分與積分的關系，Measure Decomposition與Radon－Nikodym 定理，基本的Functional Analysis（Banach Space，Hilbert Space甚至包括Topological Vector Space的基本概念）以及基本的Fourier Analysis（Classic Case）。也就是說，除了一點Compact Operator Theory之外，這本課包括了國內數學系本科實變與泛函分析兩門課程的內容而且難度更大一點，當然這是針對我所在學校的數學系，其他學校不敢妄自揣測。

這 門課比較好的教材為Rudin的《Real and Complex Analysis》(前九章)，Folland <Real Analysis: Modern Techniques and their applications >，Royden的《Real Analysis》， Stein & Shakarchi <Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces>。前三本我前前后后都學過算是，第四本只是粗略的瀏覽過。 粗略評論一下：Rudin的寫法相信很多人都聽說過，極為簡略看起來，但是包含內容甚深，真的是部經典之作，還是那句話，吃透受益終生；Folland是 內容寫的最全最成體系的，除了包含Rudin所有書的內容外，還有專門兩章講基本的Point－Set Topology，以及專門的兩章講Fourier Analysis，而且證明寫的還是很明白的，個人很喜歡這本書；Royden第一部分則是先講了n維歐式空間的測度與積分理論，然后第二部分講基本的 Point－Set Topology以及Functional Analysis,第三部分才講抽象的測度與積分理論，內容也算是比較全，但是行文風格我自己很不適應，很多重要的結論只是在某段中一講，有的時候根本不 知道某個句子竟然是一個很重要的定理，極度的Informal，不過作為參考還是很好的；Stein & Shakarchi則是著名的Princeton Leture Notes系列的第三本，沒有細看，不過感覺作為Real Analysis的教材還是不夠，只能作為參考我覺得，不能作為主攻教材。

個人建議：這四本書國內都有英文影印版了，其中Folland好像是今年才新出來的（心疼啊，我在這邊花了50多刀買的），可以將Rudin與Folland作為主要教材，后兩本作為參考，認真學好。

1.3：Measure Theory

其 實把測度論寫在這里是重復了，因為測度論的內容實際上是上面Real Analysis的主干內容與基礎。之所以寫在這里是因為，有些學校比如我所在的學校，考慮到很多學生比如Statistics，Financial Engeering以及咱們Econ的學生學習測度論主要用來進一步學習基于Measure-theory 的Probability theory，他們用不到那么多的Analysis的知識，因此便將這一塊內容單獨抽出來設置課程（感覺老外課程設置都有點市場化的感覺）。主要內容包括 抽象空間上的測度與積分論與基本的泛函分析，因為泛函在Stochastic Process里面也是到處可見。當然，這里測度與積分講的更加深刻，我上這門課的時候，光是Radon-Nikodym定理就證了整整兩節課，到現在我 還能記得大概的證明思路。

這門課的主要教材我當時用的是Bartle的《The Elements of Integration and Lebesgue Measure》，一本薄薄的200頁教材花了我80刀，現在想來當時真是舍得花錢，換到現在肯定WS的從圖書館借出來然后去復印了。不過這80刀激勵的 我將這本書徹底涂成了一個花臉，到處都是Notes，想想也值了。其他的參考教材是Halmos的經典的GTM《Measure Theory》，這本書Measure Theory的經典，不過很多人覺得Notation有點老了，跟現在常用的不太一樣，比如測度的Caratheodry Extention Theorem現在都是從一個Sigama-Algebra開時，那本書好像是從Sigama-Ring開始的。嚴士健的那本 <測度與概率>關于這部分簡直是Halmos的翻版。還有本不錯的書就是Dudly的《Real Analysis and Probability》，因為這本書后面就是講Probability的，因此前面測度與積分的部分應付后面的Probability足夠了。當然，你 也可以參考前面Real Analysis部分的教材，比如Rudin《Real and Complex Analysis》與Royden，他們抽象測度與積分講的還是不錯的，其中Rudin證明Radon-Nikodym則是基于L^2空間的Rieze- Representation Theorem，是基于分析的，跟其他基于Measure-Decomposition的不一樣。

個 人建議：這門課跟Real Analysis是重復的，如果你學了前者，你只需要再補一下Measure Theory常用的證明技巧，比如Dynkin老先生的“PI－Lamda Theorem”，還有所謂的“Good Set-Bad Set”技巧等就沒什么問題了；如果你不想花那么多的時間來搞Real Analysis，那么你可以學這門課，Bartle國內沒有，我覺得可以用Halmos，Rudin的測度與積分部分，Halmos，或者再加上 Royden。這門課掌握了，如果你什么時候需要多一點的Analysis，你可以把上面Real Analysis的教材拿來，只看你不知道的就好了。

接著兩年來的學習總結二

1．4：Fourier Analysis（Classic）

Fourier Analysis真的很重要的，記得有人稱之為”Queen of Mathematics”,因為數學中無數的重要思想都來在于對這個領域的研究。它跟PDE那是緊密相連；Probability里面的 Characteristic Function就是一個Fourier Transform；Time Series的Spectrum就是Auto-covariance Function的Fourier Transform；統計與計量中講Empirical Characteristic Function作為進行Specification Test的基本工具，還有好多好多例子說明它在不同領域中的應用。

不過這門課很少單獨作為一門課被講解，我是從前面的1.2 Real Analysis與后面要介紹的Wavelet Analysis兩門課中各學了一半算是。Classic 的Fourier Analysis主要是研究Fourier Series 展開與Fourier Transform成立的條件，主要推薦的書為Stein & Shakarchi 的《Fourier Analysis：An Introduction》這是Princeton Lecture Notes In Analysis的第一本，也是大師Stein的主要工作領域（他的名著的調和分析三部曲想必很多人知道），看看這本書的前言你就可以了解為什么 Fourier Analysis這么重要。不過這本書是基于Riemann積分的，因為前面的Fourier Series與Fourier Transform講的深度有限，畢竟現代的結果都是在Lebesgue積分下得到的，但是這本書給出了Finite Fourier Transform在Number Theory里面的應用，讓你的視野一下子就開闊了很多。這本書我是從頭讀到尾的，每個定理的證明都認真推導過。基于Lebesgue積分的 Classic Fourier Analysis的主要推薦則是Katznelson著名的《An Introduction to Harmonic Analysis》，經典的結果都在里面，當然Rudin<Real and Complex Analysis>的第4章的一部分，第9章以及Folland的第6，7章都是很好的介紹。Pinsky的《Introduction to Fourier Analysis and Wavelets》的Fourier Analysis寫的也很好，不過我有點Follow不了他的證明，有時候太簡略了覺得。

最后說一下，這里講的都是比較經典的結果。現代 的Fourier Analysis理論（現在都叫Harmonic Analysis了），包括Littlewood-Paley以及Calderon-Zygmund theory，真是是太難了，我在學Wavelet Analysis時本來想試著去學一點，因為Wavelet有一塊理論基礎要基于這些，結果后來實在學不下去，只好就此放棄了。當然我現在覺得我需要用的 東西也不需要學這么深入的東西，所以想想心里就舒服多了，自我安慰還是很好的

個人建議：以Stein & Shakarchi，與Katznelson為主，這至少需要一個學期，如果你不想花那么多時間，那么先看Stein & Shakarchi，然后再讀Rudin與Folland的相關章節，最后以Katznelson跟Pinsky作為參考，遇到不明白的到這里來找，這樣 應該就OK了，其實我就是采取的后一種策略，當然這跟我學過Rudin與Folland有關系。

1.5:Complex Analysis

這 門課我想說的不多，這里本科有個Honors Course for Complex Analysis,然后Math PHD的Core Course 也包括Complex Analysis，顯然后者比前者要理論的多，前者計算多一點，后者理論比較多，甚至包括Riemann Mapping Theorem的證明，但是就我看到的來說，感覺本科的就夠用了對Econ來說，因此學到什么程度依大家的喜好來定可以。

