/* a positive integer number is beautiful if and only if it is divisible by each of its nonzero digits. 問一個區間內[l,r]有多少個Beautiful數字 范圍9*10^18 數位統計問題,構造狀態也挺難的,我想不出,我的思維局限在用遞推去初始化狀態,而這里的狀態定義也比較難 跟pre的具體數字有關
問了NotOnlySuccess的,豁然開朗 Orz 一個數字要被它的所有非零位整除,即被他們的LCM整除,可以存已有數字的Mask,但更好的方法是存它們的LCM{digit[i]} int MOD = LCM{1,2, 9} = 5 * 7 * 8 * 9 = 2520 按照定義,數字x為Beautiful : x % LCM{digit[xi]} = 0 即 x % MOD % LCM{digit[xi]} = 0 所以可以只需存x % MOD,范圍縮小了 而在逐位統計時,假設到了pre***(pre指前面的一段已知的數字,而*是任意變) ( preSum * 10^pos + next ) % MOD % LCM(preLcm , nextLcm) = ( preSum * 10 ^ pos % MOD + next % MOD ) % LCM(preLcm , nextLcm) == 0 而next,nextLcm是變量,上面的比較式的意義就是 在已知pos , preSum , preLcm情況下有多少種(next,nextLcm)滿足式子為0 而這個就是一個重復子問題所在的地方了,需要記錄下來,用記憶化搜索 dfs(pos , preSum , preLcm , doing) 加一個標記為doing表示目前是在計算給定數字的上限,還是沒有上限,即***類型的 這樣就將初始化以及逐位統計寫在一個dfs了,好神奇!!! 還有一點,10以內的數字情況為2^3 , 3^2 , 5 , 7 所以最小公倍數組合的情況只有4*3*2*2 = 48 可以存起來,我看NotOnlySuccess的寫法是 for(int i = 1 ; i <= MOD ; i ++) { if(MOD % i == 0) index[i] = num++; } 很棒!!
所以復雜度大概為19*2520*48*10(狀態數*決策數)
我覺得這題狀態的設計不能跟具體數字分開,否則會很難設計吧 所以用記憶化搜索,存起來 用具體數字去計算,重復的子問題跟pre關系比較密切 有一個比較重要的切入點就是LCM,還有%MOD縮小范圍,才能存儲
還有優化到只需%252的,更快 不過我覺得%2520比較好理解 */ #include<iostream> #include<cstring> #include<map> #include<algorithm> #include<stack> #include<queue> #include<cmath> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<vector> #include<cstdio>
using namespace std;
const int MOD = 2520;
__int64 dp[19][MOD][48]; int index[MOD+10]; int digit[19];
int gcd(int a , int b) { return b == 0 ? a : gcd(b , a % b); }
int lcm(int a, int b) { return a / gcd(a,b) * b; }
void init() { //編號 int num = 0; for(int i = 1 ; i <= MOD ; i ++) { if(MOD % i == 0) index[i] = num ++; } memset(dp,-1,sizeof(dp)); }
__int64 dfs(int pos , int preSum , int preLcm , bool doing) { if(pos == -1)//為一個數字時 return preSum % preLcm == 0;
if(!doing && dp[pos][preSum][index[preLcm]] != -1) return dp[pos][preSum][index[preLcm]];
__int64 ans = 0; int end = doing ? digit[pos] : 9; for(int i = 0 ; i <= end ; i++)//上界 { int nowSum = (preSum * 10 + i ) % MOD; int nowLcm = preLcm; if(i) { nowLcm = lcm(nowLcm , i); } ans += dfs(pos - 1 , nowSum , nowLcm , doing && i == end);//doing && i == end }
if(!doing) { dp[pos][preSum][index[preLcm]] = ans; }
return ans; }
__int64 cal(__int64 x) { int pos = 0; while(x) { digit[pos++] = x % 10; x /= 10; } return dfs(pos - 1 , 0 , 1 , 1); }
int main() { init(); int T; for(scanf("%d",&T) ; T -- ; ) { __int64 left , right ; cin >> left >> right; cout << cal(right) - cal(left - 1) << endl; } return 0; }
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