3D空間中的旋轉(zhuǎn)可用旋轉(zhuǎn)矩陣、歐拉角或四元數(shù)等形式來表示，他們不過都是數(shù)學(xué)工具，其中在繞任意向量的旋轉(zhuǎn)方面，旋轉(zhuǎn)矩陣和四元數(shù)兩種工具用的較多，歐拉角由于存在萬向節(jié)死鎖等問題，使用存在限制。
（本文假設(shè)坐標(biāo)系為左手坐標(biāo)系中，旋轉(zhuǎn)方向為順時針。）
所求問題：
給定任意單位軸q(向量),求向量p(x,y,z)(或點p)饒q旋轉(zhuǎn)theta角度的變換后的新向量p'(或點p')：
1.用四元數(shù)工具：
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結(jié)論：構(gòu)造四元數(shù)變換p'= q*p*q-1，（p,q是由向量p,q擴(kuò)展成的四元數(shù)）。那么，p'轉(zhuǎn)換至對應(yīng)的向量(或點)就是變換后的新向量p'(或點p')。
其中，p',q,p,q-1均為四元數(shù)。q由向量q擴(kuò)展,為q=(cos(theta/2),sin(theta/2)*q)，p由向量p擴(kuò)展,為p=(0,x,y,z),q-1為q的逆，因為q為單位四元數(shù)，所以q-1=q*=(cos(theta/2),-sin(theta/2)*q)。
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（這個結(jié)論的證明過程可以在網(wǎng)上找到。這里略去。）
下面看其時間復(fù)雜度：
首先有個三角函數(shù)的計算時間，這個可以預(yù)先計算好，花費(fèi)時間不計。考慮n個四元數(shù)相乘需進(jìn)行4*4*(n-1)=16*(n-1)次乘法，15*(n-1)次加法，因為加法化費(fèi)時間較少，這里僅考慮乘法。這里涉及到三個四元數(shù)的乘法，設(shè)一次乘法的時間為T,故花費(fèi)16*2=32T
2.旋轉(zhuǎn)矩陣工具：
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結(jié)論：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣變換Trot,則變換后的新向量p'(或點p')為p'= p*Trot
其中，p'（x',y',z',1）,p(x,y,z,1)為向量p'，p的4D齊次坐標(biāo)表示，Trot =
|t*x*x + c,???????t*x*y + s*z,??????t*x*z - s*y,???? 0|
|t*x*y - s*z,????t*y*y + c,??????????t*y*z + s*x,????0|
|t*x*z + s*y,?? t*y*z - s*x,???????t*z*z + c,????????0|
|0,????????????????????0,???????????????????????0,????????????????????1|???
c=cos(theta), s=sin(theta),t=1-c.
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（這個結(jié)論的證明過程可以在網(wǎng)上找到。這里略去。）
下面看其時間復(fù)雜度：
三角函數(shù)的計算時間不計。矩陣本身的元素乘法主要是計算t*x和s*x之類，需進(jìn)行12+3=15次乘法。兩個矩陣相乘的需進(jìn)行n*n*n次乘法,這里n=4，所以花費(fèi)4*4*4=64次乘法時間,但這里有個注意的地方就是旋轉(zhuǎn)矩陣的第4維無須考慮，即可簡化為3X3的矩陣。故花費(fèi)3*3*3=27次乘法時間，總共的時間為15+27=42次乘法時間。cost=42T.
比較來看，還是使用四元數(shù)的效率要高出一些，這在要變換的點的數(shù)目越大時，體現(xiàn)的越明顯。實際上，有很多3D引擎為了利用四元數(shù)運(yùn)算的高效率性，一般先將矩陣轉(zhuǎn)換成四元數(shù)后進(jìn)行運(yùn)算再轉(zhuǎn)回為矩陣后，再傳給DirectX或OpenGL庫函數(shù)。
關(guān)于四元數(shù)和矩陣在向量（方向）之間的進(jìn)行插值的效率比較，見下篇：
探討：物體繞任意向量的旋轉(zhuǎn)-四元數(shù)法VS.旋轉(zhuǎn)矩陣法的性能比較