前 者的參考書可以用Brown & Churchill《 Complex Variables and Applications》，Stein & Shakarchi的《Complex Analysis》，也即Princeton Lecture Notes In Analysis的第二本的前面兩章。后者的參考書可以用Stein & Shakarchi的《Complex Analysis》后半部分，Rudin《Real and Complex Analysis》的后半部分，當然經典的Alforos的《Complex Analysis》也是上上只選。我當時學Complex Analysis上的是Graduate Course，用的是后面這幾本，以Stein & Shakarchi為主要教材（這本書習題答案網上找得到），遇到不會的就去另外兩本上找，其中關于Residual 的計算主要是靠Alforos上的內容。老師講的飛快，一個月就把前面相當于本科復變函數的部分講完了，后面講了很多非常理論性的東西，比如 Riemann Manifold的東西，聽得我很暈。

個人建議：我自己覺得如果你本科是數學系的或者學過復變函數在國內，那么應該不用 再學這個課了，足夠用了。如果沒學過的，建議修這門課，畢竟至少Time Series里面很多東西都是Complex Varariable的，實際上我自己正在寫一個Paper，里面Estimator的Asymptotic Distribution服從Complex Normal Random Variable。另，這些書在國內都有英文影印版，省錢啊！！！

1.6:Basic Functional Analysis:

Functional Analysis我打算分開兩部分講，因為做不同方向的人需要是不一樣的我覺得。我所在的學校Functional Analysis是有兩個課，一個是與前面有重復的叫做Applied Functional Analysis，另外一個是Advanced Functional Analysis，是比較深的理論。本部分講第一個。這個課的內容就是基本的Functional Analysis內容，主要是為那些Engeering，Statistics，Finance，Operation Research專業的學生設計的，Math PHD學生是不會上這個的，因為大部分內容他們都在前面的Real Analysis里面學過，除了一點Compact Operator Theory或者至多再加上一點Generiazed Function Theory。也就是說，這個課內容主要是Banach Space, Hilbert Space, Compact Operator,以及Generalized Function Theory.前面兩部分都是Real Analysis里面的內容，后面分別屬于Operator Theory與Fourier Analysis。這學期我們系兩個在做Finance，Decision theory的比我高一級的哥們就在上這個課。

主要的參考書 是Friedman《Foundation of Modern Analysis》，這本書寫的真是太好了，看起來很舒服，證明寫的很全很清楚。其實我沒有上這個課，我上的是后面的Advanced Functional Analysis，但是因為后面這個課也講Compact Operator與Generalized Function Theory,而且兩門課老師是一個人，因此我找了這本書看

個人建議：Friedman這本書國內好像沒有影印版，但在網上好像有電子 版。有一本很好的替代教材，而且是中文的，那就是夏道行先生的<實變函數與泛函分析>，這本書跟Friedman那本書講的內容深度幾乎沒什 么差別，我覺得這是我看過的中文數學書里面寫的最好的一本了，真的是很好！！！！！！！！！！！！

1.7:Advanced Functional Analysis:

這 是一門數學系的高級課程，好多來修這門課的都是二年級的Math PHD學生。我是這個學期上的，內容是Topological vector spaces.，Banach algebras.，The spectral theorem for bounded and unbounded operators.，Compact operators ，Semigroups of operators。從內容你就可以看出難度來相信。其實我覺得這門課應該改名叫算子理論，因為主要是講各種算子以及譜理論。雖然這門課很難，但這是我這 學期上的最舒服的一門課了，原因是老師真的是講的太好了。上課從不看Notes，那么難的定理，不單Intuition講的明白，而且證明都可以邊講邊 推。我剛開始以為他還很年輕，因為他老是充滿了精力。后來我的朋友告訴我，他已經76了，很快就要退休了，真是令人驚嘆不已，不得不服。這門課沒有 Final Exam，所有的學生輪流講最后兩章也即Compact operators與Semigroups of operators的內容。結果輪到我的時候正好是Hille-Yosida定理的證明，別人都只需要講一節課，而我卻兩節課還差點沒講完，不過 Professor安慰我說，我多給你加幾分，然后沖我幽默一笑，真是有意思。這門課快結束的時候，班上的學生都覺得挺依依不舍的，畢竟一起鉆研了這么多 Crazy定理的證明，也算是共患過難了。還有小插曲一個：班上一個羅馬尼亞的學生問我漢語跟韓語的區別，我立馬跟他說，韓語以前不是語言，只能說，不能 寫，寫都是寫中文，他覺得很驚訝。班上其實有個韓國女生，化妝之后挺PP的（但不知道化妝前啥樣），不過那天她好像不在。管不了這么多了，一定得給他們普 及常識，別再讓漢語韓國造這種白癡的說法惡心了！！發現跑題了，書歸正傳，我們上課用的是老師自己寫的Leture Notes，參考教材是Rudin的《Functional Analysis》（被稱作Adult Rudin），另外Zimmer的一本薄薄的<Essential results of Functional Analysis>與Lax《Functional Analysis》寫的也是很棒的，可以用來作為參考。

個人建議：如果你做的 方向不是用特別深的隨機過程理論，這些就不必要學了，學好前面的Basic Functional Analysis就好了。我學這個是因為我可能想做點Continuous Time Stochastic Process的估計與檢驗，而這里面的Semi-group of operators是研究Continuous Time Markov Process的一個重要工具。如果要學的話，Adult Rudin與Lax國內都有英文影印版，不過基礎一定要好，這樣才能學明白，而且不至于耗費你大量的時間。

1.8：Wavelet Analysis

首 先聲明，Wavelet學不學看你是否需要它。我學這個是因為我要做的東西需要Wavelet這個工具。Wavelet是近十幾年才發展起來，但是因為它 的應用極為廣泛，而且相對于Fourier Transform有著Space Localized的優勢，從而成為很多領域的重要的工具，比如Signal Analysis, Numerical Solution for Differential Equations, Nonparametric Estimation，甚至現在Econometrics 里面都有了很多的應用。

我是這學期上的這個課，課程是為高年級的Undergraduate設計的，但其實應該算是Graduate的課 才對，因為其中很多證明雖然不講，說可以Take It As Granted，但是如果你把太多的東西當作Given，那就合著什么都沒說。學這個的基礎至少為前面的1.6 Basic Functional Analysis與1.4 Fourier Analysis，要不然很多你東西你根本不知道怎么回事。我上課用的課本為Frazier, 《An Introduction to Wavelets Through Linear Algebra》，說是Introduction跟用Linear Algebra，其實根本不行，所以這本書的Title很具有誘惑性，不過這本書好處在與將Finite的情形講的特別清楚，從而不至于使你迷失在無限維 空間的眾多的公式之中，忘記了身處何方，而且畢竟你要用Wavelet，肯定用的都是Finite近似Infinite的情形，所以還是很好的。順便提一 句，這是我這學期四次Presentation中的第一次，巨緊張無比當時，幸虧前天晚上對著我學文科的LP一通猛講，進行了提前訓練（估計她才不 Care我講的啥，只是當看耍猴了），才使得第二天Presentation不至于出丑，不過經過這么一次，現在對任何Presentation都沒什么 畏懼感了，畢竟如果你在講那么你就是專家，所以沒什么可擔心的。


其他比較好的參考書有前面提到過的 Pinsky，Hernandez 與Weiss 的《A First Course on Wavelets》，Wojtaszczyk的《An Mathematical Introduction to Wavelet Analysis》，至于著名的Daubechies的《Ten Lectures on Wavelets》，我看還是算了吧，書太難了，如果你不是搞數學的，看這個感覺沒什么必要。

個人建議：我只知道Pinsky的書國內有影印版，其它的可能沒有，不過Pinsky的書寫的足夠用了我覺得，把它看明白了，做點Econ里的應用應該是可以了。別的書大家可以試著在網上搜索，應該可以找得到。

1.9：ODE&PDE:

