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一，序

一轉(zhuǎn)眼來美國(guó)讀這個(gè)Econ 的PHD已經(jīng)兩年了，從剛來時(shí)的懵懵懂懂與對(duì)這邊PHD生活的新奇感到現(xiàn)在的每周7天只能休息一個(gè)晚上的Extremely Exhausted（個(gè)人時(shí)間安排不好，每學(xué)期選課老是貪多，還有可能就是我太笨了），從剛來時(shí)去開個(gè)銀行賬戶因?yàn)橛⒄Z(yǔ)不好都差點(diǎn)沒開成到這個(gè)學(xué)期其中三 門課做了四堂Presentation而且越做越來勁，甚至都有點(diǎn)Enjoy這個(gè)過程（當(dāng)然口語(yǔ)依然是差強(qiáng)人意）。回頭看來，時(shí)間好似過了很長(zhǎng)，又好似所 有的都是在昨天；路好像走過了很遠(yuǎn)，但又好像只是完成了美國(guó)大街上的一個(gè)Block；東西好像學(xué)了很多，但是又好像只是了解了點(diǎn)皮毛，離著運(yùn)用自如依然有 孫悟空一個(gè)筋斗云才可以完成的距離，總之真是感慨頗多。不過正是由于這樣的感覺，我才有了寫一個(gè)自我安慰的學(xué)習(xí)總結(jié)，算是對(duì)這兩年學(xué)習(xí)生活的回顧，給自己 一個(gè)一段路已經(jīng)結(jié)束，需要踏上另一段征程的心理暗示。同時(shí)，希望我的學(xué)習(xí)過程以及對(duì)相關(guān)課本的個(gè)人感覺，能對(duì)已經(jīng)在路上或者即將上路的兄弟姐妹們有一個(gè)幫 助（怎么感覺象去法場(chǎng)？）。希望覺得有幫助的或者能從里面找到一點(diǎn)共同的經(jīng)歷的兄弟姐妹們對(duì)著它會(huì)心一笑，更希望與我有不同觀點(diǎn)的人說說他們的感受，從而 讓別人對(duì)這個(gè)過程有著更明確的認(rèn)識(shí)，以免我的愚見對(duì)別人產(chǎn)生負(fù)面影響，這是我最不希望看到的。好了，突然發(fā)現(xiàn)自己變得好羅唆，也許是英文看多了用多了的緣 故，還是中文更Sharp一點(diǎn)在表達(dá)意思上（也可能是自己中英文水平都差）。好了，廢話少說，現(xiàn)在開始。

二，我這個(gè)總結(jié)的用處？

第一， 對(duì)自己的學(xué)習(xí)算是個(gè)回顧總結(jié)。

第二， 你可以了解美國(guó)這邊Econ PHD上的一些課，怎么上課這邊

第三， 不論是在國(guó)內(nèi)讀博的同學(xué)還是要到這邊來開始PHD生活的兄弟姐妹，可以把它當(dāng)作一個(gè)你自己學(xué)東西的參考，這里面雖是我個(gè)人的偏頗之見，但是很多關(guān)于上課的東西我覺得還是有一定代表性的（我現(xiàn)在一個(gè)常青藤學(xué)校）

第 四， 對(duì)于來要來美讀PHD的同學(xué)，我相信從我的總結(jié)里你可以找到一個(gè)帶書的List，因?yàn)槲彝扑]的大部分書都是在國(guó)內(nèi)有影印版的，帶過來會(huì)省下你一大筆開銷， 初步估計(jì)1000刀左右。自從來美后，不算我從國(guó)內(nèi)帶過來的那些書，我在這邊為了買書已經(jīng)花了1500多刀了，其中很多是國(guó)內(nèi)有影印版但是當(dāng)時(shí)沒帶來，或 者影印版是最近才才出的。

三，兩點(diǎn)聲明：

第一， 我這里面經(jīng)常會(huì)中英文混雜，不要認(rèn)為我顯擺，我都習(xí)慣這樣亂用了，就寬恕我吧；更不要罵我假洋鬼子，我會(huì)很不舒服，我是中國(guó)人。

第 二， 我個(gè)人不是很贊同花很多時(shí)間在論壇上發(fā)帖子，寫B(tài)log什么的，至少對(duì)我來說，寫這種個(gè)人感想的東西都是很認(rèn)真的講自身感受，所以特別費(fèi)時(shí)間，有這些精力 你去多學(xué)一門課多好。當(dāng)然，純粹個(gè)人觀點(diǎn)，僅供參考。但是對(duì)我來說，這可能是從過去兩年到未來兩年內(nèi)唯一的一篇個(gè)人感想了。當(dāng)然，如果新的經(jīng)歷積累到了一 定程度，我想我會(huì)再寫下一篇的（誰(shuí)會(huì)點(diǎn)我寫不寫呢？呵呵）。

四，個(gè)人數(shù)學(xué)，經(jīng)濟(jì)學(xué)等相關(guān)學(xué)科的背景：

把這個(gè)加上是因?yàn)? 我覺得任何經(jīng)驗(yàn)介紹以及課本推薦都是基于個(gè)人背景的，我覺得容易的東西可能別人覺得難，而相反我覺得難的東西別人可能覺得相當(dāng)簡(jiǎn)單。把個(gè)人背景加上，這樣 希望借鑒我經(jīng)驗(yàn)的人就可以對(duì)照著看是否我說的適合不適合，如果背景比我好，可以把難度適當(dāng)加大點(diǎn)；如果覺得背景比我稍差點(diǎn)（我估計(jì)基本沒有了！），可以適 當(dāng)?shù)膹纳晕⒒A(chǔ)點(diǎn)的地方開始。我本科專業(yè)是管理科學(xué)與工程，學(xué)校就不說了。

我本科學(xué)的數(shù)學(xué)相當(dāng)于考研的數(shù)一，Calculus一年，Linear Algebra一學(xué)期, Probability and Statistics一學(xué)期。我相信大部分經(jīng)管類的學(xué)生學(xué)的數(shù)學(xué)課也都是這些，不過有的講的深一點(diǎn)，有的就講的很淺。 總的來說，Univariate Calculus 我掌握的很好，因?yàn)槲液芟矚g那些證明題，比如Mean-Value Theorem那一塊的東西，Multivariate 部分不好，這塊是國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教學(xué)的一大問題，拿我所在學(xué)校的數(shù)學(xué)系來說，Multivariate Calculus也是一個(gè)巨大的問題，通常大部分是計(jì)算題，不以Linear Algebra為基礎(chǔ)將那些重要的定理進(jìn)行證明，如果你看一下《Principle of Mathematical Analysis》(以下簡(jiǎn)稱為Baby Rudin，他寫的三本書我都會(huì)詳細(xì)介紹，這是第一本)，你就明白這種差距了。其他學(xué)校也應(yīng)該差不多，拿北大來說，張筑生老師的《數(shù)學(xué)分析新講》我也讀 過，已經(jīng)非常非常好了算是，但是感覺在難度上仍舊跟《Baby Rudin》差著一些。Linear Algebra 我學(xué)的很好，基本上計(jì)算部分不是任何問題，但是跟國(guó)外這邊數(shù)學(xué)系Honors Courses還是有差距的（國(guó)外這邊Undergraduate課程分為兩個(gè)Sequence，一個(gè)是基礎(chǔ)的，以計(jì)算概念為主，另一個(gè)是純理論的，一般 叫做Hounors Courses，不同的地方叫法不一樣可能，但都是以證明為主，修這些課的人基本都是以后要讀Graduate School的）。Probability and Statistics基本是只學(xué)的基礎(chǔ)概率，統(tǒng)計(jì)講的很少。這導(dǎo)致我后來不得不去修大量的數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論課程。純數(shù)學(xué)的課程就是這樣了，還有一些應(yīng)用數(shù)學(xué)的 課程，比如我本科學(xué)了一年的Operation Research，內(nèi)容就是那些Linear Programming and nonlinear Programming，排隊(duì)論什么的優(yōu)化方法，這其實(shí)正好是數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的內(nèi)容，所以對(duì)我?guī)椭Υ蟮摹Ｆ渌闹饕怯?jì)算機(jī)課程，學(xué)過很多編程語(yǔ)言以及數(shù)據(jù) 庫(kù)（PASCAL，C，C＋＋，Data Structure等等），對(duì)我現(xiàn)在的好處就是見了什么新軟件根本不害怕，雖然不同編程語(yǔ)言語(yǔ)法不太一樣，但是原理都是那樣的。我本科經(jīng)濟(jì)學(xué)基本上沒什 么，只是一門微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)，不過那個(gè)老師課講的非常好，所以導(dǎo)致了我后來的轉(zhuǎn)專業(yè)考研。

我的研究生是在同一學(xué)校讀的，這里是比較有遠(yuǎn)見的，開了高級(jí)微觀，高級(jí)宏觀，高級(jí)計(jì)量這些課程，用的教材也算是不錯(cuò)，算是給我們開闊了眼界，導(dǎo)致了我后來 申請(qǐng)出國(guó)。微觀用的《Maschollel》，自我感覺學(xué)的可以，因?yàn)槟切﹥?yōu)化工具我都還算知道；宏觀用的《Romer》，一塌*涂，因?yàn)椴粫?huì)動(dòng)態(tài)的優(yōu)化 工具；計(jì)量用的《Green》，由于概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)不好，導(dǎo)致只是死記了幾個(gè)公式，根本不明白是什么回事。后來還上了動(dòng)態(tài)優(yōu)化，金融經(jīng)濟(jì)學(xué)（用的黃奇輔那本 書）。這便是研究生階段學(xué)到的經(jīng)濟(jì)學(xué)。這個(gè)階段我最重要的一個(gè)決定就是去數(shù)學(xué)系選修數(shù)學(xué)課，因?yàn)槔鲜强床欢芏嗾n本，比如Duffie 的《Dynamic Asset Pricing》等等，基本是除了最基本的經(jīng)濟(jì)學(xué)書其他的都看不懂，因?yàn)槔锩娴臄?shù)學(xué)我不明白。最后實(shí)在忍受不了那種瞎猜胡蒙的感覺，我決定去數(shù)學(xué)系修課， 實(shí)際只能旁聽，因?yàn)槲覀兒孟駴]有這種外系可以到數(shù)學(xué)系修學(xué)分的機(jī)制，雖然國(guó)內(nèi)有些學(xué)校比如北大是可以，但是畢竟還是太少了啊。很多想申請(qǐng)Econ PHD的本身讀經(jīng)濟(jì)的同學(xué)，知道數(shù)學(xué)重要，但是卻沒有辦法去修課來補(bǔ)，真是一大憾事，我相信如果可以的話，許多同學(xué)通過修數(shù)學(xué)課是可以進(jìn)入更好一點(diǎn)甚至是 TOP的學(xué)校的。我先后在數(shù)學(xué)系聽了實(shí)變函數(shù)，隨機(jī)過程（不基于測(cè)度論的，因?yàn)槭潜究普n程），泛函分析，概率論（用的復(fù)旦那本著名的教材，李賢平寫的）， 數(shù)理統(tǒng)計(jì)，測(cè)度論（用的是北師大嚴(yán)士健 <測(cè)度與概率> <概率論基礎(chǔ)，以及嚴(yán)加安老師的《測(cè)度論講義》，還有因?yàn)檫@些書看不明白了，我自己讀了一部分鐘開萊的《A Course in Probability》）。這便是我來美學(xué)習(xí)前所有的數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)背景了。

五，純數(shù)學(xué)課程科目與教材推薦

由于現(xiàn)在純數(shù)學(xué)大概按照分析，幾何與拓?fù)洌鷶?shù)三個(gè)大方向來分類，所以我也按照這個(gè)分類來一門一門的看，概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)我放到另外一部分來講。

