3D空間中的旋轉(zhuǎn)可用旋轉(zhuǎn)矩陣、歐拉角或四元數(shù)等形式來(lái)表示，他們不過(guò)都是數(shù)學(xué)工具，其中在繞任意向量的旋轉(zhuǎn)方面，旋轉(zhuǎn)矩陣和四元數(shù)兩種工具用的較多，歐拉角由于存在萬(wàn)向節(jié)死鎖等問(wèn)題，使用存在限制。

（本文假設(shè)坐標(biāo)系為左手坐標(biāo)系中，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針。）

所求問(wèn)題：

給定任意單位軸q(向量),求向量p(x,y,z)(或點(diǎn)p)饒q旋轉(zhuǎn)theta角度的變換后的新向量p'(或點(diǎn)p')：

1.用四元數(shù)工具：
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結(jié)論：構(gòu)造四元數(shù)變換p'= q*p*q-1，（p,q是由向量p,q擴(kuò)展成的四元數(shù)）。那么，p'轉(zhuǎn)換至對(duì)應(yīng)的向量(或點(diǎn))就是變換后的新向量p'(或點(diǎn)p')。

其中，p',q,p,q-1均為四元數(shù)。q由向量q擴(kuò)展,為q=(cos(theta/2),sin(theta/2)*q)，p由向量p擴(kuò)展,為p=(0,x,y,z),q-1為q的逆，因?yàn)閝為單位四元數(shù)，所以q-1=q*=(cos(theta/2),-sin(theta/2)*q)。
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（這個(gè)結(jié)論的證明過(guò)程可以在網(wǎng)上找到。這里略去。）
下面看其時(shí)間復(fù)雜度：

首先有個(gè)三角函數(shù)的計(jì)算時(shí)間，這個(gè)可以預(yù)先計(jì)算好，花費(fèi)時(shí)間不計(jì)。考慮n個(gè)四元數(shù)相乘需進(jìn)行4*4*(n-1)=16*(n-1)次乘法，15*(n-1)次加法，因?yàn)榧臃ɑM(fèi)時(shí)間較少，這里僅考慮乘法。這里涉及到三個(gè)四元數(shù)的乘法，設(shè)一次乘法的時(shí)間為T(mén),故花費(fèi)16*2=32T

2.旋轉(zhuǎn)矩陣工具：
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結(jié)論：構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣變換Trot,則變換后的新向量p'(或點(diǎn)p')為p'= p*Trot

其中，p'（x',y',z',1）,p(x,y,z,1)為向量p'，p的4D齊次坐標(biāo)表示，Trot =

|t*x*x + c,???????t*x*y + s*z,??????t*x*z - s*y,???? 0|
|t*x*y - s*z,????t*y*y + c,??????????t*y*z + s*x,????0|
|t*x*z + s*y,?? t*y*z - s*x,???????t*z*z + c,????????0|
|0,????????????????????0,???????????????????????0,????????????????????1|???

c=cos(theta), s=sin(theta),t=1-c.
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（這個(gè)結(jié)論的證明過(guò)程可以在網(wǎng)上找到。這里略去。）

下面看其時(shí)間復(fù)雜度：

三角函數(shù)的計(jì)算時(shí)間不計(jì)。矩陣本身的元素乘法主要是計(jì)算t*x和s*x之類(lèi)，需進(jìn)行12+3=15次乘法。兩個(gè)矩陣相乘的需進(jìn)行n*n*n次乘法,這里n=4，所以花費(fèi)4*4*4=64次乘法時(shí)間,但這里有個(gè)注意的地方就是旋轉(zhuǎn)矩陣的第4維無(wú)須考慮，即可簡(jiǎn)化為3X3的矩陣。故花費(fèi)3*3*3=27次乘法時(shí)間，總共的時(shí)間為15+27=42次乘法時(shí)間。cost=42T.

比較來(lái)看，還是使用四元數(shù)的效率要高出一些，這在要變換的點(diǎn)的數(shù)目越大時(shí)，體現(xiàn)的越明顯。實(shí)際上，有很多3D引擎為了利用四元數(shù)運(yùn)算的高效率性，一般先將矩陣轉(zhuǎn)換成四元數(shù)后進(jìn)行運(yùn)算再轉(zhuǎn)回為矩陣后，再傳給DirectX或OpenGL庫(kù)函數(shù)。

關(guān)于四元數(shù)和矩陣在向量（方向）之間的進(jìn)行插值的效率比較，見(jiàn)下篇：
探討：物體繞任意向量的旋轉(zhuǎn)-四元數(shù)法VS.旋轉(zhuǎn)矩陣法的性能比較