這 個我沒什么可說的，因為我自己還沒正式上過課，只是在國內的時候自己瀏覽了一下一本中文教材，丁同仁的《常微分方程》。我下一年有可能去修這個 Sequence，第一學期ODE，第二學期PDE。它們是比較有用的，不論對做Macroeconomics還是Finance的來說，因為 Optimization問題解出來是一個ODE或者PDE，而且PDE 與Brownian Motion緊密相連，同時ODE則是Stochastic Differential Equation的Intuition基礎。這方面的書我還沒讀，雖然我知道一些經典的書，但是因為我沒讀過，所以我就不推薦了！有興趣的兄弟姐妹去網上 查查可以。

接兩年來的學習總結二，這是三。到這里純數學的部分就完了，后面會有概率跟統計的部分。

2：Geometry&Topology:

這 個Field里面我只說一下Point-Set Topology，因為更深的比如Algebraic Topology 跟 Differential Topology一是我沒學過，二是我感覺經濟學里對這些東西的應用都集中在General Equilibrium里面幾乎，早被Arrow，Debreu那時代的大師們做的很深入了，好像很少有人號稱自己做General Equilibrium了現在。不過可笑的是，國內竟然有連基本的數學知識都很貧乏的人竟然號稱自己做General Equilibrium理論，真是滑天下之大稽。


Point-Set Topology我沒上過課，由于我一學期畢竟精力有限，必須要上的已經將Schedule添的滿滿的了，實在沒辦法再上了，即使勉強去聽，沒時間做題， 沒有長時間的認真思考，也學不到什么東西。因此我選擇了在來美后的第一個Summer自學。不過因為第一年我在修Real Analysis已經將很多基本概念都熟悉了，而且最重要的是Topology在Analysis里面的應用大概都接觸到了，從而使得我在自學時并不感到 迷茫，并沒有“為什么提出這些概念”，“這些概念有什么用”，“什么樣的Intuition”這樣的問題，從而速度快了很多，而且理解的也更深刻一些。即 使是這樣，也花了整整一個Summer三個月的時間才算是學完，我用的是Munkres的<Topology>，這本書我不得不說真的是寫的 太好了，概念清晰，證明思路清楚完整，尤其一些比較重要的定理的證明，都有相關的圖形輔助，直觀明了，絕對是一本經典之作。值得一提的是，這本書前面的 Set Theory講的尤其的好，畢竟我們不是做數學的，Set Theory我們不需要知道的太多，但是這本書的Set Theory講的比我們需要知道的深一些，但是直觀清楚，讀透了這個就不需要再看任何Set Theory的東西了，夠你一輩子用的了，如果你做Econ而不是數學的話。我自己是講這本書Point Set Topology的部分每一部分都認真讀過，證明都過了至少一遍，重要的定理（比如Urysohn’s Lemma, Tynchonoff Theorem）反復看過幾遍，課后幾乎每一道習題我都嘗試過，因為我比較幸運的找到了這本書課后習題的答案，因此做完后有地方可以對照一下是否自己做的 對，思路是什么樣的。其實我是在網上搜到了一個Course Webpage，好像是荷蘭一個大學的，這個Course用的就是Munkres，布置的習題都是這上面的，上面有習題的Solution。當我剛開始想 下載時，就出現網頁錯誤，于是我就Email問那個Professor。結果人家很快回信告訴我網頁錯誤他已經改過來了，可以下載Solution，并說 如果有問題可以發信問他，真的是太Nice了。這個對我的幫助可以說是巨大無比。當然，在學這本書的時候我也不斷回去看Rudin的《Real and Complex Analysis》，Folland<Real Analysis>, Royden<Realy Analysis>，其實后兩本都有算是比較全的Topology的章節。通過不斷回去讀這些，我對Topology的應用，概念的由來感覺掌握的 更加牢固，畢竟這些書是分析的書，在寫Topology部分時都比較著重于跟在分析中有用的Topic，比如Complete Metric Space, Function Space，Ａrzela-Ascoli定理等，這些Topic在Analysis都有著極為核心的作用，因此掌握它們是必要的。

最 后為了說明學這門課的重要性，我說一下Point Set Topology的應用，在分析里的就不用說了，如果你是做計量理論的，那么你一定知道Limit Theory的重要性，也就是各種各樣LLN，CLT定理。其中用的很多的一個方法就是Embedding，比如極為重要的CLT for Matingale Difference Sequence，而這個方法基于的就是講Stochastic Process看作一個從時間到一個Function Space的映射，在這個基礎下來證明Weak Convergence，著名的Billingsley的《Weak Convergence of Probability Measure》整本書就是講這個，我相信想做計量的人一定都知道。而這只是A tip of Iceberg，后面非常多的東西都基于這個，比如統計Asymptotic Theory里面的Empirical Process，Stochastic Process里面的Convergence，等等。所以Point-Set Topology我個人認為還是很重要的，當然專門學，只是在相關的課程里面學一下基本內容也是可以應付的，但是對于我自己來說，每次學不同的東西都要來 一點Topology中新的東西很痛苦，索性我就一次搞定，再無后患了。不過這純粹個人習慣。


個人建議：學這門課以Munkres為主要教材，一定要從頭學到尾，課后習題盡量都做掉，除了個別怪異的，然后經常翻翻Rudin，Folland, Royden等等，以對其有更加透徹的了解。

3：Algebra
3.1：Linear Algebra

如 前面的個人背景介紹，我個人對Linear Algebra的基本概念與運算是很熟悉的，但是來到美國之后才發現，其實自己所學的僅相當于這里數學系Undergraduate第二年的Linear Algebra，而對Honors Course for Linear Algebra里面很多理論的東西則并不知道。實際上，這正是偏計算與偏理論型Linear Algebra課的區別，一個簡單的例子就是，前者將矩陣看作一個數據表，而后者將矩陣作為一個Linear Operator。據我所知，國內除了數學系一年的高等代數課外，其他系所教的Linear Algebra應該都是一學期而且主要注重于計算的，理論部分的講解并不深。即使是國內數學系一年的課，拿北大數學系那本《高等代數》，理論的深度跟這個 Honors課也是存在差距的，比如Spectral Theorem那一塊，深淺程度差別是很大的。

為什么要學這些理論部分呢？想想泛 函分析里講的是什么，那不恰恰正是矩陣代表的有限維線性空間上線性算子在無窮維空間上的推廣么！！！我當初在國內學泛函分析的時候，老是對有些概念如 Dual Space，有些技巧比如用一個線性空間上的所有線性泛函來刻畫這個線性空間，等等很多東西覺得很茫然，感覺不到從哪兒來的。而實際上，這些概念都是 Linear Algebra相應概念的推廣，只是因為泛函里是無限維空間所以我們需要考慮Topology的問題，而Linear Algebra里則是有限維空間，上面所有的Topology都是等價的，因此我們不在Linear Algebra里面考慮Topology，只有Algebra的相關概念而已。

這個課我學了兩次，第一次是來美的第一個學期，當時上這個 Honors的課，大概到了學期一半的時候，因為Econ的課考試太多（兩次期中，一次期末），再加上我還上了巨難無比的Real Analysis，最后不得不放棄掉；然后上個學期，我又從上次自己停下的地方接著開始聽，算是把這門課完整學了一遍。上課教材是Curtis 《Linear Algebra: An Introductory Approach》，寫的非常好，前面從Chp1到Chp6相對來說還比較容易對付，后面從Chp6到Chp9則是精華部分，理論講的很深，證明也必須反 復琢磨，題目要多做，這樣才能理解深刻。而且很多Abstract Algebra的東西都在這里穿插講解，比如Group，Ring，Linear Algebra等等。其中關于那些Decomposition Theorem（Jordan，Rational等等）的證明，是基于了Linear Algebra（一個線性空間再加上一些乘法性質）的概念。而Linear Algebra在泛函里的推廣，則是著名的Banach Algebra，它就是無限維空間里Spectral Theorem證明的基礎。還有一本著名的教材是Hoffman&Kunze的《Linear Algebra》，寫的更Comprehensive一些。