1：Analysis：

1.1：Mathematical Analysis

上 面我已經(jīng)說過，微積分或者數(shù)學(xué)分析在美國(guó)這邊分為兩個(gè)Sequences,基礎(chǔ)的Sequence主要講Intuition，概念以及計(jì)算，我相信大家都 已經(jīng)很熟。但是第二個(gè)Sequence才是精華，這個(gè)Sequence是一年的，主要教材為《Baby Rudin》，或者Strichartz的《 The Way of Analysis》，又或者Apostol 的《Mathematical Analysis》。 《Baby Rudin》最為嚴(yán)格，基礎(chǔ)不好的人看起來比較枯燥，但是It deserves a year’s effort. 如果花上一年的時(shí)間講其學(xué)好，個(gè)人認(rèn)為將會(huì)受益終生，不論將來你做哪個(gè)方向。Apostol相對(duì)比較有趣點(diǎn)，包含了很多計(jì)算的內(nèi)容，而且還包含了 Complex Analysis的簡(jiǎn)單介紹，而Strichartz則是從一種純粹Intuition的角度出發(fā)來講述整個(gè)Calculus體系，用詞非常口語(yǔ)化，評(píng)價(jià) 則是褒貶不一。

關(guān)于這門課的重要性，我有這么一個(gè)故事。 剛來美學(xué)習(xí)時(shí)，系里夏天就安排了一個(gè)Summer Math Camp，這種安排據(jù)我所知是幾乎美國(guó)好一點(diǎn)的Econ PHD Program都會(huì)有的，內(nèi)容就是給學(xué)生復(fù)習(xí)Calculus以及Linear Algebra的東西，從而讓學(xué)生早一點(diǎn)進(jìn)入狀態(tài)以便更好的進(jìn)行第一年Core Course（微觀，宏觀，計(jì)量以及數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)）的學(xué)習(xí)。我們?cè)赟ummer Math Camp完了后有個(gè)考試，內(nèi)容就是關(guān)于數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的，如果你能考過，就可以免修第一學(xué)期的Math Econ，我幸運(yùn)的得以免修。還有幾個(gè)同學(xué)也過了，結(jié)果我們就收到了Director of Graduate Studies的email，建議我們免修這個(gè)課的人去數(shù)學(xué)系修Honors Course for Analysis。而且，等第一年考過Qualify后，很多同學(xué)也被建議去修這個(gè)Sequence，從而導(dǎo)致我認(rèn)識(shí)的人，不論做微觀，宏觀，計(jì) 量，IO，還是Development幾乎都修過這個(gè)課，至少是這個(gè)Sequence的第一學(xué)期的課。由此可見，基本的Mathematical Analysis是多么的重要。

個(gè)人建議：Baby Rudin與Apostol國(guó)內(nèi)都有英文版（強(qiáng)烈建議，有英文版一定要看，千萬(wàn)不要讀翻譯過來的），基礎(chǔ)比較好點(diǎn)前者為主后者為輔，基礎(chǔ)感覺不是很 Strong的后者為主，前者為輔。這兩本書的大部分答案網(wǎng)上都可以找得到，不過一定要自己做，要不然等于沒學(xué)，切記切記！！！

1.2：Real Analysis

Mathematical Analysis是數(shù)學(xué)系Undergraduate將來進(jìn)Graduate School的Core Course，而Real Analysis則是Math PHD Program的Core Course。一點(diǎn)需要特別注意的是，千萬(wàn)不要將這門課跟國(guó)內(nèi)的實(shí)變函數(shù)等同起來，光是內(nèi)容就差的很多。國(guó)內(nèi)的實(shí)變函數(shù)講的是n維歐式空間的測(cè)度與積分， 而Real Analysis則講的是抽象空間上的測(cè)度與積分，而且這只是第一部分內(nèi)容，后面還有關(guān)于Lebesgue意義下微分與積分的關(guān)系，Measure Decomposition與Radon－Nikodym 定理，基本的Functional Analysis（Banach Space，Hilbert Space甚至包括Topological Vector Space的基本概念）以及基本的Fourier Analysis（Classic Case）。也就是說，除了一點(diǎn)Compact Operator Theory之外，這本課包括了國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)系本科實(shí)變與泛函分析兩門課程的內(nèi)容而且難度更大一點(diǎn)，當(dāng)然這是針對(duì)我所在學(xué)校的數(shù)學(xué)系，其他學(xué)校不敢妄自揣測(cè)。

這 門課比較好的教材為Rudin的《Real and Complex Analysis》(前九章)，F(xiàn)olland <Real Analysis: Modern Techniques and their applications >，Royden的《Real Analysis》， Stein & Shakarchi <Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces>。前三本我前前后后都學(xué)過算是，第四本只是粗略的瀏覽過。 粗略評(píng)論一下：Rudin的寫法相信很多人都聽說過，極為簡(jiǎn)略看起來，但是包含內(nèi)容甚深，真的是部經(jīng)典之作，還是那句話，吃透受益終生；Folland是 內(nèi)容寫的最全最成體系的，除了包含Rudin所有書的內(nèi)容外，還有專門兩章講基本的Point－Set Topology，以及專門的兩章講Fourier Analysis，而且證明寫的還是很明白的，個(gè)人很喜歡這本書；Royden第一部分則是先講了n維歐式空間的測(cè)度與積分理論，然后第二部分講基本的 Point－Set Topology以及Functional Analysis,第三部分才講抽象的測(cè)度與積分理論，內(nèi)容也算是比較全，但是行文風(fēng)格我自己很不適應(yīng)，很多重要的結(jié)論只是在某段中一講，有的時(shí)候根本不 知道某個(gè)句子竟然是一個(gè)很重要的定理，極度的Informal，不過作為參考還是很好的；Stein & Shakarchi則是著名的Princeton Leture Notes系列的第三本，沒有細(xì)看，不過感覺作為Real Analysis的教材還是不夠，只能作為參考我覺得，不能作為主攻教材。

個(gè)人建議：這四本書國(guó)內(nèi)都有英文影印版了，其中Folland好像是今年才新出來的（心疼啊，我在這邊花了50多刀買的），可以將Rudin與Folland作為主要教材，后兩本作為參考，認(rèn)真學(xué)好。

1.3：Measure Theory

其 實(shí)把測(cè)度論寫在這里是重復(fù)了，因?yàn)闇y(cè)度論的內(nèi)容實(shí)際上是上面Real Analysis的主干內(nèi)容與基礎(chǔ)。之所以寫在這里是因?yàn)椋行W(xué)校比如我所在的學(xué)校，考慮到很多學(xué)生比如Statistics，F(xiàn)inancial Engeering以及咱們Econ的學(xué)生學(xué)習(xí)測(cè)度論主要用來進(jìn)一步學(xué)習(xí)基于Measure-theory 的Probability theory，他們用不到那么多的Analysis的知識(shí)，因此便將這一塊內(nèi)容單獨(dú)抽出來設(shè)置課程（感覺老外課程設(shè)置都有點(diǎn)市場(chǎng)化的感覺）。主要內(nèi)容包括 抽象空間上的測(cè)度與積分論與基本的泛函分析，因?yàn)榉汉赟tochastic Process里面也是到處可見。當(dāng)然，這里測(cè)度與積分講的更加深刻，我上這門課的時(shí)候，光是Radon-Nikodym定理就證了整整兩節(jié)課，到現(xiàn)在我 還能記得大概的證明思路。

這門課的主要教材我當(dāng)時(shí)用的是Bartle的《The Elements of Integration and Lebesgue Measure》，一本薄薄的200頁(yè)教材花了我80刀，現(xiàn)在想來當(dāng)時(shí)真是舍得花錢，換到現(xiàn)在肯定WS的從圖書館借出來然后去復(fù)印了。不過這80刀激勵(lì)的 我將這本書徹底涂成了一個(gè)花臉，到處都是Notes，想想也值了。其他的參考教材是Halmos的經(jīng)典的GTM《Measure Theory》，這本書Measure Theory的經(jīng)典，不過很多人覺得Notation有點(diǎn)老了，跟現(xiàn)在常用的不太一樣，比如測(cè)度的Caratheodry Extention Theorem現(xiàn)在都是從一個(gè)Sigama-Algebra開時(shí)，那本書好像是從Sigama-Ring開始的。嚴(yán)士健的那本 <測(cè)度與概率>關(guān)于這部分簡(jiǎn)直是Halmos的翻版。還有本不錯(cuò)的書就是Dudly的《Real Analysis and Probability》，因?yàn)檫@本書后面就是講Probability的，因此前面測(cè)度與積分的部分應(yīng)付后面的Probability足夠了。當(dāng)然，你 也可以參考前面Real Analysis部分的教材，比如Rudin《Real and Complex Analysis》與Royden，他們抽象測(cè)度與積分講的還是不錯(cuò)的，其中Rudin證明Radon-Nikodym則是基于L^2空間的Rieze- Representation Theorem，是基于分析的，跟其他基于Measure-Decomposition的不一樣。

個(gè) 人建議：這門課跟Real Analysis是重復(fù)的，如果你學(xué)了前者，你只需要再補(bǔ)一下Measure Theory常用的證明技巧，比如Dynkin老先生的“PI－Lamda Theorem”，還有所謂的“Good Set-Bad Set”技巧等就沒什么問題了；如果你不想花那么多的時(shí)間來搞Real Analysis，那么你可以學(xué)這門課，Bartle國(guó)內(nèi)沒有，我覺得可以用Halmos，Rudin的測(cè)度與積分部分，Halmos，或者再加上 Royden。這門課掌握了，如果你什么時(shí)候需要多一點(diǎn)的Analysis，你可以把上面Real Analysis的教材拿來，只看你不知道的就好了。

接著兩年來的學(xué)習(xí)總結(jié)二

1．4：Fourier Analysis（Classic）

Fourier Analysis真的很重要的，記得有人稱之為”Queen of Mathematics”,因?yàn)閿?shù)學(xué)中無數(shù)的重要思想都來在于對(duì)這個(gè)領(lǐng)域的研究。它跟PDE那是緊密相連；Probability里面的 Characteristic Function就是一個(gè)Fourier Transform；Time Series的Spectrum就是Auto-covariance Function的Fourier Transform；統(tǒng)計(jì)與計(jì)量中講Empirical Characteristic Function作為進(jìn)行Specification Test的基本工具，還有好多好多例子說明它在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用。

不過這門課很少單獨(dú)作為一門課被講解，我是從前面的1.2 Real Analysis與后面要介紹的Wavelet Analysis兩門課中各學(xué)了一半算是。Classic 的Fourier Analysis主要是研究Fourier Series 展開與Fourier Transform成立的條件，主要推薦的書為Stein & Shakarchi 的《Fourier Analysis：An Introduction》這是Princeton Lecture Notes In Analysis的第一本，也是大師Stein的主要工作領(lǐng)域（他的名著的調(diào)和分析三部曲想必很多人知道），看看這本書的前言你就可以了解為什么 Fourier Analysis這么重要。不過這本書是基于Riemann積分的，因?yàn)榍懊娴腇ourier Series與Fourier Transform講的深度有限，畢竟現(xiàn)代的結(jié)果都是在Lebesgue積分下得到的，但是這本書給出了Finite Fourier Transform在Number Theory里面的應(yīng)用，讓你的視野一下子就開闊了很多。這本書我是從頭讀到尾的，每個(gè)定理的證明都認(rèn)真推導(dǎo)過。基于Lebesgue積分的 Classic Fourier Analysis的主要推薦則是Katznelson著名的《An Introduction to Harmonic Analysis》，經(jīng)典的結(jié)果都在里面，當(dāng)然Rudin<Real and Complex Analysis>的第4章的一部分，第9章以及Folland的第6，7章都是很好的介紹。Pinsky的《Introduction to Fourier Analysis and Wavelets》的Fourier Analysis寫的也很好，不過我有點(diǎn)Follow不了他的證明，有時(shí)候太簡(jiǎn)略了覺得。

最后說一下，這里講的都是比較經(jīng)典的結(jié)果。現(xiàn)代 的Fourier Analysis理論（現(xiàn)在都叫Harmonic Analysis了），包括Littlewood-Paley以及Calderon-Zygmund theory，真是是太難了，我在學(xué)Wavelet Analysis時(shí)本來想試著去學(xué)一點(diǎn)，因?yàn)閃avelet有一塊理論基礎(chǔ)要基于這些，結(jié)果后來實(shí)在學(xué)不下去，只好就此放棄了。當(dāng)然我現(xiàn)在覺得我需要用的 東西也不需要學(xué)這么深入的東西，所以想想心里就舒服多了，自我安慰還是很好的