個人建議：Curtis國內有影印版，可以以這本書為主，將其做透，習慣盡量全做，如果有興趣可以看一下Lang 的<Undergraduate Algebra>，國內也有影印版，不過比Curtis的書要簡單。

3.2：Abstract Algebra

這 門我沒什么可說的，我自己沒去上過課，關鍵是其在Econ里面不象Analysis那么重要。Abstract Algebra的概念我一部分是在Linear Algebra里面學到的，一部分是自己就讀了一本薄薄的中文教材張禾瑞《近世代數基礎》，再參考了一下Rotman的《 A First Course in Abstract Algebra》。 我見到過的Abstract Algebra是在Functional Analysis里面Banach Algebra跟Semi－Group算是一點，另外的是在Fourier Analysis里面有抽象的Fourier Analysis在Locally Compact Hausdorff Group空間上，算是將Topology跟Algebra里面的Group概念結合起來，其實這些都是對n維歐式空間的推廣。關于這門課我自己也還沒決定是否去修，因為以現在我見到的來看，除了我上面所說的Abstract Algebra的東西，好像進一步的深入不是很必要。所以，有時間有精力愿意學的就去學，如果你象我一樣，不是那么有時間，我覺得自己讀一下張禾瑞的《近世代數基礎》大概了解一下就好了，如果感覺不是很清晰，可以再看一下Rotman，感覺這樣就足夠了。

接兩年來的學習總結三，這是四。

六，概率統計課程科目與教材推薦

好，現在終于到了與Econ，Finance 關系最緊密的概率統計部分。關于概率統計的重要性我實在不想再強調了，不過需要再說一句的是，很多同學覺得學計量，學Finance很多東西看不懂，迷 茫，那就是因為你概率統計沒學好；甚至還有很多論調說什么Idea最重要，數學不重要，對于這種說法，我想說，別說Econ，Finance，連數學都是 Idea最重要，任何學科都是Idea最重要的，但是你連基本的知識，研究工具都沒掌握，都一竅不通，何來資本去討論什么Idea？？好了，語調有點激 烈，不想多說了，這個問題說多了沒意思！下面我概率統計分開講。

1概率

1.1：Basic Probability Theory

這 個很重要，雖然不是基于Measure-Theory的，但是是你明白概率是什么東西的基礎。國內數學系本科一學期的概率論的內容基本跟這邊 Undergraduate的Honors Course for Probability差不多，但問題是很多學校的老師不怎么認真在講的時候。比如我所在學校的數學系，當時那個老師真是不咋地，上課光在那閑扯淡，證明 一點都不講，而且課堂過大，整個數學院所有不同專業的學生一起在上課，起碼100多號人，效果可想而知。我不知道別的學校情況咋樣，但是我本科所在學校的 數學系還是國內比較不錯的，連這里況且如此，很多地方可能也好不到哪去。當然，這只是我個人的瞎猜想，沒有任何證據。

這門課的主要教材是 名家Durrett的《The essentials of Probability 》，我想很多人都知道他的另外一本Graduate Probability教材《Probability：Theory and Examples》，現在美國這邊的學校幾乎都用這本書作為Math PHD Probability課的教材。順便說一句，Durrett是超級牛人鐘開萊（中國人，雖然是美國公民）的學生，好像我記得他在一本書里管鐘開萊叫做 Academic Godfather，真是牛到無極限啊。

這門課Durrett這本書所有內容全講，題目幾乎全做，這樣使得學生 Basic Probability的基礎相當好，Probability的Intuition很不錯，從而在后面學習基于Measure Theory的Probability跟Stochastic Process時，不至于迷失在Technical Details中。不過這本主要是給Math的學生的，我自己覺得Casella & Berger的《Statistical Inference》前面的Basic Probability部分也是超好無比，而且這是一本數理統計的教材，多了很多Distribution的東西，從而給你學數理統計打下一個堅實的基 礎。并且，這本書習題量大質量又好，而且網上有Solution Manual，所以是非常好的習題書。我自己其實沒有上這門課，不過我們計量I（美國這邊計量I其實是概率論與數理統計的內容，不過有經濟系的特點罷了） 當時教材是Cassella & Berger，于是我就把前五章的習題都給做了，真是受益匪淺。 另外，國內復旦李賢平的那本概率論教材也是非常好的。

個人建議：經管類畢業的同學我想都有一點概率論基礎了，所以個人覺得不必要專門花一 學期修這門課，但是我想自己自學或者在上計量I的時候將基本內容再過一遍，查缺補漏是有必要的，多做點題目，最好能將Casella & Berger前面五章的題目做完，然后適當的參考下Durrett當有概念不清晰的問題時，這樣基礎就打的比較牢了。Casella & Berger國內有影印版，習題答案網上可以找得到。至于原來讀數學的同學，請根據你原來學的深度自行決定。

1.2：Measure-Based Probability-Probability I

這 門課跟下面的Introduction to Stochastic Process-Probability II通常在美國這邊是一年的Core Course Sequence 給那些將來可能做Probability的Math PHD學生。Probability I的內容一般包括（以我所在的學校為例）以測度論為基礎的的概率基本概念，經典的極限定理（LLN于CLT for Independent Sequence）, Random Walk，Conditional Expectation,有的還會加上Discrete Time Martingale Theory。這門課的先修課為Real Analysis或者Measure Theory，你必須對Measure and Integration的內容很熟才行。 這門課我想不論你是做微觀，宏觀，還是計量還是Finance基本上最好都要學，畢竟現代經濟學Uncertainty是核心，從而概率的應用極為廣泛。 微觀里現在做的Decision theory, 關于Imperfect Information的很多東西都需要很好的概率論基礎，上周跟一個要跟我們這里一個微觀牛人做的同學見面討論，他說那個Professor的 Paper里就用到了Martingale Convergence Theorem，雖然不是很深，但是一個好的Probability基礎還是很必要的；宏觀里面常用的Stochastic Optimal Control，Stochastic Dynamic Programming；還有更不要提Finance了，如果沒有一個好的概率基礎，根本連現在入門的Asset Pricing教材你都看不懂，比如Cochorane的《Asset Pricing》，更別說Duffie的《Dynamic Asset Pricing》跟Merton的《Continuous-time Finance》了；計量理論我就更不說了，它本來就是研究一些有經濟數據特點的統計理論的，想想Time Series Econometrics里的Unit，Cointergration吧，那里Asymptotic distribution的推導都是基于Functional CLT的。我就不多說了，總之，我們這里理論做的比較好的同學，幾乎都有一個很好的Probability基礎。

如果你 Measure Theory掌握的好，學這門課會舒服很多，當然，你依然需要花費巨大的時間跟精力。我這門課上了兩次，一次是在Operation Research系里上的，講課的是個俄羅斯裔的老師，課講的極好，真的算是領教了Russian的數學水平，一個字，牛！！！光作業就給我們布置了14 次，每次5－7個題目，一學期下來做了快一百個題目，想象一下，Graduate Course，每個題目光寫有的時候就要2頁多紙，學的時候真的是痛苦之極，不過學完之后真的是感覺收獲特別多。我經常跟OR幾個同學討論問題，他們都是 國內數學系出身，有的都是在這邊的學校讀過數學然后再轉到這邊來的，他們對作業量之大也很頭疼，不過我們都很覺得那個老師確實講的好，沒得說。一個搞笑的 是，這個老師的Webpage上寫著，“對于那些不想完成作業的同學請點這個鏈接”，然后等你點了后就到了另外一個Web上，上面是他練空手道的一張照 片，而且照片的光線有問題，他兩眼發的都是綠光，恐怖啊，呵呵！！

由于這個課老師為了照顧一些對Measure Theory不是很熟的同學，于是他花了快一半的時間又把Measure Theory講了一遍（這部分內容他主要用Billingsley的《Probability and Measure》里面的測度論部分），因此后面概率的東西只是講到了CLT，后面沒有講Martingale，而且LLN跟CLT講的不是特別深入，只是 證明了IID情形下的定理，并沒有證明Independent but not Identical Distribution的情形，而且我也想學多一點，因此我就去上了Math PHD Probability Core Sequence的第一學期的課（我本來想著上了OR這個然后直接去上第二學期的Probability II就算了的）。總算是把這個搞定了。

總 的來說，Probability的好教材是非常之多，其中有Durrett,《Probability: Theory and Examples》，Williams,《Probability with Martingales》，Billingsley,《Probability and Measure》，Resnick 《A Probability Path 》，Jacod & Protter，《Probability Essentials》, Dudley，《Real Analysis and Probability》, Shirayev，《Probability》，以及牛人鐘開萊的《A Course in Probability》這些教材基本上都是包括了Probability I的測度論為基礎的的概率基本概念，極限定理與Probability II的Stochastic Process的內容，所以基本上每一本都可以作為這一Sequence的教材，不過不同的教材特點還是不一樣的。

Billingsley 是公認的好教材，特點是全，既有Measure Theory的完整介紹，又包含有直到Brownian Motion的一年Probability課的所有內容，但有個問題是體系安排很怪異，不適合從頭看到尾，事實上我們是從Chp2，Chp3開始學，然后 穿插上Chp1的內容，然后再過渡到后面的Probability部分的。這本書的行文也是Informal式的，很多重要定理的敘述證明都是在字里行間 完成的，并不是定理－證明式的寫法。我個人經驗是不適合自學，如果有老師教課用這本書，那真的是再好不過了，不過如果沒有老師教，最好把這本作為參考。這 本書的課后習題非常好，對于比較難的題目后面附有簡要的答案。做Econ的人好多Paper后面在涉及Probability的時候引用的都是這本書（看 看White的《Asymptotic Theory for Econometrians》），我猜他們當時學概率用的都是Billingsley這本教材，呵呵。

Durrett的教材是給Math PHD的標準教材，全書主要講概率，將Measure Theory的主要結果附錄在書的后面，以供參考，因此，學這本書必須有扎實的Measure Theory基礎。現在國內這本書剛出了影印版（Billingsley現在也剛處影印版，痛啊，這兩本書花了我快200刀就，因為我修課的時候國內還沒 有影印版，唉），忘記上面是誰做的序了，講了一個故事，說是有個Math PHD學生放假還是怎么著出去玩的時候，身邊就帶了這么一本書，然后這個學生現在美國是美國一所著名大學的Professor了已經。拋開故事真假不說， 我對這種傳說式的故事一點都不信，搞得好像背著寶劍，身懷絕世武功，天生的武功奇才一樣，不知道是不是武俠小說看的是不是太多了（實際上，我的武俠小說看 的是巨多無比）。Durrett這本教材講的雖然挺難，但只是一些早期Probability結果的總結，離著研究前沿還差的很遠。所以我覺得序里的故事 是想說明把這本書學透基礎就會打的很牢固，但是這種故事容易對人形成誤導，起碼我記得我在未學Measure Theory跟Probability I之前也看過很多這種小故事，看完后熱血沸騰，老想著一口氣吃成個胖子，但是事與愿違，反而事倍功半，其實最重要的還是下功夫好好學。當然，這只是針對我 個人而言，別的同學可能比我要理智的多。閑話不多說，Durrett這本書Probability I的內容講的比較深，其中Random Walk作為單獨一章進行深入透徹的講解，我想Random Walk做Econ的同學應該很熟吧，這就是Unit Root Process了。其他書唯一這樣做的就是鐘開萊了，我想Durrett這樣做跟他是鐘開萊先生的學生有關系吧應該。Durrett這本是我們這 Probability I&II這個One Year Sequence的主要教材，老師沒有自己的Lecture Notes，會把這本書從頭講到尾，至于為什么我就不多說了。

下面想說牛人鐘開萊的書了，這本書如前面個人背景里面所述，我在國內的時候 上那個測度論因為很多問題不明白所以就找了這本書來看，結果受益匪淺。忘記在哪里看過了，說這本書其實是將前蘇聯數學家對基于測度的概率論，對 Independent情形下Limit Theorem的研究的一個總結。也就是說，這可以說是一本現代概率論教材的雛形，雖然在這之前也有很好的教材，但是正是這本書以及鐘開萊在 Stanford教授這個課程的經驗，導致了現在大部分學校的第一門概率Core Course所教授的主要內容為Independent情形下的Limit Theorem。實際上，我覺得在Limit Theorem定理的證明上，這本書依然是講的最好的，不但嚴格，而且清晰明了，反而現在很多新出的概率書講的迷迷糊糊，要嗎不嚴格，要么太 Technical。不過這本書大量集中于Limit Theorem的證明，作為Probability II主要內容的Martingale，Markov Chain講的很少（當然，我覺得依然講的很好，特別干脆利落），對Ergodicity，Brownian Motion更是一點都沒涉及，他前言里好像說了這些應該作為第二門課的內容我記得。所以，這本書是加強版的Probability I教材，但是不能作為Probability II的教材。

Shirayev的書是一本典型的Russian數學書，內容跟 Durrett基本上一樣，只是前面加了一章基本的Probability and Stochastic Process，后面用兩章講了Stationary Process，少了對Brownian Motion的介紹。這本教材證明上清楚明了，課后習題很多是一些重要結果，是很好的教材。而且對Stationary Process的講解特別好，算是奠定了Time Series Analysis的一個數學基礎。想做Time Series Analysis我想這是一本必備的參考書。

Williams的書短小精悍，講完Probability的基本內容立即進入Martingale的學習，真的是又快又準，畢竟Martingale在現代Probability甚至是Econ，Finance等等都起著關鍵的作用。

Resnick 的書是我上OR那個Probability的教材，因為Resnick本身就是在OR系，所以他寫的教材就稍微簡單點，很多結果都給出了證明，不象是前面 那基本為Math PHD準備的書很多結果你自己要證明，有的時候花很多時間。這本書的內容最后一章講了Martingale，前面是Measure Theory跟Probability I的內容，看起來相對其他幾本要稍微容易點，很多學校開給Engeering，Statistics或者Finance學生的Probability課都 用這個作為教材。

Dudley的書Probability部分講的內容很多，從經典的Limit Theorem到Martingale，到Brownian Motion，Ergodicity甚至還有一些Weak Convergence的內容，由于這本書整合了Real Analysis跟這么多的Probability內容，深度上感覺稍微差一點。Dudley本人在Empirical Process方面是奠基人之一，他1978年左右的幾篇Paper給出了處理Empirical Process不Measurable一種處理方法，奠定了他的地位。他本人是MIT的教授，這本書是MIT概率論的教材，這門課的內容你可以在MIT Opencourse上查得到，上面有一些講義跟習題答案，可以用來作為參考。

Jacod & Protter我沒讀過，把它列出來是因為這本書近年來有很多地方都在用，更重要得是這兩個人雖然都是數學出身，但是現在都在做Finance得東西，而 且都是名家。Protter是OR的Professor，我想很多做Finance的人都知道，他跟Jarrow有一篇關于Term Structure的Paper影響很大，是用Diffusion Process作為Model的。而Jacod則是法國巴黎“？“大的數學系教授，他跟Princeton經濟系的Professor Ait-Sahalia（Review of Financial Studies的上一個三年的Editor）合作了一系列關系Continuous Time Process的算是金融計量領域的文章。