個(gè)人建議：以Stein & Shakarchi，與Katznelson為主，這至少需要一個(gè)學(xué)期，如果你不想花那么多時(shí)間，那么先看Stein & Shakarchi，然后再讀Rudin與Folland的相關(guān)章節(jié)，最后以Katznelson跟Pinsky作為參考，遇到不明白的到這里來找，這樣 應(yīng)該就OK了，其實(shí)我就是采取的后一種策略，當(dāng)然這跟我學(xué)過Rudin與Folland有關(guān)系。

1.5:Complex Analysis

這 門課我想說的不多，這里本科有個(gè)Honors Course for Complex Analysis,然后Math PHD的Core Course 也包括Complex Analysis，顯然后者比前者要理論的多，前者計(jì)算多一點(diǎn)，后者理論比較多，甚至包括Riemann Mapping Theorem的證明，但是就我看到的來說，感覺本科的就夠用了對(duì)Econ來說，因此學(xué)到什么程度依大家的喜好來定可以。

前 者的參考書可以用Brown & Churchill《 Complex Variables and Applications》，Stein & Shakarchi的《Complex Analysis》，也即Princeton Lecture Notes In Analysis的第二本的前面兩章。后者的參考書可以用Stein & Shakarchi的《Complex Analysis》后半部分，Rudin《Real and Complex Analysis》的后半部分，當(dāng)然經(jīng)典的Alforos的《Complex Analysis》也是上上只選。我當(dāng)時(shí)學(xué)Complex Analysis上的是Graduate Course，用的是后面這幾本，以Stein & Shakarchi為主要教材（這本書習(xí)題答案網(wǎng)上找得到），遇到不會(huì)的就去另外兩本上找，其中關(guān)于Residual 的計(jì)算主要是靠Alforos上的內(nèi)容。老師講的飛快，一個(gè)月就把前面相當(dāng)于本科復(fù)變函數(shù)的部分講完了，后面講了很多非常理論性的東西，比如 Riemann Manifold的東西，聽得我很暈。

個(gè)人建議：我自己覺得如果你本科是數(shù)學(xué)系的或者學(xué)過復(fù)變函數(shù)在國(guó)內(nèi)，那么應(yīng)該不用 再學(xué)這個(gè)課了，足夠用了。如果沒學(xué)過的，建議修這門課，畢竟至少Time Series里面很多東西都是Complex Varariable的，實(shí)際上我自己正在寫一個(gè)Paper，里面Estimator的Asymptotic Distribution服從Complex Normal Random Variable。另，這些書在國(guó)內(nèi)都有英文影印版，省錢啊！！！

1.6:Basic Functional Analysis:

Functional Analysis我打算分開兩部分講，因?yàn)樽霾煌较虻娜诵枰遣灰粯拥奈矣X得。我所在的學(xué)校Functional Analysis是有兩個(gè)課，一個(gè)是與前面有重復(fù)的叫做Applied Functional Analysis，另外一個(gè)是Advanced Functional Analysis，是比較深的理論。本部分講第一個(gè)。這個(gè)課的內(nèi)容就是基本的Functional Analysis內(nèi)容，主要是為那些Engeering，Statistics，F(xiàn)inance，Operation Research專業(yè)的學(xué)生設(shè)計(jì)的，Math PHD學(xué)生是不會(huì)上這個(gè)的，因?yàn)榇蟛糠謨?nèi)容他們都在前面的Real Analysis里面學(xué)過，除了一點(diǎn)Compact Operator Theory或者至多再加上一點(diǎn)Generiazed Function Theory。也就是說，這個(gè)課內(nèi)容主要是Banach Space, Hilbert Space, Compact Operator,以及Generalized Function Theory.前面兩部分都是Real Analysis里面的內(nèi)容，后面分別屬于Operator Theory與Fourier Analysis。這學(xué)期我們系兩個(gè)在做Finance，Decision theory的比我高一級(jí)的哥們就在上這個(gè)課。

主要的參考書 是Friedman《Foundation of Modern Analysis》，這本書寫的真是太好了，看起來很舒服，證明寫的很全很清楚。其實(shí)我沒有上這個(gè)課，我上的是后面的Advanced Functional Analysis，但是因?yàn)楹竺孢@個(gè)課也講Compact Operator與Generalized Function Theory,而且兩門課老師是一個(gè)人，因此我找了這本書看

個(gè)人建議：Friedman這本書國(guó)內(nèi)好像沒有影印版，但在網(wǎng)上好像有電子 版。有一本很好的替代教材，而且是中文的，那就是夏道行先生的<實(shí)變函數(shù)與泛函分析>，這本書跟Friedman那本書講的內(nèi)容深度幾乎沒什 么差別，我覺得這是我看過的中文數(shù)學(xué)書里面寫的最好的一本了，真的是很好！！！！！！！！！！！！

1.7:Advanced Functional Analysis:

這 是一門數(shù)學(xué)系的高級(jí)課程，好多來修這門課的都是二年級(jí)的Math PHD學(xué)生。我是這個(gè)學(xué)期上的，內(nèi)容是Topological vector spaces.，Banach algebras.，The spectral theorem for bounded and unbounded operators.，Compact operators ，Semigroups of operators。從內(nèi)容你就可以看出難度來相信。其實(shí)我覺得這門課應(yīng)該改名叫算子理論，因?yàn)橹饕侵v各種算子以及譜理論。雖然這門課很難，但這是我這 學(xué)期上的最舒服的一門課了，原因是老師真的是講的太好了。上課從不看Notes，那么難的定理，不單Intuition講的明白，而且證明都可以邊講邊 推。我剛開始以為他還很年輕，因?yàn)樗鲜浅錆M了精力。后來我的朋友告訴我，他已經(jīng)76了，很快就要退休了，真是令人驚嘆不已，不得不服。這門課沒有 Final Exam，所有的學(xué)生輪流講最后兩章也即Compact operators與Semigroups of operators的內(nèi)容。結(jié)果輪到我的時(shí)候正好是Hille-Yosida定理的證明，別人都只需要講一節(jié)課，而我卻兩節(jié)課還差點(diǎn)沒講完，不過 Professor安慰我說，我多給你加幾分，然后沖我幽默一笑，真是有意思。這門課快結(jié)束的時(shí)候，班上的學(xué)生都覺得挺依依不舍的，畢竟一起鉆研了這么多 Crazy定理的證明，也算是共患過難了。還有小插曲一個(gè)：班上一個(gè)羅馬尼亞的學(xué)生問我漢語(yǔ)跟韓語(yǔ)的區(qū)別，我立馬跟他說，韓語(yǔ)以前不是語(yǔ)言，只能說，不能 寫，寫都是寫中文，他覺得很驚訝。班上其實(shí)有個(gè)韓國(guó)女生，化妝之后挺PP的（但不知道化妝前啥樣），不過那天她好像不在。管不了這么多了，一定得給他們普 及常識(shí)，別再讓漢語(yǔ)韓國(guó)造這種白癡的說法惡心了！！發(fā)現(xiàn)跑題了，書歸正傳，我們上課用的是老師自己寫的Leture Notes，參考教材是Rudin的《Functional Analysis》（被稱作Adult Rudin），另外Zimmer的一本薄薄的<Essential results of Functional Analysis>與Lax《Functional Analysis》寫的也是很棒的，可以用來作為參考。

個(gè)人建議：如果你做的 方向不是用特別深的隨機(jī)過程理論，這些就不必要學(xué)了，學(xué)好前面的Basic Functional Analysis就好了。我學(xué)這個(gè)是因?yàn)槲铱赡芟胱鳇c(diǎn)Continuous Time Stochastic Process的估計(jì)與檢驗(yàn)，而這里面的Semi-group of operators是研究Continuous Time Markov Process的一個(gè)重要工具。如果要學(xué)的話，Adult Rudin與Lax國(guó)內(nèi)都有英文影印版，不過基礎(chǔ)一定要好，這樣才能學(xué)明白，而且不至于耗費(fèi)你大量的時(shí)間。

1.8：Wavelet Analysis

首 先聲明，Wavelet學(xué)不學(xué)看你是否需要它。我學(xué)這個(gè)是因?yàn)槲乙龅臇|西需要Wavelet這個(gè)工具。Wavelet是近十幾年才發(fā)展起來，但是因?yàn)樗? 的應(yīng)用極為廣泛，而且相對(duì)于Fourier Transform有著Space Localized的優(yōu)勢(shì)，從而成為很多領(lǐng)域的重要的工具，比如Signal Analysis, Numerical Solution for Differential Equations, Nonparametric Estimation，甚至現(xiàn)在Econometrics 里面都有了很多的應(yīng)用。

我是這學(xué)期上的這個(gè)課，課程是為高年級(jí)的Undergraduate設(shè)計(jì)的，但其實(shí)應(yīng)該算是Graduate的課 才對(duì)，因?yàn)槠渲泻芏嘧C明雖然不講，說可以Take It As Granted，但是如果你把太多的東西當(dāng)作Given，那就合著什么都沒說。學(xué)這個(gè)的基礎(chǔ)至少為前面的1.6 Basic Functional Analysis與1.4 Fourier Analysis，要不然很多你東西你根本不知道怎么回事。我上課用的課本為Frazier, 《An Introduction to Wavelets Through Linear Algebra》，說是Introduction跟用Linear Algebra，其實(shí)根本不行，所以這本書的Title很具有誘惑性，不過這本書好處在與將Finite的情形講的特別清楚，從而不至于使你迷失在無限維 空間的眾多的公式之中，忘記了身處何方，而且畢竟你要用Wavelet，肯定用的都是Finite近似Infinite的情形，所以還是很好的。順便提一 句，這是我這學(xué)期四次Presentation中的第一次，巨緊張無比當(dāng)時(shí)，幸虧前天晚上對(duì)著我學(xué)文科的LP一通猛講，進(jìn)行了提前訓(xùn)練（估計(jì)她才不 Care我講的啥，只是當(dāng)看耍猴了），才使得第二天Presentation不至于出丑，不過經(jīng)過這么一次，現(xiàn)在對(duì)任何Presentation都沒什么 畏懼感了，畢竟如果你在講那么你就是專家，所以沒什么可擔(dān)心的。


其他比較好的參考書有前面提到過的 Pinsky，Hernandez 與Weiss 的《A First Course on Wavelets》，Wojtaszczyk的《An Mathematical Introduction to Wavelet Analysis》，至于著名的Daubechies的《Ten Lectures on Wavelets》，我看還是算了吧，書太難了，如果你不是搞數(shù)學(xué)的，看這個(gè)感覺沒什么必要。

個(gè)人建議：我只知道Pinsky的書國(guó)內(nèi)有影印版，其它的可能沒有，不過Pinsky的書寫的足夠用了我覺得，把它看明白了，做點(diǎn)Econ里的應(yīng)用應(yīng)該是可以了。別的書大家可以試著在網(wǎng)上搜索，應(yīng)該可以找得到。

1.9：ODE&PDE:

這 個(gè)我沒什么可說的，因?yàn)槲易约哼€沒正式上過課，只是在國(guó)內(nèi)的時(shí)候自己瀏覽了一下一本中文教材，丁同仁的《常微分方程》。我下一年有可能去修這個(gè) Sequence，第一學(xué)期ODE，第二學(xué)期PDE。它們是比較有用的，不論對(duì)做Macroeconomics還是Finance的來說，因?yàn)? Optimization問題解出來是一個(gè)ODE或者PDE，而且PDE 與Brownian Motion緊密相連，同時(shí)ODE則是Stochastic Differential Equation的Intuition基礎(chǔ)。這方面的書我還沒讀，雖然我知道一些經(jīng)典的書，但是因?yàn)槲覜]讀過，所以我就不推薦了！有興趣的兄弟姐妹去網(wǎng)上 查查可以。

接兩年來的學(xué)習(xí)總結(jié)二，這是三。到這里純數(shù)學(xué)的部分就完了，后面會(huì)有概率跟統(tǒng)計(jì)的部分。

2：Geometry&Topology:

這 個(gè)Field里面我只說一下Point-Set Topology，因?yàn)楦畹谋热鏏lgebraic Topology 跟 Differential Topology一是我沒學(xué)過，二是我感覺經(jīng)濟(jì)學(xué)里對(duì)這些東西的應(yīng)用都集中在General Equilibrium里面幾乎，早被Arrow，Debreu那時(shí)代的大師們做的很深入了，好像很少有人號(hào)稱自己做General Equilibrium了現(xiàn)在。不過可笑的是，國(guó)內(nèi)竟然有連基本的數(shù)學(xué)知識(shí)都很貧乏的人竟然號(hào)稱自己做General Equilibrium理論，真是滑天下之大稽。


Point-Set Topology我沒上過課，由于我一學(xué)期畢竟精力有限，必須要上的已經(jīng)將Schedule添的滿滿的了，實(shí)在沒辦法再上了，即使勉強(qiáng)去聽，沒時(shí)間做題， 沒有長(zhǎng)時(shí)間的認(rèn)真思考，也學(xué)不到什么東西。因此我選擇了在來美后的第一個(gè)Summer自學(xué)。不過因?yàn)榈谝荒晡以谛轗eal Analysis已經(jīng)將很多基本概念都熟悉了，而且最重要的是Topology在Analysis里面的應(yīng)用大概都接觸到了，從而使得我在自學(xué)時(shí)并不感到 迷茫，并沒有“為什么提出這些概念”，“這些概念有什么用”，“什么樣的Intuition”這樣的問題，從而速度快了很多，而且理解的也更深刻一些。即 使是這樣，也花了整整一個(gè)Summer三個(gè)月的時(shí)間才算是學(xué)完，我用的是Munkres的<Topology>，這本書我不得不說真的是寫的 太好了，概念清晰，證明思路清楚完整，尤其一些比較重要的定理的證明，都有相關(guān)的圖形輔助，直觀明了，絕對(duì)是一本經(jīng)典之作。值得一提的是，這本書前面的 Set Theory講的尤其的好，畢竟我們不是做數(shù)學(xué)的，Set Theory我們不需要知道的太多，但是這本書的Set Theory講的比我們需要知道的深一些，但是直觀清楚，讀透了這個(gè)就不需要再看任何Set Theory的東西了，夠你一輩子用的了，如果你做Econ而不是數(shù)學(xué)的話。我自己是講這本書Point Set Topology的部分每一部分都認(rèn)真讀過，證明都過了至少一遍，重要的定理（比如Urysohn’s Lemma, Tynchonoff Theorem）反復(fù)看過幾遍，課后幾乎每一道習(xí)題我都嘗試過，因?yàn)槲冶容^幸運(yùn)的找到了這本書課后習(xí)題的答案，因此做完后有地方可以對(duì)照一下是否自己做的 對(duì)，思路是什么樣的。其實(shí)我是在網(wǎng)上搜到了一個(gè)Course Webpage，好像是荷蘭一個(gè)大學(xué)的，這個(gè)Course用的就是Munkres，布置的習(xí)題都是這上面的，上面有習(xí)題的Solution。當(dāng)我剛開始想 下載時(shí)，就出現(xiàn)網(wǎng)頁(yè)錯(cuò)誤，于是我就Email問那個(gè)Professor。結(jié)果人家很快回信告訴我網(wǎng)頁(yè)錯(cuò)誤他已經(jīng)改過來了，可以下載Solution，并說 如果有問題可以發(fā)信問他，真的是太Nice了。這個(gè)對(duì)我的幫助可以說是巨大無比。當(dāng)然，在學(xué)這本書的時(shí)候我也不斷回去看Rudin的《Real and Complex Analysis》，F(xiàn)olland<Real Analysis>, Royden<Realy Analysis>，其實(shí)后兩本都有算是比較全的Topology的章節(jié)。通過不斷回去讀這些，我對(duì)Topology的應(yīng)用，概念的由來感覺掌握的 更加牢固，畢竟這些書是分析的書，在寫Topology部分時(shí)都比較著重于跟在分析中有用的Topic，比如Complete Metric Space, Function Space，Ａrzela-Ascoli定理等，這些Topic在Analysis都有著極為核心的作用，因此掌握它們是必要的。

最 后為了說明學(xué)這門課的重要性，我說一下Point Set Topology的應(yīng)用，在分析里的就不用說了，如果你是做計(jì)量理論的，那么你一定知道Limit Theory的重要性，也就是各種各樣LLN，CLT定理。其中用的很多的一個(gè)方法就是Embedding，比如極為重要的CLT for Matingale Difference Sequence，而這個(gè)方法基于的就是講Stochastic Process看作一個(gè)從時(shí)間到一個(gè)Function Space的映射，在這個(gè)基礎(chǔ)下來證明Weak Convergence，著名的Billingsley的《Weak Convergence of Probability Measure》整本書就是講這個(gè)，我相信想做計(jì)量的人一定都知道。而這只是A tip of Iceberg，后面非常多的東西都基于這個(gè)，比如統(tǒng)計(jì)Asymptotic Theory里面的Empirical Process，Stochastic Process里面的Convergence，等等。所以Point-Set Topology我個(gè)人認(rèn)為還是很重要的，當(dāng)然專門學(xué)，只是在相關(guān)的課程里面學(xué)一下基本內(nèi)容也是可以應(yīng)付的，但是對(duì)于我自己來說，每次學(xué)不同的東西都要來 一點(diǎn)Topology中新的東西很痛苦，索性我就一次搞定，再無后患了。不過這純粹個(gè)人習(xí)慣。


個(gè)人建議：學(xué)這門課以Munkres為主要教材，一定要從頭學(xué)到尾，課后習(xí)題盡量都做掉，除了個(gè)別怪異的，然后經(jīng)常翻翻Rudin，F(xiàn)olland, Royden等等，以對(duì)其有更加透徹的了解。

3：Algebra
3.1：Linear Algebra

如 前面的個(gè)人背景介紹，我個(gè)人對(duì)Linear Algebra的基本概念與運(yùn)算是很熟悉的，但是來到美國(guó)之后才發(fā)現(xiàn)，其實(shí)自己所學(xué)的僅相當(dāng)于這里數(shù)學(xué)系Undergraduate第二年的Linear Algebra，而對(duì)Honors Course for Linear Algebra里面很多理論的東西則并不知道。實(shí)際上，這正是偏計(jì)算與偏理論型Linear Algebra課的區(qū)別，一個(gè)簡(jiǎn)單的例子就是，前者將矩陣看作一個(gè)數(shù)據(jù)表，而后者將矩陣作為一個(gè)Linear Operator。據(jù)我所知，國(guó)內(nèi)除了數(shù)學(xué)系一年的高等代數(shù)課外，其他系所教的Linear Algebra應(yīng)該都是一學(xué)期而且主要注重于計(jì)算的，理論部分的講解并不深。即使是國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)系一年的課，拿北大數(shù)學(xué)系那本《高等代數(shù)》，理論的深度跟這個(gè) Honors課也是存在差距的，比如Spectral Theorem那一塊，深淺程度差別是很大的。

為什么要學(xué)這些理論部分呢？想想泛 函分析里講的是什么，那不恰恰正是矩陣代表的有限維線性空間上線性算子在無窮維空間上的推廣么！！！我當(dāng)初在國(guó)內(nèi)學(xué)泛函分析的時(shí)候，老是對(duì)有些概念如 Dual Space，有些技巧比如用一個(gè)線性空間上的所有線性泛函來刻畫這個(gè)線性空間，等等很多東西覺得很茫然，感覺不到從哪兒來的。而實(shí)際上，這些概念都是 Linear Algebra相應(yīng)概念的推廣，只是因?yàn)榉汉锸菬o限維空間所以我們需要考慮Topology的問題，而Linear Algebra里則是有限維空間，上面所有的Topology都是等價(jià)的，因此我們不在Linear Algebra里面考慮Topology，只有Algebra的相關(guān)概念而已。

這個(gè)課我學(xué)了兩次，第一次是來美的第一個(gè)學(xué)期，當(dāng)時(shí)上這個(gè) Honors的課，大概到了學(xué)期一半的時(shí)候，因?yàn)镋con的課考試太多（兩次期中，一次期末），再加上我還上了巨難無比的Real Analysis，最后不得不放棄掉；然后上個(gè)學(xué)期，我又從上次自己停下的地方接著開始聽，算是把這門課完整學(xué)了一遍。上課教材是Curtis 《Linear Algebra: An Introductory Approach》，寫的非常好，前面從Chp1到Chp6相對(duì)來說還比較容易對(duì)付，后面從Chp6到Chp9則是精華部分，理論講的很深，證明也必須反 復(fù)琢磨，題目要多做，這樣才能理解深刻。而且很多Abstract Algebra的東西都在這里穿插講解，比如Group，Ring，Linear Algebra等等。其中關(guān)于那些Decomposition Theorem（Jordan，Rational等等）的證明，是基于了Linear Algebra（一個(gè)線性空間再加上一些乘法性質(zhì)）的概念。而Linear Algebra在泛函里的推廣，則是著名的Banach Algebra，它就是無限維空間里Spectral Theorem證明的基礎(chǔ)。還有一本著名的教材是Hoffman&Kunze的《Linear Algebra》，寫的更Comprehensive一些。

個(gè)人建議：Curtis國(guó)內(nèi)有影印版，可以以這本書為主，將其做透，習(xí)慣盡量全做，如果有興趣可以看一下Lang 的<Undergraduate Algebra>，國(guó)內(nèi)也有影印版，不過比Curtis的書要簡(jiǎn)單。

3.2：Abstract Algebra

這 門我沒什么可說的，我自己沒去上過課，關(guān)鍵是其在Econ里面不象Analysis那么重要。Abstract Algebra的概念我一部分是在Linear Algebra里面學(xué)到的，一部分是自己就讀了一本薄薄的中文教材張禾瑞《近世代數(shù)基礎(chǔ)》，再參考了一下Rotman的《 A First Course in Abstract Algebra》。 我見到過的Abstract Algebra是在Functional Analysis里面Banach Algebra跟Semi－Group算是一點(diǎn)，另外的是在Fourier Analysis里面有抽象的Fourier Analysis在Locally Compact Hausdorff Group空間上，算是將Topology跟Algebra里面的Group概念結(jié)合起來，其實(shí)這些都是對(duì)n維歐式空間的推廣。關(guān)于這門課我自己也還沒決定是否去修，因?yàn)橐袁F(xiàn)在我見到的來看，除了我上面所說的Abstract Algebra的東西，好像進(jìn)一步的深入不是很必要。所以，有時(shí)間有精力愿意學(xué)的就去學(xué)，如果你象我一樣，不是那么有時(shí)間，我覺得自己讀一下張禾瑞的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》大概了解一下就好了，如果感覺不是很清晰，可以再看一下Rotman，感覺這樣就足夠了。

接兩年來的學(xué)習(xí)總結(jié)三，這是四。

六，概率統(tǒng)計(jì)課程科目與教材推薦

好，現(xiàn)在終于到了與Econ，F(xiàn)inance 關(guān)系最緊密的概率統(tǒng)計(jì)部分。關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)的重要性我實(shí)在不想再?gòu)?qiáng)調(diào)了，不過需要再說一句的是，很多同學(xué)覺得學(xué)計(jì)量，學(xué)Finance很多東西看不懂，迷 茫，那就是因?yàn)槟愀怕式y(tǒng)計(jì)沒學(xué)好；甚至還有很多論調(diào)說什么Idea最重要，數(shù)學(xué)不重要，對(duì)于這種說法，我想說，別說Econ，F(xiàn)inance，連數(shù)學(xué)都是 Idea最重要，任何學(xué)科都是Idea最重要的，但是你連基本的知識(shí)，研究工具都沒掌握，都一竅不通，何來資本去討論什么Idea？？好了，語(yǔ)調(diào)有點(diǎn)激 烈，不想多說了，這個(gè)問題說多了沒意思！下面我概率統(tǒng)計(jì)分開講。