當然，在這邊Finance領域主要還是在Business School，但由于Merton，Duffie等人對連續時間模型的使用導致了很多原來做Probability的數學出身的人都在搞Asset Pricing，不過他們管這個叫做Financial Mathematics，Financial Engeering等等，國內山東大學的彭實戈搞得所謂的金融數學其實就是這個。結果現在在搞Econ，Finance的人與這批以前數學出身的人之間有 了巨大的分歧，前者認為后者擺弄數學，沒有Intuition，沒有Idea；而后者認為前者數學不行，模型用的不嚴格。于是就各搞各的，各自形成了一個 圈子。個人認為兩者都有道理，前者很多數學確實不行，模型用的不是很好，統計工具掌握的也不好，于是Journal of Finance上的Paper非常多的計量用的不對，或者是為了一個比較Significant，比較Interesting的結論故意這么做。其實很多 結果，如果你用正確的或者比較嚴格的計量方法再做一遍，根本就不對，從而得出的Interesting的結論的可信度大打折扣。但是由于這些人已經形成了 一個圈子，他們之間互相接受這種做法，所以文章還是能發，研究還是能做。說道這里，順便說一下，記得以前在國內看到有人把Journal of Finance(JF), J of Financial Economics(JFE) 跟Review of Financial Studies（RFS）給排了一個順序，說什么這個比那個好，那個比這個好。我猜那個排法應該是按照所謂的影響因子或者引用率之類的來排的，但是個人覺 得這種東西沒什么意思，這三個Journal都是Finance的Top Journal，如我前面所說JF的文章數學水平，計量工具的嚴格性要差一點，但是這樣導致了結果很Interesting，而RFS是數學應用深一點， 計量工具用的嚴格，但反而結果不那么Interesting。如此一來，使得JF的引用率要高于RFS，但你能就說前者比后者好嗎？如果你真的這么想，那 比較一下Econometrica上文章的引用率跟其他Journal然后再來回答這個問題。實際上，在美國這邊的學術圈子里也存在爭論，有人覺得JF好 一些，有人覺得RFS更好一些，所以這也是沒辦法的事。但是我覺得做事要嚴謹一點，不要對別人產生誤導，所以當你說JF比RFS好，或者RFS比JF好的 時候，我自己就會加上，“我覺得“，或者“按照引用率，按照工具使用的嚴格程度來說“等等的修飾詞以表明你這樣判斷的根據。

接著上面，反 過來講，后者確實是Intuition比較差一點，由于Econ比較特殊的學科性質，你用的嚴格卻沒有Interesting的結論，模型很好，但是結論 跟以前一樣，這樣就沒什么太大的意義。拿彭實戈老師做的Backward SDE來說，數學上確實很重要，提供了一種新的處理SDE的方法，而且實踐上也可以應用；但是拿到Finance理論上來看，就是提供了一種解B-S模型 的方法，而Finance理論則是再探討B-S模型本身的問題，所以這個研究對于Finance理論則基本上沒什么意義或者意義不是很大。從這里可以看 出，學術研究某種程度上也是市場化，需要有人跟你一起開拓，有人欣賞你的東西才行，要不然你自己認為的再好的東西也賣不出去。

好了，該結 束這一部分了，太長了。這部分介紹的書太多了，說一下我的學習過程。我個人由于是修課所以主要用了Billingsley的教材，基本上通讀了算是，鐘開 萊的書我也基本上看完了，看這個是因為LLN，CLT 的證明講的好。Shirayev我精度了他講Stationary Process的兩章，及Martingale那一章的部分內容。Durrett我沒有精讀，因為上面的好多證明都在別的書上認真推導過了，而且我下面會 再去上那個一年的Core Course Sequence，這次完全講這本書，所以打算把它精度一遍。其他幾本Williams, Resnick , Dudley都只是在看別的書產生問題時候去找相應的部分做了參考。還有就是修完課后我花了幾天時間把它們瀏覽了一下，以對照一下感覺。

個 人建議：可以用Billingsley，Durrett，鐘開萊，Shirayev中的任意一本作為主攻教材，盡量完成大部分的課后習題，很多題目網上應 該可以搜索到答案。這四本書國內都已經有了英文影印版了，可以省錢了又。其他幾本Williams, Resnick , Dudley可以作為參考，Williams網上有電子版，而Dudley國內有英文影印版，Resnick就不知道了。

1.3：Introduction to Stochastic Process-Probability II

這 門課主要內容是Discrete time Stochastic Process,，講Martingale, Markov Chain, Stationary Process and Ergodicity, Brownian Motion(BM)，有的老師還會加上點Introduction to Ito’s Integral with respect to BM。 我這學期上這個課的老師是在概率領域里面一個超級牛的Russian老頭，他教的東西太多了。除了上面的內容，他還講了Continuous-time 下的Martingale跟Markov Process，甚至包括了Stochastic Integral最General的情形即對于Semi-martingale的積分，所有這些內容加起來一般都是分兩門課來講的，因此作業做的我很痛 苦。不過痛苦完后感覺收獲還是很大的。由于他這種教法是非常規的，并不是Probability II應該包含的內容，因此學這門課我覺得還是以標準內容為主，打好基礎，這樣以后要用到比較深的概率理論就可以自己學了，因為后面你要用到的可能都是近年 才得出的結果，這種內容開課講的好像不多，即使有也跟老師的研究方向有關了。

鑒于前面已經將眾多概率教材做了詳細介紹，這里就簡要一談就 可以了。Billingsley的書把Probability II里面的內容都包含了，但不是特別成體系，都是分散開來的，所以不太適合作業主要教材。不過他最后一部分分兩章講的General Theory for SP跟BM是非常好的，前面一章詳細的介紹了給出一個Finite Distribution然后Construct一個SP的方法，也即Kolmogrov Consistency Theorem，給SP的存在性奠定了一個基礎。Durrett是標準的教材，因為將Measure Theory作為附錄，從而騰出了大量空間詳細介紹SP，是非常好的現代教材。鐘開萊這方面的內容很少，但是他最后一張對Martingale跟 Markov Process的介紹切中要害，理解深刻，我覺得非常值得一讀。Shirayev內容跟Durrett差不多，只是少了BM的介紹，但是多了 Stationary Process的詳細討論。Williams, Resnick , Dudley都有一些相關的介紹，但不如前面基本書是系統的介紹，所以只能用作參考我覺得。

個人建議：Durrett或者Shirayev都可以作為主要教材，主要的參考教材可以用Billingsley，鐘開萊，其它基本可以翻一翻，了解一下別的處理方法。

1.4：Continuous time SP, Stochastic Integral and SDE, Weak Convergence and Convergence of SP, Limit Theorems for Dependent Sequence

這些內容每一個都是概率論的一部分比較現代 一點的內容，關于這些內容的書一般都叫做Monograph，而不是象前面那些一樣可以叫做Textbook，當然每一部分都是挺難的，想學會也挺不容易 的。我這里只能稍微說幾句，沒法細論，一是因為這些內容都比較Specialized，如果你不需要根本不需要學，不象前面的內容是一個Econ PHD最好能具備的素質基礎；二是因為我也說不了，因為我自己還沒有修這些課，有的是無課可修，根本沒人講，只能自己學，比如Limit Theorems for Dependent Sequence，雖然計量尤其是Time Series Analysis經常用，但是沒人教這些東西，不過如果前面Probability I & II你基礎打好了，花上一點時間跟精力學好是沒問題的。還有的是因為這些課程需要的預備知識太多，比如Stochastic Integral and SDE需要Discrete time SP的一些知識，Weak Convergence and Convergence of SP需要Topology跟SP的知識，所以我也沒法修（這個是很難跨越的，Weak Convergence and Convergence of SP去年有個老師開這門課，我當時只是上了Probability I，學了Topology，但是沒有SP的知識，前面講Weak Convergence還勉強可以聽，后來講Convergence of SP時完全聽不懂，最后只好Drop掉了那門課），自己水平還不到。

我 在這里稍微寫一下是因為有些人將來可能會修其中的內容，比如做Finance的人會去修Continuous time SP, Stochastic Integral and SDE,做計量的人有的會去學Weak Convergence and Convergence of SP跟Limit Theorems for Dependent Sequence等。 我雖然沒有修過但是已經接觸到了其中甚至大部分的內容，比如我這學期上的Probability II已經將重要的Continuous time SP 跟Stochastic Integral，SDE都講了；Weak Convergence and Convergence of SP雖然后面我沒學好，但是Weak Convergence我還算是學明白了，因此我知道有哪些書是用的比較多的，在這里稍微列一下，以便兄弟姐妹需要學的能找到合適的參考書，還有過來讀 Econ PHD的知道哪些書可以帶來，以便省錢，呵呵，省錢萬歲！！