1概率

1.1：Basic Probability Theory

這 個(gè)很重要，雖然不是基于Measure-Theory的，但是是你明白概率是什么東西的基礎(chǔ)。國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)系本科一學(xué)期的概率論的內(nèi)容基本跟這邊 Undergraduate的Honors Course for Probability差不多，但問題是很多學(xué)校的老師不怎么認(rèn)真在講的時(shí)候。比如我所在學(xué)校的數(shù)學(xué)系，當(dāng)時(shí)那個(gè)老師真是不咋地，上課光在那閑扯淡，證明 一點(diǎn)都不講，而且課堂過大，整個(gè)數(shù)學(xué)院所有不同專業(yè)的學(xué)生一起在上課，起碼100多號(hào)人，效果可想而知。我不知道別的學(xué)校情況咋樣，但是我本科所在學(xué)校的 數(shù)學(xué)系還是國(guó)內(nèi)比較不錯(cuò)的，連這里況且如此，很多地方可能也好不到哪去。當(dāng)然，這只是我個(gè)人的瞎猜想，沒有任何證據(jù)。

這門課的主要教材是 名家Durrett的《The essentials of Probability 》，我想很多人都知道他的另外一本Graduate Probability教材《Probability：Theory and Examples》，現(xiàn)在美國(guó)這邊的學(xué)校幾乎都用這本書作為Math PHD Probability課的教材。順便說一句，Durrett是超級(jí)牛人鐘開萊（中國(guó)人，雖然是美國(guó)公民）的學(xué)生，好像我記得他在一本書里管鐘開萊叫做 Academic Godfather，真是牛到無極限啊。

這門課Durrett這本書所有內(nèi)容全講，題目幾乎全做，這樣使得學(xué)生 Basic Probability的基礎(chǔ)相當(dāng)好，Probability的Intuition很不錯(cuò)，從而在后面學(xué)習(xí)基于Measure Theory的Probability跟Stochastic Process時(shí)，不至于迷失在Technical Details中。不過這本主要是給Math的學(xué)生的，我自己覺得Casella & Berger的《Statistical Inference》前面的Basic Probability部分也是超好無比，而且這是一本數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教材，多了很多Distribution的東西，從而給你學(xué)數(shù)理統(tǒng)計(jì)打下一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基 礎(chǔ)。并且，這本書習(xí)題量大質(zhì)量又好，而且網(wǎng)上有Solution Manual，所以是非常好的習(xí)題書。我自己其實(shí)沒有上這門課，不過我們計(jì)量I（美國(guó)這邊計(jì)量I其實(shí)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，不過有經(jīng)濟(jì)系的特點(diǎn)罷了） 當(dāng)時(shí)教材是Cassella & Berger，于是我就把前五章的習(xí)題都給做了，真是受益匪淺。 另外，國(guó)內(nèi)復(fù)旦李賢平的那本概率論教材也是非常好的。

個(gè)人建議：經(jīng)管類畢業(yè)的同學(xué)我想都有一點(diǎn)概率論基礎(chǔ)了，所以個(gè)人覺得不必要專門花一 學(xué)期修這門課，但是我想自己自學(xué)或者在上計(jì)量I的時(shí)候?qū)⒒緝?nèi)容再過一遍，查缺補(bǔ)漏是有必要的，多做點(diǎn)題目，最好能將Casella & Berger前面五章的題目做完，然后適當(dāng)?shù)膮⒖枷翫urrett當(dāng)有概念不清晰的問題時(shí)，這樣基礎(chǔ)就打的比較牢了。Casella & Berger國(guó)內(nèi)有影印版，習(xí)題答案網(wǎng)上可以找得到。至于原來讀數(shù)學(xué)的同學(xué)，請(qǐng)根據(jù)你原來學(xué)的深度自行決定。

1.2：Measure-Based Probability-Probability I

這 門課跟下面的Introduction to Stochastic Process-Probability II通常在美國(guó)這邊是一年的Core Course Sequence 給那些將來可能做Probability的Math PHD學(xué)生。Probability I的內(nèi)容一般包括（以我所在的學(xué)校為例）以測(cè)度論為基礎(chǔ)的的概率基本概念，經(jīng)典的極限定理（LLN于CLT for Independent Sequence）, Random Walk，Conditional Expectation,有的還會(huì)加上Discrete Time Martingale Theory。這門課的先修課為Real Analysis或者M(jìn)easure Theory，你必須對(duì)Measure and Integration的內(nèi)容很熟才行。 這門課我想不論你是做微觀，宏觀，還是計(jì)量還是Finance基本上最好都要學(xué)，畢竟現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)Uncertainty是核心，從而概率的應(yīng)用極為廣泛。 微觀里現(xiàn)在做的Decision theory, 關(guān)于Imperfect Information的很多東西都需要很好的概率論基礎(chǔ)，上周跟一個(gè)要跟我們這里一個(gè)微觀牛人做的同學(xué)見面討論，他說那個(gè)Professor的 Paper里就用到了Martingale Convergence Theorem，雖然不是很深，但是一個(gè)好的Probability基礎(chǔ)還是很必要的；宏觀里面常用的Stochastic Optimal Control，Stochastic Dynamic Programming；還有更不要提Finance了，如果沒有一個(gè)好的概率基礎(chǔ)，根本連現(xiàn)在入門的Asset Pricing教材你都看不懂，比如Cochorane的《Asset Pricing》，更別說Duffie的《Dynamic Asset Pricing》跟Merton的《Continuous-time Finance》了；計(jì)量理論我就更不說了，它本來就是研究一些有經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)特點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)理論的，想想Time Series Econometrics里的Unit，Cointergration吧，那里Asymptotic distribution的推導(dǎo)都是基于Functional CLT的。我就不多說了，總之，我們這里理論做的比較好的同學(xué)，幾乎都有一個(gè)很好的Probability基礎(chǔ)。

如果你 Measure Theory掌握的好，學(xué)這門課會(huì)舒服很多，當(dāng)然，你依然需要花費(fèi)巨大的時(shí)間跟精力。我這門課上了兩次，一次是在Operation Research系里上的，講課的是個(gè)俄羅斯裔的老師，課講的極好，真的算是領(lǐng)教了Russian的數(shù)學(xué)水平，一個(gè)字，牛！！！光作業(yè)就給我們布置了14 次，每次5－7個(gè)題目，一學(xué)期下來做了快一百個(gè)題目，想象一下，Graduate Course，每個(gè)題目光寫有的時(shí)候就要2頁(yè)多紙，學(xué)的時(shí)候真的是痛苦之極，不過學(xué)完之后真的是感覺收獲特別多。我經(jīng)常跟OR幾個(gè)同學(xué)討論問題，他們都是 國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)系出身，有的都是在這邊的學(xué)校讀過數(shù)學(xué)然后再轉(zhuǎn)到這邊來的，他們對(duì)作業(yè)量之大也很頭疼，不過我們都很覺得那個(gè)老師確實(shí)講的好，沒得說。一個(gè)搞笑的 是，這個(gè)老師的Webpage上寫著，“對(duì)于那些不想完成作業(yè)的同學(xué)請(qǐng)點(diǎn)這個(gè)鏈接”，然后等你點(diǎn)了后就到了另外一個(gè)Web上，上面是他練空手道的一張照 片，而且照片的光線有問題，他兩眼發(fā)的都是綠光，恐怖啊，呵呵！！

由于這個(gè)課老師為了照顧一些對(duì)Measure Theory不是很熟的同學(xué)，于是他花了快一半的時(shí)間又把Measure Theory講了一遍（這部分內(nèi)容他主要用Billingsley的《Probability and Measure》里面的測(cè)度論部分），因此后面概率的東西只是講到了CLT，后面沒有講Martingale，而且LLN跟CLT講的不是特別深入，只是 證明了IID情形下的定理，并沒有證明Independent but not Identical Distribution的情形，而且我也想學(xué)多一點(diǎn)，因此我就去上了Math PHD Probability Core Sequence的第一學(xué)期的課（我本來想著上了OR這個(gè)然后直接去上第二學(xué)期的Probability II就算了的）。總算是把這個(gè)搞定了。

總 的來說，Probability的好教材是非常之多，其中有Durrett,《Probability: Theory and Examples》，Williams,《Probability with Martingales》，Billingsley,《Probability and Measure》，Resnick 《A Probability Path 》，Jacod & Protter，《Probability Essentials》, Dudley，《Real Analysis and Probability》, Shirayev，《Probability》，以及牛人鐘開萊的《A Course in Probability》這些教材基本上都是包括了Probability I的測(cè)度論為基礎(chǔ)的的概率基本概念，極限定理與Probability II的Stochastic Process的內(nèi)容，所以基本上每一本都可以作為這一Sequence的教材，不過不同的教材特點(diǎn)還是不一樣的。

Billingsley 是公認(rèn)的好教材，特點(diǎn)是全，既有Measure Theory的完整介紹，又包含有直到Brownian Motion的一年P(guān)robability課的所有內(nèi)容，但有個(gè)問題是體系安排很怪異，不適合從頭看到尾，事實(shí)上我們是從Chp2，Chp3開始學(xué)，然后 穿插上Chp1的內(nèi)容，然后再過渡到后面的Probability部分的。這本書的行文也是Informal式的，很多重要定理的敘述證明都是在字里行間 完成的，并不是定理－證明式的寫法。我個(gè)人經(jīng)驗(yàn)是不適合自學(xué)，如果有老師教課用這本書，那真的是再好不過了，不過如果沒有老師教，最好把這本作為參考。這 本書的課后習(xí)題非常好，對(duì)于比較難的題目后面附有簡(jiǎn)要的答案。做Econ的人好多Paper后面在涉及Probability的時(shí)候引用的都是這本書（看 看White的《Asymptotic Theory for Econometrians》），我猜他們當(dāng)時(shí)學(xué)概率用的都是Billingsley這本教材，呵呵。

Durrett的教材是給Math PHD的標(biāo)準(zhǔn)教材，全書主要講概率，將Measure Theory的主要結(jié)果附錄在書的后面，以供參考，因此，學(xué)這本書必須有扎實(shí)的Measure Theory基礎(chǔ)。現(xiàn)在國(guó)內(nèi)這本書剛出了影印版（Billingsley現(xiàn)在也剛處影印版，痛啊，這兩本書花了我快200刀就，因?yàn)槲倚拚n的時(shí)候國(guó)內(nèi)還沒 有影印版，唉），忘記上面是誰(shuí)做的序了，講了一個(gè)故事，說是有個(gè)Math PHD學(xué)生放假還是怎么著出去玩的時(shí)候，身邊就帶了這么一本書，然后這個(gè)學(xué)生現(xiàn)在美國(guó)是美國(guó)一所著名大學(xué)的Professor了已經(jīng)。拋開故事真假不說， 我對(duì)這種傳說式的故事一點(diǎn)都不信，搞得好像背著寶劍，身懷絕世武功，天生的武功奇才一樣，不知道是不是武俠小說看的是不是太多了（實(shí)際上，我的武俠小說看 的是巨多無比）。Durrett這本教材講的雖然挺難，但只是一些早期Probability結(jié)果的總結(jié)，離著研究前沿還差的很遠(yuǎn)。所以我覺得序里的故事 是想說明把這本書學(xué)透基礎(chǔ)就會(huì)打的很牢固，但是這種故事容易對(duì)人形成誤導(dǎo)，起碼我記得我在未學(xué)Measure Theory跟Probability I之前也看過很多這種小故事，看完后熱血沸騰，老想著一口氣吃成個(gè)胖子，但是事與愿違，反而事倍功半，其實(shí)最重要的還是下功夫好好學(xué)。當(dāng)然，這只是針對(duì)我 個(gè)人而言，別的同學(xué)可能比我要理智的多。閑話不多說，Durrett這本書Probability I的內(nèi)容講的比較深，其中Random Walk作為單獨(dú)一章進(jìn)行深入透徹的講解，我想Random Walk做Econ的同學(xué)應(yīng)該很熟吧，這就是Unit Root Process了。其他書唯一這樣做的就是鐘開萊了，我想Durrett這樣做跟他是鐘開萊先生的學(xué)生有關(guān)系吧應(yīng)該。Durrett這本是我們這 Probability I&II這個(gè)One Year Sequence的主要教材，老師沒有自己的Lecture Notes，會(huì)把這本書從頭講到尾，至于為什么我就不多說了。

下面想說牛人鐘開萊的書了，這本書如前面?zhèn)€人背景里面所述，我在國(guó)內(nèi)的時(shí)候 上那個(gè)測(cè)度論因?yàn)楹芏鄦栴}不明白所以就找了這本書來看，結(jié)果受益匪淺。忘記在哪里看過了，說這本書其實(shí)是將前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家對(duì)基于測(cè)度的概率論，對(duì) Independent情形下Limit Theorem的研究的一個(gè)總結(jié)。也就是說，這可以說是一本現(xiàn)代概率論教材的雛形，雖然在這之前也有很好的教材，但是正是這本書以及鐘開萊在 Stanford教授這個(gè)課程的經(jīng)驗(yàn)，導(dǎo)致了現(xiàn)在大部分學(xué)校的第一門概率Core Course所教授的主要內(nèi)容為Independent情形下的Limit Theorem。實(shí)際上，我覺得在Limit Theorem定理的證明上，這本書依然是講的最好的，不但嚴(yán)格，而且清晰明了，反而現(xiàn)在很多新出的概率書講的迷迷糊糊，要嗎不嚴(yán)格，要么太 Technical。不過這本書大量集中于Limit Theorem的證明，作為Probability II主要內(nèi)容的Martingale，Markov Chain講的很少（當(dāng)然，我覺得依然講的很好，特別干脆利落），對(duì)Ergodicity，Brownian Motion更是一點(diǎn)都沒涉及，他前言里好像說了這些應(yīng)該作為第二門課的內(nèi)容我記得。所以，這本書是加強(qiáng)版的Probability I教材，但是不能作為Probability II的教材。

Shirayev的書是一本典型的Russian數(shù)學(xué)書，內(nèi)容跟 Durrett基本上一樣，只是前面加了一章基本的Probability and Stochastic Process，后面用兩章講了Stationary Process，少了對(duì)Brownian Motion的介紹。這本教材證明上清楚明了，課后習(xí)題很多是一些重要結(jié)果，是很好的教材。而且對(duì)Stationary Process的講解特別好，算是奠定了Time Series Analysis的一個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。想做Time Series Analysis我想這是一本必備的參考書。

Williams的書短小精悍，講完P(guān)robability的基本內(nèi)容立即進(jìn)入Martingale的學(xué)習(xí)，真的是又快又準(zhǔn)，畢竟Martingale在現(xiàn)代Probability甚至是Econ，F(xiàn)inance等等都起著關(guān)鍵的作用。

Resnick 的書是我上OR那個(gè)Probability的教材，因?yàn)镽esnick本身就是在OR系，所以他寫的教材就稍微簡(jiǎn)單點(diǎn)，很多結(jié)果都給出了證明，不象是前面 那基本為Math PHD準(zhǔn)備的書很多結(jié)果你自己要證明，有的時(shí)候花很多時(shí)間。這本書的內(nèi)容最后一章講了Martingale，前面是Measure Theory跟Probability I的內(nèi)容，看起來相對(duì)其他幾本要稍微容易點(diǎn)，很多學(xué)校開給Engeering，Statistics或者Finance學(xué)生的Probability課都 用這個(gè)作為教材。

Dudley的書Probability部分講的內(nèi)容很多，從經(jīng)典的Limit Theorem到Martingale，到Brownian Motion，Ergodicity甚至還有一些Weak Convergence的內(nèi)容，由于這本書整合了Real Analysis跟這么多的Probability內(nèi)容，深度上感覺稍微差一點(diǎn)。Dudley本人在Empirical Process方面是奠基人之一，他1978年左右的幾篇Paper給出了處理Empirical Process不Measurable一種處理方法，奠定了他的地位。他本人是MIT的教授，這本書是MIT概率論的教材，這門課的內(nèi)容你可以在MIT Opencourse上查得到，上面有一些講義跟習(xí)題答案，可以用來作為參考。

Jacod & Protter我沒讀過，把它列出來是因?yàn)檫@本書近年來有很多地方都在用，更重要得是這兩個(gè)人雖然都是數(shù)學(xué)出身，但是現(xiàn)在都在做Finance得東西，而 且都是名家。Protter是OR的Professor，我想很多做Finance的人都知道，他跟Jarrow有一篇關(guān)于Term Structure的Paper影響很大，是用Diffusion Process作為Model的。而Jacod則是法國(guó)巴黎“？“大的數(shù)學(xué)系教授，他跟Princeton經(jīng)濟(jì)系的Professor Ait-Sahalia（Review of Financial Studies的上一個(gè)三年的Editor）合作了一系列關(guān)系Continuous Time Process的算是金融計(jì)量領(lǐng)域的文章。

當(dāng)然，在這邊Finance領(lǐng)域主要還是在Business School，但由于Merton，Duffie等人對(duì)連續(xù)時(shí)間模型的使用導(dǎo)致了很多原來做Probability的數(shù)學(xué)出身的人都在搞Asset Pricing，不過他們管這個(gè)叫做Financial Mathematics，F(xiàn)inancial Engeering等等，國(guó)內(nèi)山東大學(xué)的彭實(shí)戈搞得所謂的金融數(shù)學(xué)其實(shí)就是這個(gè)。結(jié)果現(xiàn)在在搞Econ，F(xiàn)inance的人與這批以前數(shù)學(xué)出身的人之間有 了巨大的分歧，前者認(rèn)為后者擺弄數(shù)學(xué)，沒有Intuition，沒有Idea；而后者認(rèn)為前者數(shù)學(xué)不行，模型用的不嚴(yán)格。于是就各搞各的，各自形成了一個(gè) 圈子。個(gè)人認(rèn)為兩者都有道理，前者很多數(shù)學(xué)確實(shí)不行，模型用的不是很好，統(tǒng)計(jì)工具掌握的也不好，于是Journal of Finance上的Paper非常多的計(jì)量用的不對(duì)，或者是為了一個(gè)比較Significant，比較Interesting的結(jié)論故意這么做。其實(shí)很多 結(jié)果，如果你用正確的或者比較嚴(yán)格的計(jì)量方法再做一遍，根本就不對(duì)，從而得出的Interesting的結(jié)論的可信度大打折扣。但是由于這些人已經(jīng)形成了 一個(gè)圈子，他們之間互相接受這種做法，所以文章還是能發(fā)，研究還是能做。說道這里，順便說一下，記得以前在國(guó)內(nèi)看到有人把Journal of Finance(JF), J of Financial Economics(JFE) 跟Review of Financial Studies（RFS）給排了一個(gè)順序，說什么這個(gè)比那個(gè)好，那個(gè)比這個(gè)好。我猜那個(gè)排法應(yīng)該是按照所謂的影響因子或者引用率之類的來排的，但是個(gè)人覺 得這種東西沒什么意思，這三個(gè)Journal都是Finance的Top Journal，如我前面所說JF的文章數(shù)學(xué)水平，計(jì)量工具的嚴(yán)格性要差一點(diǎn)，但是這樣導(dǎo)致了結(jié)果很Interesting，而RFS是數(shù)學(xué)應(yīng)用深一點(diǎn)， 計(jì)量工具用的嚴(yán)格，但反而結(jié)果不那么Interesting。如此一來，使得JF的引用率要高于RFS，但你能就說前者比后者好嗎？如果你真的這么想，那 比較一下Econometrica上文章的引用率跟其他Journal然后再來回答這個(gè)問題。實(shí)際上，在美國(guó)這邊的學(xué)術(shù)圈子里也存在爭(zhēng)論，有人覺得JF好 一些，有人覺得RFS更好一些，所以這也是沒辦法的事。但是我覺得做事要嚴(yán)謹(jǐn)一點(diǎn)，不要對(duì)別人產(chǎn)生誤導(dǎo)，所以當(dāng)你說JF比RFS好，或者RFS比JF好的 時(shí)候，我自己就會(huì)加上，“我覺得“，或者“按照引用率，按照工具使用的嚴(yán)格程度來說“等等的修飾詞以表明你這樣判斷的根據(jù)。

接著上面，反 過來講，后者確實(shí)是Intuition比較差一點(diǎn)，由于Econ比較特殊的學(xué)科性質(zhì)，你用的嚴(yán)格卻沒有Interesting的結(jié)論，模型很好，但是結(jié)論 跟以前一樣，這樣就沒什么太大的意義。拿彭實(shí)戈老師做的Backward SDE來說，數(shù)學(xué)上確實(shí)很重要，提供了一種新的處理SDE的方法，而且實(shí)踐上也可以應(yīng)用；但是拿到Finance理論上來看，就是提供了一種解B-S模型 的方法，而Finance理論則是再探討B(tài)-S模型本身的問題，所以這個(gè)研究對(duì)于Finance理論則基本上沒什么意義或者意義不是很大。從這里可以看 出，學(xué)術(shù)研究某種程度上也是市場(chǎng)化，需要有人跟你一起開拓，有人欣賞你的東西才行，要不然你自己認(rèn)為的再好的東西也賣不出去。

好了，該結(jié) 束這一部分了，太長(zhǎng)了。這部分介紹的書太多了，說一下我的學(xué)習(xí)過程。我個(gè)人由于是修課所以主要用了Billingsley的教材，基本上通讀了算是，鐘開 萊的書我也基本上看完了，看這個(gè)是因?yàn)長(zhǎng)LN，CLT 的證明講的好。Shirayev我精度了他講Stationary Process的兩章，及Martingale那一章的部分內(nèi)容。Durrett我沒有精讀，因?yàn)樯厦娴暮枚嘧C明都在別的書上認(rèn)真推導(dǎo)過了，而且我下面會(huì) 再去上那個(gè)一年的Core Course Sequence，這次完全講這本書，所以打算把它精度一遍。其他幾本W(wǎng)illiams, Resnick , Dudley都只是在看別的書產(chǎn)生問題時(shí)候去找相應(yīng)的部分做了參考。還有就是修完課后我花了幾天時(shí)間把它們?yōu)g覽了一下，以對(duì)照一下感覺。

個(gè) 人建議：可以用Billingsley，Durrett，鐘開萊，Shirayev中的任意一本作為主攻教材，盡量完成大部分的課后習(xí)題，很多題目網(wǎng)上應(yīng) 該可以搜索到答案。這四本書國(guó)內(nèi)都已經(jīng)有了英文影印版了，可以省錢了又。其他幾本W(wǎng)illiams, Resnick , Dudley可以作為參考，Williams網(wǎng)上有電子版，而Dudley國(guó)內(nèi)有英文影印版，Resnick就不知道了。

1.3：Introduction to Stochastic Process-Probability II

這 門課主要內(nèi)容是Discrete time Stochastic Process,，講Martingale, Markov Chain, Stationary Process and Ergodicity, Brownian Motion(BM)，有的老師還會(huì)加上點(diǎn)Introduction to Ito’s Integral with respect to BM。 我這學(xué)期上這個(gè)課的老師是在概率領(lǐng)域里面一個(gè)超級(jí)牛的Russian老頭，他教的東西太多了。除了上面的內(nèi)容，他還講了Continuous-time 下的Martingale跟Markov Process，甚至包括了Stochastic Integral最General的情形即對(duì)于Semi-martingale的積分，所有這些內(nèi)容加起來一般都是分兩門課來講的，因此作業(yè)做的我很痛 苦。不過痛苦完后感覺收獲還是很大的。由于他這種教法是非常規(guī)的，并不是Probability II應(yīng)該包含的內(nèi)容，因此學(xué)這門課我覺得還是以標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容為主，打好基礎(chǔ)，這樣以后要用到比較深的概率理論就可以自己學(xué)了，因?yàn)楹竺婺阋玫降目赡芏际墙? 才得出的結(jié)果，這種內(nèi)容開課講的好像不多，即使有也跟老師的研究方向有關(guān)了。