Continuous time SP跟Stochastic Integral and SDE都是聯系在一起的，好多教材都是兩者一起講，這其中比較好的教材為：

Revuz and Yor, 《Continuous time martingale and BM》(國內世圖好像即將出影印版了)

Williams and Rogers, 《Diffusions, Markov Process and Martingales》I & II（有影印版）

Oksendal，《Stochastic Differential Equations》(有影印版，好像都出到第六版了，可能是最簡單的Stochastic Calculus教材)

Karatzas and Shreve, 《BM and Stochastic Calculus》（GTM，有影印版）

Protter，《Stochastic integration and differential equations 》（國內即將有影印版，這是最難的一本Stochastic Integral教材了可能）

Shreve， 《Stochastic Calculus for Finance》，Vol II（國內有影印版，這本是現在標準的Continuous Time Finance的教材了，這邊大部分的Financial Engeering Program都用這個）

Weak Convergence and Convergence of SP的教材有：

Billingsley， 《Convergence of Probability Measure》

Jocod and Shereve，《Limit Theorems for Stochastic Process》

Ethier and Kurtz，《Markov Process: Characterization and Convergence》

Van der Vart and Weller, 《Weak Convergence and Empirical Process》(這其實是一本Empirical Process的教材，但Weak Convergence講的很不錯)

這些書國內好像沒有影印版，不過倒是都有電子書，大家在網上應該可以搜索得到。

Limit Theorems for Dependent Sequence

用這些內容的我覺得肯定是想做Time Series Analysis的同志們，可以參考的教材有；

Hall, 《Martingale Limit Theorems》（這本書早已不印刷了，不過網上找得到）

Davidson, 《Stochastic Limit Theorem》（這是計量經濟學家寫的，不過連Billingsley都在他的<Convergence of Probability Measure>專門提過）

好了概率部分就結束了，最后還有數理統計的一部分就大功告成了。

接兩年來的學習總結四，這是五，也是最后一部分。大功搞成了終于，累死我了

2 數理統計

好了，終于到了最后一部分了。

2.1：Basic Mathematical Statistics：

這 是基本的非基于測度論的數理統計，這部分內容加上1.1的Basic Probability Theory其實正好是美國這邊Econ PHD計量I的內容。這部分數理統計的內容相當于這邊本科Hornors Course for Math Statistics的內容，因為我在國內既上過經管類那種概率統計一門課大雜燴的數理統計，也上過數學系單獨一學期的數理統計，從而比較知道兩者的區 別，當然這也僅限于我本科所就讀的學校。這門課跟前面的1.1 Basic Probability Theory一樣，我覺得不需要去專門修本科Honors的課，但是最好自己或者在上計量I的時候認認真真的把基本數理統計的基礎打好，這樣做不光是對那 些做將來做計量理論的同學而言，對那些打算做別的領域的，也同樣適用。因為不管你做微觀，宏觀還是Finance，哪個現在都是Theory跟 Empirical并重的，現在連Auction Theory都在做計量檢驗，更別說宏觀，Finance等等了。順便說一下，經常看到有人在BBS上說自己看不懂計量經濟學的教材，比如 Green，Hayashi或者Davidson & Mackinnon，其實我以前也是看不懂，跟大家的感覺一樣，迷迷糊糊。后來才知道，其實就是因為數理統計不行，因為現在所謂的計量就是以統計里面的回 歸分析為基礎發展起來的具有經濟金融數據特點的統計理論，這本身就是統計學，數理統計不行當然看不懂。

這門課的教材可以用一般計量I的教 材，比如Gallant的《An Introduction to Econometric Theory》，Birrens，《Introduction to the mathematical and Statistical Foundation of Econometrics》，但是我個人更偏好一些純數理統計的教材，比如Casella & Berger的《Statistical Inference》，還有更深一點的Bickel & Dokosum《Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics》，因為我是打算做計量理論的。前面兩本因為是計量I的教材，更偏重于一些在計量中有直接作用的統計的介紹，而后兩本是標準的北美這邊統計系 非測度數理統計的教材，當然其實Bickel & Dokosum已經算是接近于使用測度論作為語言了。學習后兩本可以使得你對統計的理解更深刻，知識面也更廣。我自己是在上計量I的時候將Casella & Berger認真的通讀了一遍，做了大量的課后習題，同時參考了Bickel & Dokosum的教材，而后來在修下面基于測度論的數理統計時又參考了Bickel & Dokosum。我沒有讀過Gallant與Birrens，因為計量I的Professor有自己的Lecture Notes，所以我對這兩本不是很有發言權。但是這兩本我都瀏覽過，所以知道它們的內容。

個人建議：如果你打算做計量理論，可以將 Casella & Berger與Bickel & Dokosum作為計量I的主要教材，認認真真的把前一本上面的習題完成，打好基礎；如果不是做計量理論的，我覺得可以讀Gallant與 Birrens，適當參考一下Casella & Berger，它上面的習題多又好，而且還能找得到答案做完后對照思路。Casella & Berger國內有影印版，Bickel & Dokosum現在都是第二版了用，第一版國內有翻譯版，不過第二版好像也要快出影印了，我不建議讀翻譯的；Gallant與Birrens好像國內有些 學校有復印的，網上可能也可以找的到。

2.2：Measure-based Mathematical Statistics I & II

這 其實是包含兩門課的一個一年的Sequence，因為一門講不完這么多內容的。但是我覺得只有打算做計量理論的才需要考慮這個課，不象在討論前面的 Probability I & II時， 我覺得所有Fields的人最好都修Probability I，而Probability II則不一定這樣的分開來考慮，所以我把它們放到一起討論。這個課其實是Statistics PHD一年的Core Course，可想而知是講的比較嚴格的。

這門課的主要內容就是嚴格的數理統計理論，既包含Statistical Inference（Point Estimation, Hypothesis Testing，以及Confidence Set），又包括Statistical Decision Theory；既包含Frequentist方法，又包括Bayesian的方法；既有小樣本的Evaluation標準，像是 Unbiased，UMVUE等等，又包括大樣本的Asymptotic Efficiency統計評價方法。當然，這個課還包含很多現代統計方法的簡單介紹，比如 Nonparametric，Semiparametric，Bootstrap為代表的Resampling方法。不過這里只能是簡單介紹，詳細的內容 只能由后續課程或者通過自學（因為這些課程的開設都是跟老師的研究興趣有關的，一個學校不一定能把所有的課都開起來）來完成。詳細的課程內容我就不多說 了，因為我個人覺得，凡是想做計量理論的人這門課的內容都是必然要具備的素質，起碼對于現在這個年代的計量理論來說我覺得是這樣，看看現在 Econometrica，Econometric Theory，Journal of Econometrics上的Paper，基本上都是各種各樣的新的Estimation，Hypothesis Testing方法的提出，所用的工具無不是基于現代數理統計最新的研究進展，如果不能打一下一個很堅固的數理統計基礎，起碼對我來說真是難以想象怎么來 做研究將來。