鑒于前面已經(jīng)將眾多概率教材做了詳細(xì)介紹，這里就簡(jiǎn)要一談就 可以了。Billingsley的書把Probability II里面的內(nèi)容都包含了，但不是特別成體系，都是分散開來的，所以不太適合作業(yè)主要教材。不過他最后一部分分兩章講的General Theory for SP跟BM是非常好的，前面一章詳細(xì)的介紹了給出一個(gè)Finite Distribution然后Construct一個(gè)SP的方法，也即Kolmogrov Consistency Theorem，給SP的存在性奠定了一個(gè)基礎(chǔ)。Durrett是標(biāo)準(zhǔn)的教材，因?yàn)閷easure Theory作為附錄，從而騰出了大量空間詳細(xì)介紹SP，是非常好的現(xiàn)代教材。鐘開萊這方面的內(nèi)容很少，但是他最后一張對(duì)Martingale跟 Markov Process的介紹切中要害，理解深刻，我覺得非常值得一讀。Shirayev內(nèi)容跟Durrett差不多，只是少了BM的介紹，但是多了 Stationary Process的詳細(xì)討論。Williams, Resnick , Dudley都有一些相關(guān)的介紹，但不如前面基本書是系統(tǒng)的介紹，所以只能用作參考我覺得。

個(gè)人建議：Durrett或者Shirayev都可以作為主要教材，主要的參考教材可以用Billingsley，鐘開萊，其它基本可以翻一翻，了解一下別的處理方法。

1.4：Continuous time SP, Stochastic Integral and SDE, Weak Convergence and Convergence of SP, Limit Theorems for Dependent Sequence

這些內(nèi)容每一個(gè)都是概率論的一部分比較現(xiàn)代 一點(diǎn)的內(nèi)容，關(guān)于這些內(nèi)容的書一般都叫做Monograph，而不是象前面那些一樣可以叫做Textbook，當(dāng)然每一部分都是挺難的，想學(xué)會(huì)也挺不容易 的。我這里只能稍微說幾句，沒法細(xì)論，一是因?yàn)檫@些內(nèi)容都比較Specialized，如果你不需要根本不需要學(xué)，不象前面的內(nèi)容是一個(gè)Econ PHD最好能具備的素質(zhì)基礎(chǔ)；二是因?yàn)槲乙舱f不了，因?yàn)槲易约哼€沒有修這些課，有的是無課可修，根本沒人講，只能自己學(xué)，比如Limit Theorems for Dependent Sequence，雖然計(jì)量尤其是Time Series Analysis經(jīng)常用，但是沒人教這些東西，不過如果前面Probability I & II你基礎(chǔ)打好了，花上一點(diǎn)時(shí)間跟精力學(xué)好是沒問題的。還有的是因?yàn)檫@些課程需要的預(yù)備知識(shí)太多，比如Stochastic Integral and SDE需要Discrete time SP的一些知識(shí)，Weak Convergence and Convergence of SP需要Topology跟SP的知識(shí)，所以我也沒法修（這個(gè)是很難跨越的，Weak Convergence and Convergence of SP去年有個(gè)老師開這門課，我當(dāng)時(shí)只是上了Probability I，學(xué)了Topology，但是沒有SP的知識(shí)，前面講Weak Convergence還勉強(qiáng)可以聽，后來講Convergence of SP時(shí)完全聽不懂，最后只好Drop掉了那門課），自己水平還不到。

我 在這里稍微寫一下是因?yàn)橛行┤藢砜赡軙?huì)修其中的內(nèi)容，比如做Finance的人會(huì)去修Continuous time SP, Stochastic Integral and SDE,做計(jì)量的人有的會(huì)去學(xué)Weak Convergence and Convergence of SP跟Limit Theorems for Dependent Sequence等。 我雖然沒有修過但是已經(jīng)接觸到了其中甚至大部分的內(nèi)容，比如我這學(xué)期上的Probability II已經(jīng)將重要的Continuous time SP 跟Stochastic Integral，SDE都講了；Weak Convergence and Convergence of SP雖然后面我沒學(xué)好，但是Weak Convergence我還算是學(xué)明白了，因此我知道有哪些書是用的比較多的，在這里稍微列一下，以便兄弟姐妹需要學(xué)的能找到合適的參考書，還有過來讀 Econ PHD的知道哪些書可以帶來，以便省錢，呵呵，省錢萬(wàn)歲！！

Continuous time SP跟Stochastic Integral and SDE都是聯(lián)系在一起的，好多教材都是兩者一起講，這其中比較好的教材為：

Revuz and Yor, 《Continuous time martingale and BM》(國(guó)內(nèi)世圖好像即將出影印版了)

Williams and Rogers, 《Diffusions, Markov Process and Martingales》I & II（有影印版）

Oksendal，《Stochastic Differential Equations》(有影印版，好像都出到第六版了，可能是最簡(jiǎn)單的Stochastic Calculus教材)

Karatzas and Shreve, 《BM and Stochastic Calculus》（GTM，有影印版）

Protter，《Stochastic integration and differential equations 》（國(guó)內(nèi)即將有影印版，這是最難的一本Stochastic Integral教材了可能）

Shreve， 《Stochastic Calculus for Finance》，Vol II（國(guó)內(nèi)有影印版，這本是現(xiàn)在標(biāo)準(zhǔn)的Continuous Time Finance的教材了，這邊大部分的Financial Engeering Program都用這個(gè)）

Weak Convergence and Convergence of SP的教材有：

Billingsley， 《Convergence of Probability Measure》

Jocod and Shereve，《Limit Theorems for Stochastic Process》

Ethier and Kurtz，《Markov Process: Characterization and Convergence》

Van der Vart and Weller, 《Weak Convergence and Empirical Process》(這其實(shí)是一本Empirical Process的教材，但Weak Convergence講的很不錯(cuò))

這些書國(guó)內(nèi)好像沒有影印版，不過倒是都有電子書，大家在網(wǎng)上應(yīng)該可以搜索得到。

Limit Theorems for Dependent Sequence

用這些內(nèi)容的我覺得肯定是想做Time Series Analysis的同志們，可以參考的教材有；

Hall, 《Martingale Limit Theorems》（這本書早已不印刷了，不過網(wǎng)上找得到）

Davidson, 《Stochastic Limit Theorem》（這是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)家寫的，不過連Billingsley都在他的<Convergence of Probability Measure>專門提過）

好了概率部分就結(jié)束了，最后還有數(shù)理統(tǒng)計(jì)的一部分就大功告成了。

接兩年來的學(xué)習(xí)總結(jié)四，這是五，也是最后一部分。大功搞成了終于，累死我了

2 數(shù)理統(tǒng)計(jì)

好了，終于到了最后一部分了。

2.1：Basic Mathematical Statistics：

這 是基本的非基于測(cè)度論的數(shù)理統(tǒng)計(jì)，這部分內(nèi)容加上1.1的Basic Probability Theory其實(shí)正好是美國(guó)這邊Econ PHD計(jì)量I的內(nèi)容。這部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容相當(dāng)于這邊本科Hornors Course for Math Statistics的內(nèi)容，因?yàn)槲以趪?guó)內(nèi)既上過經(jīng)管類那種概率統(tǒng)計(jì)一門課大雜燴的數(shù)理統(tǒng)計(jì)，也上過數(shù)學(xué)系單獨(dú)一學(xué)期的數(shù)理統(tǒng)計(jì)，從而比較知道兩者的區(qū) 別，當(dāng)然這也僅限于我本科所就讀的學(xué)校。這門課跟前面的1.1 Basic Probability Theory一樣，我覺得不需要去專門修本科Honors的課，但是最好自己或者在上計(jì)量I的時(shí)候認(rèn)認(rèn)真真的把基本數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)打好，這樣做不光是對(duì)那 些做將來做計(jì)量理論的同學(xué)而言，對(duì)那些打算做別的領(lǐng)域的，也同樣適用。因?yàn)椴还苣阕鑫⒂^，宏觀還是Finance，哪個(gè)現(xiàn)在都是Theory跟 Empirical并重的，現(xiàn)在連Auction Theory都在做計(jì)量檢驗(yàn)，更別說宏觀，F(xiàn)inance等等了。順便說一下，經(jīng)常看到有人在BBS上說自己看不懂計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的教材，比如 Green，Hayashi或者Davidson & Mackinnon，其實(shí)我以前也是看不懂，跟大家的感覺一樣，迷迷糊糊。后來才知道，其實(shí)就是因?yàn)閿?shù)理統(tǒng)計(jì)不行，因?yàn)楝F(xiàn)在所謂的計(jì)量就是以統(tǒng)計(jì)里面的回 歸分析為基礎(chǔ)發(fā)展起來的具有經(jīng)濟(jì)金融數(shù)據(jù)特點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)理論，這本身就是統(tǒng)計(jì)學(xué)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)不行當(dāng)然看不懂。

這門課的教材可以用一般計(jì)量I的教 材，比如Gallant的《An Introduction to Econometric Theory》，Birrens，《Introduction to the mathematical and Statistical Foundation of Econometrics》，但是我個(gè)人更偏好一些純數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教材，比如Casella & Berger的《Statistical Inference》，還有更深一點(diǎn)的Bickel & Dokosum《Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics》，因?yàn)槲沂谴蛩阕鲇?jì)量理論的。前面兩本因?yàn)槭怯?jì)量I的教材，更偏重于一些在計(jì)量中有直接作用的統(tǒng)計(jì)的介紹，而后兩本是標(biāo)準(zhǔn)的北美這邊統(tǒng)計(jì)系 非測(cè)度數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教材，當(dāng)然其實(shí)Bickel & Dokosum已經(jīng)算是接近于使用測(cè)度論作為語(yǔ)言了。學(xué)習(xí)后兩本可以使得你對(duì)統(tǒng)計(jì)的理解更深刻，知識(shí)面也更廣。我自己是在上計(jì)量I的時(shí)候?qū)asella & Berger認(rèn)真的通讀了一遍，做了大量的課后習(xí)題，同時(shí)參考了Bickel & Dokosum的教材，而后來在修下面基于測(cè)度論的數(shù)理統(tǒng)計(jì)時(shí)又參考了Bickel & Dokosum。我沒有讀過Gallant與Birrens，因?yàn)橛?jì)量I的Professor有自己的Lecture Notes，所以我對(duì)這兩本不是很有發(fā)言權(quán)。但是這兩本我都瀏覽過，所以知道它們的內(nèi)容。

個(gè)人建議：如果你打算做計(jì)量理論，可以將 Casella & Berger與Bickel & Dokosum作為計(jì)量I的主要教材，認(rèn)認(rèn)真真的把前一本上面的習(xí)題完成，打好基礎(chǔ)；如果不是做計(jì)量理論的，我覺得可以讀Gallant與 Birrens，適當(dāng)參考一下Casella & Berger，它上面的習(xí)題多又好，而且還能找得到答案做完后對(duì)照思路。Casella & Berger國(guó)內(nèi)有影印版，Bickel & Dokosum現(xiàn)在都是第二版了用，第一版國(guó)內(nèi)有翻譯版，不過第二版好像也要快出影印了，我不建議讀翻譯的；Gallant與Birrens好像國(guó)內(nèi)有些 學(xué)校有復(fù)印的，網(wǎng)上可能也可以找的到。

2.2：Measure-based Mathematical Statistics I & II

這 其實(shí)是包含兩門課的一個(gè)一年的Sequence，因?yàn)橐婚T講不完這么多內(nèi)容的。但是我覺得只有打算做計(jì)量理論的才需要考慮這個(gè)課，不象在討論前面的 Probability I & II時(shí)， 我覺得所有Fields的人最好都修Probability I，而Probability II則不一定這樣的分開來考慮，所以我把它們放到一起討論。這個(gè)課其實(shí)是Statistics PHD一年的Core Course，可想而知是講的比較嚴(yán)格的。

這門課的主要內(nèi)容就是嚴(yán)格的數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論，既包含Statistical Inference（Point Estimation, Hypothesis Testing，以及Confidence Set），又包括Statistical Decision Theory；既包含F(xiàn)requentist方法，又包括Bayesian的方法；既有小樣本的Evaluation標(biāo)準(zhǔn)，像是 Unbiased，UMVUE等等，又包括大樣本的Asymptotic Efficiency統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)方法。當(dāng)然，這個(gè)課還包含很多現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)方法的簡(jiǎn)單介紹，比如 Nonparametric，Semiparametric，Bootstrap為代表的Resampling方法。不過這里只能是簡(jiǎn)單介紹，詳細(xì)的內(nèi)容 只能由后續(xù)課程或者通過自學(xué)（因?yàn)檫@些課程的開設(shè)都是跟老師的研究興趣有關(guān)的，一個(gè)學(xué)校不一定能把所有的課都開起來）來完成。詳細(xì)的課程內(nèi)容我就不多說 了，因?yàn)槲覀€(gè)人覺得，凡是想做計(jì)量理論的人這門課的內(nèi)容都是必然要具備的素質(zhì)，起碼對(duì)于現(xiàn)在這個(gè)年代的計(jì)量理論來說我覺得是這樣，看看現(xiàn)在 Econometrica，Econometric Theory，Journal of Econometrics上的Paper，基本上都是各種各樣的新的Estimation，Hypothesis Testing方法的提出，所用的工具無不是基于現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)最新的研究進(jìn)展，如果不能打一下一個(gè)很堅(jiān)固的數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，起碼對(duì)我來說真是難以想象怎么來 做研究將來。

這門課的主要教材就是著名的《Theory of Point Estimation》（TPE） by Lehmann and Casella，與《Testing Statistical Hypotheses》（TSH）by Lehmann and Romano，我想這兩本教材的難度很多人都早就聽說過了，反正我覺得這兩本書真是得至少花一年的時(shí)間才能學(xué)好，課后的習(xí)題多，質(zhì)量也好，這邊的圖書館里 能借到他們第一版的習(xí)題解答，非常老了，感覺字體很象是手寫然后復(fù)印的。這本習(xí)題解答的作者一說大家肯定知道，就是寫了類似于Probability百科 全書的《Modern Theory of Probability》的Kallenberger了。跟這兩本書難度差不多相當(dāng)?shù)腂ayesian統(tǒng)計(jì)的書可以參考《Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis》by Berger，注意這個(gè)Berger跟與Casella寫《Statistical Inference》的Berger可不是一個(gè)人。另外，Shao Jun的《Mathematical Statistics》寫的也是非常之好，內(nèi)容涵蓋了TPE跟TSH的所有內(nèi)容幾乎，當(dāng)然程度要容易的多，并且這本書簡(jiǎn)單介紹了包括 Nonparametric，Semiparametric，Bootstrap，甚至還有Empirical Likelihood的幾乎所有的現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)方法，真是一書在手，天下事盡知啊。還值得一提的是，這本書習(xí)題也是很豐富，而且還有專門的一本習(xí)題答案，以供 大家參考，如果能好好利用這些習(xí)題，還是那句話，受益終生。我自己上課時(shí)老師把這基本都列為了參考教材，我則除了TPE跟TSH上老師上課講的內(nèi)容外，仔 細(xì)讀了Shao Jun的相關(guān)內(nèi)容，并且做了上面的一小部分題目，收獲頗豐。Shao先生（我不知道是不是邵，所以只好寫拼音）好像是國(guó)內(nèi)華東師大畢業(yè)的，現(xiàn)在為U of Wisconsin at Madison統(tǒng)計(jì)系的主任，那里Statistics PHD第一年的Math Stat Core Squence就是講他這本書。

不知道為什么純數(shù)學(xué)的書國(guó)內(nèi)有影印版的非常多，但是統(tǒng)計(jì)的書國(guó)內(nèi)很少找到影印版，這使我想起了有位統(tǒng)計(jì)牛 人在一個(gè)報(bào)告上說的，國(guó)內(nèi)跟國(guó)外在統(tǒng)計(jì)學(xué)研究上的差距這幾年非但沒有縮小，某種程度上反而有點(diǎn)擴(kuò)大了。我不是做數(shù)理統(tǒng)計(jì)的，也不知道事實(shí)是否如此，不過統(tǒng) 計(jì)方面影印書的出版比純數(shù)學(xué)方面的差了很多，這是一個(gè)很奇怪的現(xiàn)象，因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用應(yīng)該更多些，按說統(tǒng)計(jì)書的引進(jìn)應(yīng)該是更快一步才對(duì)，現(xiàn)在反而是 相反的。這里想推薦一本中文的高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材，那就是陳希儒先生的《高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)》了，陳老的地位以及水平我想我不需要多說了，他這本書寫的是非常之 好，基本跟TPE，TSH差不多一個(gè)難度水平，不過就是內(nèi)容少了一點(diǎn)。還有就是這本書習(xí)題令人稱贊，而且書的后半部分就是習(xí)題的參考答案，供大家研習(xí)之 用。陳老對(duì)做習(xí)題以掌握內(nèi)容，訓(xùn)練基本技能的說法我想很多同學(xué)都是見過的，不得不說，姜還是老的辣啊！！！

個(gè)人建議：這門課值得好好花一年的時(shí)間學(xué)好TPE，TSH或者學(xué)好Shao Jun，Bayesian的部分可以參考下Berger。Berger的書國(guó)內(nèi)有影印版，其他基本好像沒有，不過可以找得到電子版，而且國(guó)內(nèi)一些學(xué)校也有復(fù)印版。題目要認(rèn)真做，多做。

2.3：Asymptotic Statistics

Asymptotic Statistics包括了數(shù)理統(tǒng)計(jì)里面的很多大樣本理論，比如M-Statistic, U-Statistic，MLE，Asymptotic Relative Efficiency，Empirical Process等等，我覺得是應(yīng)該作為一門課認(rèn)真學(xué)學(xué)的，教材可以用現(xiàn)在最流行的Van der Vart 的《Asymptotic Statistics》，事實(shí)上很多學(xué)校都已經(jīng)將這門課開做一本Stat PHD的必修課。由于我自己還沒修過，所以我沒什么發(fā)言權(quán)，只能推薦這么一本書，不過很多Professor都有Course Webpage，大家可以去網(wǎng)上搜索，看看他們?cè)趺磦€(gè)講法，講哪些內(nèi)容，找相應(yīng)的課本認(rèn)真學(xué)習(xí)，打好基礎(chǔ)。我本人正打算這個(gè)Summer學(xué)這個(gè)，因?yàn)橐院? 要把大部分的時(shí)間都轉(zhuǎn)向與我自己的研究方向相關(guān)的學(xué)習(xí)，還要開始準(zhǔn)備我的PHD Dissertation，因此估計(jì)比較少有時(shí)間再去象第一，二年一樣這樣耐心的打基礎(chǔ)了，所以覺得最好在Summer將這門重要的內(nèi)容解決掉。

2.4：Topics in Modern Math Statistics

這 個(gè)不是一門課，是我把所有的除了基本的One-Year Core Sequence與上面的Asymptotic之外的現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)方法都放到了一起，大致包括了Nonparametric，Semi- parametric，Bootstrap，Empirical Likelihood等內(nèi)容。這些都是近幾十年才發(fā)展壯大起來的現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)方法，其中像是Bootstrap也不過是1980年左右才開始的。

如 Nonparametric，Semi-parametric，Bootstrap，Empirical Likelihood這些內(nèi)容都是現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)理論中的研究方向，很多研究還正在進(jìn)行中，我個(gè)人只是因?yàn)橐脧亩詫W(xué)了Nonparametric的一些書， 但因?yàn)檫@方面的書特別散，沒有一本將所有Nonparametric方法都講好的書，所以很難做推薦，所以這里就不多說了。需要說的是，這些研究方向都有 相關(guān)的計(jì)量領(lǐng)域?qū)?yīng)，比如Nonparametric Econometrics，Semi-parametric Econometrics，Bootstrap Econometrics，這些其實(shí)是相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)方法在對(duì)Econ跟 Finance特點(diǎn)的數(shù)據(jù)的應(yīng)用，有的時(shí)候Statisticians搞出來的這些統(tǒng)計(jì)方法針對(duì)的數(shù)據(jù)類型跟Econ，F(xiàn)inance的數(shù)據(jù)特點(diǎn)不符，而 Econometricians做的就是基于原來的方法提出針對(duì)這些Econ，F(xiàn)inance特點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的新的統(tǒng)計(jì)工具，由于基于的 General的統(tǒng)計(jì)方法不一樣，因此便有了Nonparametric Econometrics，Semi-parametric Econometrics，Bootstrap Econometrics這些稱呼。這與以數(shù)據(jù)本身類型對(duì)計(jì)量分為Micro-econometrics（Cross-section, Limited Dependent Variables） Time Series Analysis, Panel Data Econometrics(有的把這個(gè)也歸為Micro-econometrics)，是不同的，不同的方法跟不同的數(shù)據(jù)類型結(jié)合在一起便形成了很多不同 研究方向與叫法，總之，對(duì)計(jì)量進(jìn)行完全徹底的分類好像很難。

由于這些內(nèi)容既不簡(jiǎn)單，我也沒有完整學(xué)過，所有我在這里就說到此為止了。實(shí)際 上，我也不可能把它們都學(xué)完，一是我知道自己沒那么大能量，水平畢竟有限；二是也沒有必要，這些學(xué)不學(xué)，學(xué)到什么程度都要視你的研究而定，你需要用就學(xué)， 不需要就算。說實(shí)話，我覺得現(xiàn)在經(jīng)濟(jì)學(xué)研究已經(jīng)開始逼近象數(shù)學(xué)一樣的高度分工了，做微觀跟做計(jì)量的互相很少有共同語(yǔ)言，即使都是做計(jì)量的，不同的方向能通 話的也是比較少的，比如你做Panel Data，他做Financial Econometrics，不光使用的方法不一樣。模型的假設(shè)不一樣，就連最基本的檢驗(yàn)的經(jīng)濟(jì)理論更不一樣。你需要學(xué)習(xí)不同的經(jīng)濟(jì)理論，這一點(diǎn)就使得兩者 很難對(duì)話。不過話說回來，大家還是有的，象Hausman，L Hansen, Philips，White那樣的，諸多方向通吃，水平確實(shí)高，沒辦法。不過我覺得他們的概率，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)肯定很牢固，從而來了新的Topic時(shí)很快 就能上手，我自己覺得這個(gè)一個(gè)很重要的原因。

七，小結(jié)

啊，終于算是寫完了，沒想到一個(gè)回顧竟然整整寫了四天多，居然還爬 了這么多字出來。不過既完成了一段對(duì)過去的回顧，又算是對(duì)兄弟姐妹們的一點(diǎn)小小禮物，感覺還是很開心的。本來覺得既然完成了純數(shù)學(xué)，概率，還有統(tǒng)計(jì)，再寫 寫Economics，F(xiàn)inance或者Econometrics才好像比較完整，但是回顧這兩年，我除了研究生階段學(xué)的經(jīng)濟(jì)學(xué)，金融學(xué)理論，在美第一 年系里的Core Course，第二年上的兩門Time Series Analysis，以及按照自己的興趣讀的一些Paper外大部分的時(shí)間都在打基礎(chǔ)，所以覺得實(shí)在沒什么東西可寫，不過好在對(duì)于Econ, Finance, Econometrics很多同學(xué)還有一些牛人都寫了相關(guān)的東西，推薦了書籍，因此我也就不用再亂拋我的磚頭了，省得引不出玉來反而引出磚頭來拍我。

跟 很多兄弟姐妹們一樣，完成這么一段路程的我覺得基本上身心俱疲，需要一段時(shí)間來恢復(fù)，從而才能開始新的路程。但是眼前還有很多事情要做，恐怕休息不了多長(zhǎng) 時(shí)間。況且我現(xiàn)在還面臨著定自己的研究方向的問題，真的是仍須努力啊，畢竟其實(shí)我現(xiàn)在還是一個(gè)Research的門外漢，很多同學(xué)已經(jīng)將我拉下很大一塊 了，不得不努力繼續(xù)跟在別人后面以免掉隊(duì)。

最后，不管我寫的東西可能在你看來多么的無知，或者不知天高地厚，或者很多東西寫的根本不對(duì)， 都希望大家看在我辛辛苦苦的分上，在看到問題時(shí)心平氣和的討論，改正我的錯(cuò)誤，讓我得以提高。千萬(wàn)不要毫無理由的辯論，甚至是吵架，那樣的話真是沒意思。 真的是很不喜歡看到有人在論壇上吵啊吵的，甚至是罵人，讓人覺得很心冷。

今年正值中華多事之秋，又是藏獨(dú)又是地震的，在這里我最后再添一句，祝大家都能順順利利實(shí)現(xiàn)自己的夢(mèng)想。

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當(dāng)作對(duì)自己學(xué)習(xí)的激勵(lì)。。。。。