這門課的主要教材就是著名的《Theory of Point Estimation》（TPE） by Lehmann and Casella，與《Testing Statistical Hypotheses》（TSH）by Lehmann and Romano，我想這兩本教材的難度很多人都早就聽說過了，反正我覺得這兩本書真是得至少花一年的時間才能學好，課后的習題多，質量也好，這邊的圖書館里 能借到他們第一版的習題解答，非常老了，感覺字體很象是手寫然后復印的。這本習題解答的作者一說大家肯定知道，就是寫了類似于Probability百科 全書的《Modern Theory of Probability》的Kallenberger了。跟這兩本書難度差不多相當的Bayesian統計的書可以參考《Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis》by Berger，注意這個Berger跟與Casella寫《Statistical Inference》的Berger可不是一個人。另外，Shao Jun的《Mathematical Statistics》寫的也是非常之好，內容涵蓋了TPE跟TSH的所有內容幾乎，當然程度要容易的多，并且這本書簡單介紹了包括 Nonparametric，Semiparametric，Bootstrap，甚至還有Empirical Likelihood的幾乎所有的現代統計方法，真是一書在手，天下事盡知啊。還值得一提的是，這本書習題也是很豐富，而且還有專門的一本習題答案，以供 大家參考，如果能好好利用這些習題，還是那句話，受益終生。我自己上課時老師把這基本都列為了參考教材，我則除了TPE跟TSH上老師上課講的內容外，仔 細讀了Shao Jun的相關內容，并且做了上面的一小部分題目，收獲頗豐。Shao先生（我不知道是不是邵，所以只好寫拼音）好像是國內華東師大畢業的，現在為U of Wisconsin at Madison統計系的主任，那里Statistics PHD第一年的Math Stat Core Squence就是講他這本書。

不知道為什么純數學的書國內有影印版的非常多，但是統計的書國內很少找到影印版，這使我想起了有位統計牛 人在一個報告上說的，國內跟國外在統計學研究上的差距這幾年非但沒有縮小，某種程度上反而有點擴大了。我不是做數理統計的，也不知道事實是否如此，不過統 計方面影印書的出版比純數學方面的差了很多，這是一個很奇怪的現象，因為統計在現實中的應用應該更多些，按說統計書的引進應該是更快一步才對，現在反而是 相反的。這里想推薦一本中文的高等數理統計教材，那就是陳希儒先生的《高等數理統計》了，陳老的地位以及水平我想我不需要多說了，他這本書寫的是非常之 好，基本跟TPE，TSH差不多一個難度水平，不過就是內容少了一點。還有就是這本書習題令人稱贊，而且書的后半部分就是習題的參考答案，供大家研習之 用。陳老對做習題以掌握內容，訓練基本技能的說法我想很多同學都是見過的，不得不說，姜還是老的辣啊！！！

個人建議：這門課值得好好花一年的時間學好TPE，TSH或者學好Shao Jun，Bayesian的部分可以參考下Berger。Berger的書國內有影印版，其他基本好像沒有，不過可以找得到電子版，而且國內一些學校也有復印版。題目要認真做，多做。

2.3：Asymptotic Statistics

Asymptotic Statistics包括了數理統計里面的很多大樣本理論，比如M-Statistic, U-Statistic，MLE，Asymptotic Relative Efficiency，Empirical Process等等，我覺得是應該作為一門課認真學學的，教材可以用現在最流行的Van der Vart 的《Asymptotic Statistics》，事實上很多學校都已經將這門課開做一本Stat PHD的必修課。由于我自己還沒修過，所以我沒什么發言權，只能推薦這么一本書，不過很多Professor都有Course Webpage，大家可以去網上搜索，看看他們怎么個講法，講哪些內容，找相應的課本認真學習，打好基礎。我本人正打算這個Summer學這個，因為以后 要把大部分的時間都轉向與我自己的研究方向相關的學習，還要開始準備我的PHD Dissertation，因此估計比較少有時間再去象第一，二年一樣這樣耐心的打基礎了，所以覺得最好在Summer將這門重要的內容解決掉。

2.4：Topics in Modern Math Statistics

這 個不是一門課，是我把所有的除了基本的One-Year Core Sequence與上面的Asymptotic之外的現代統計方法都放到了一起，大致包括了Nonparametric，Semi- parametric，Bootstrap，Empirical Likelihood等內容。這些都是近幾十年才發展壯大起來的現代統計方法，其中像是Bootstrap也不過是1980年左右才開始的。

如 Nonparametric，Semi-parametric，Bootstrap，Empirical Likelihood這些內容都是現代統計理論中的研究方向，很多研究還正在進行中，我個人只是因為要用從而自學了Nonparametric的一些書， 但因為這方面的書特別散，沒有一本將所有Nonparametric方法都講好的書，所以很難做推薦，所以這里就不多說了。需要說的是，這些研究方向都有 相關的計量領域對應，比如Nonparametric Econometrics，Semi-parametric Econometrics，Bootstrap Econometrics，這些其實是相應的統計方法在對Econ跟 Finance特點的數據的應用，有的時候Statisticians搞出來的這些統計方法針對的數據類型跟Econ，Finance的數據特點不符，而 Econometricians做的就是基于原來的方法提出針對這些Econ，Finance特點的數據進行分析的新的統計工具，由于基于的 General的統計方法不一樣，因此便有了Nonparametric Econometrics，Semi-parametric Econometrics，Bootstrap Econometrics這些稱呼。這與以數據本身類型對計量分為Micro-econometrics（Cross-section, Limited Dependent Variables） Time Series Analysis, Panel Data Econometrics(有的把這個也歸為Micro-econometrics)，是不同的，不同的方法跟不同的數據類型結合在一起便形成了很多不同 研究方向與叫法，總之，對計量進行完全徹底的分類好像很難。

由于這些內容既不簡單，我也沒有完整學過，所有我在這里就說到此為止了。實際 上，我也不可能把它們都學完，一是我知道自己沒那么大能量，水平畢竟有限；二是也沒有必要，這些學不學，學到什么程度都要視你的研究而定，你需要用就學， 不需要就算。說實話，我覺得現在經濟學研究已經開始逼近象數學一樣的高度分工了，做微觀跟做計量的互相很少有共同語言，即使都是做計量的，不同的方向能通 話的也是比較少的，比如你做Panel Data，他做Financial Econometrics，不光使用的方法不一樣。模型的假設不一樣，就連最基本的檢驗的經濟理論更不一樣。你需要學習不同的經濟理論，這一點就使得兩者 很難對話。不過話說回來，大家還是有的，象Hausman，L Hansen, Philips，White那樣的，諸多方向通吃，水平確實高，沒辦法。不過我覺得他們的概率，數理統計的基礎肯定很牢固，從而來了新的Topic時很快 就能上手，我自己覺得這個一個很重要的原因。

七，小結

啊，終于算是寫完了，沒想到一個回顧竟然整整寫了四天多，居然還爬 了這么多字出來。不過既完成了一段對過去的回顧，又算是對兄弟姐妹們的一點小小禮物，感覺還是很開心的。本來覺得既然完成了純數學，概率，還有統計，再寫 寫Economics，Finance或者Econometrics才好像比較完整，但是回顧這兩年，我除了研究生階段學的經濟學，金融學理論，在美第一 年系里的Core Course，第二年上的兩門Time Series Analysis，以及按照自己的興趣讀的一些Paper外大部分的時間都在打基礎，所以覺得實在沒什么東西可寫，不過好在對于Econ, Finance, Econometrics很多同學還有一些牛人都寫了相關的東西，推薦了書籍，因此我也就不用再亂拋我的磚頭了，省得引不出玉來反而引出磚頭來拍我。

跟 很多兄弟姐妹們一樣，完成這么一段路程的我覺得基本上身心俱疲，需要一段時間來恢復，從而才能開始新的路程。但是眼前還有很多事情要做，恐怕休息不了多長 時間。況且我現在還面臨著定自己的研究方向的問題，真的是仍須努力啊，畢竟其實我現在還是一個Research的門外漢，很多同學已經將我拉下很大一塊 了，不得不努力繼續跟在別人后面以免掉隊。

最后，不管我寫的東西可能在你看來多么的無知，或者不知天高地厚，或者很多東西寫的根本不對， 都希望大家看在我辛辛苦苦的分上，在看到問題時心平氣和的討論，改正我的錯誤，讓我得以提高。千萬不要毫無理由的辯論，甚至是吵架，那樣的話真是沒意思。 真的是很不喜歡看到有人在論壇上吵啊吵的，甚至是罵人，讓人覺得很心冷。

今年正值中華多事之秋，又是藏獨又是地震的，在這里我最后再添一句，祝大家都能順順利利實現自己的夢想。

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當作對自己學習的激勵。。。。。