考慮這樣一種網絡流問題:需要對同一個圖求多次最大流。則在每次求最大流之前,需要將所有邊的容量全部恢復到初始值(求最大流的過程中,邊的容量f值被改變了)。不過這還不算最猥瑣的,有的時候,我們需要在每次求最大流之前都刪去圖中的一些點或一些邊,或者改變某些原有的邊的容量,特別是需要刪點或刪邊的情況爆難搞。因為,一般的邊表中邊類型定義如下:
struct edge {
int a, b, f, next;
} ed[MAXM + MAXM];
表示這條邊起點為a,終點為b,容量為f,鄰接邊(就是下一條起點為a的邊)的編號為next。
如果要求多次最大流,那么在每次求最大流之前就要把所有邊的容量恢復到初始值,解決方法是引入一個“初始容量”域fs,在這條邊剛剛被加入的時候將它的fs值和f值都設為初始給它的容量,在恢復時,只要將所有邊的f值恢復到fs即可。若要改變邊容量,則將該邊的fs值和f值都設為改變后的容量即可。
下面來分析需要刪邊或刪點的情況。在這種情況下,如果采用只有next的單向鏈表,則刪除時next域極難處理,而且,在一般的邊表中,還設立了表頭hd,hd[a]表示邊表中起點為a的第一條邊的編號。因此,若刪除的邊<a, b, f>是起點為a的第一條邊,還會影響hd[a]的值,使情況變得更為復雜。因此,必須采用雙向鏈表!還記得Dancing Link么?邊表其實也可以搞成Dancing Link,方法如下:
設圖中有N個點,M條邊(注意,這M條邊只包括正向邊,不包括反向邊。由于每條正向邊<a, b, f>都對應一條反向邊<b, a, 0>,因此邊表中邊的數目其實是M+M)。首先把邊表ed的0~N這(N+1)個位置(下標)空出來,作表頭(表頭不是邊,因此在遍歷邊的時候不會遍歷到它們)。其中,ed[0]為總表頭,用于遍歷ed[1..N]中每個未被刪去的點;ed[1..N]為單點表頭,ed[i]用來遍歷圖中所有以i為起點的邊(和DLX中的二維DL驚人相似)。然后,若N為偶數,則空一個位置(也就是將ed[N+1]丟棄不用),這是因為我們在增廣過程中需要引用到一條邊對應的逆向邊(正向邊對應反向邊,反向邊對應正向邊),一般認為編號為p的邊對應的逆向邊是p ^ 1,這樣,就要求圖中所有正向邊的編號都是偶數,所有反向邊的編號都是奇數(否則會造成混亂)。因此當N為偶數時,(N+1)為奇數,不能放置第一條正向邊,需要從ed[N+2]開始放置正向邊。若N為奇數則不用空位。
接下來就是邊類型了。在這里,邊類型一共需要包括6個域:a, b, fs, f, pre, next,表示這條邊起點為a,終點為b,初始容量為fs,當前容量為f,上一條起點為a的邊編號為pre,下一條起點為a的邊編號為next。注意,和DL一樣,整個鏈表是循環的,也就是我們認為表中最后一條起點為a的邊的下一條鄰接邊編號就是a(表頭),同樣,a的上一條鄰接邊也就是這條邊。
struct edge {
int a, b, fs, f, pre, next;
} ed[MAXM + MAXM];
接下來就是幾個重要過程了。
(1)初始化表頭:
void init_d()
{
re1(i, n) {ed[i].a = i; ed[i].b = -1; ed[i].f = 0; ed[i].pre = ed[i].next = i;}
if (n % 2) m = n + 1; else m = n + 2;
}
這里n是圖中的點數(相當于N),m是邊的編號指針(相當于DLX中的nodes)
(2)添加新邊:
void add_edge(int a, int b, int f)
{
ed[m].a = a; ed[m].b = b; ed[m].fs = ed[m].f = f; ed[m].pre = ed[a].pre; ed[m].next = a; ed[a].pre = m; ed[ed[m].pre].next = m++;
ed[m].a = b; ed[m].b = a; ed[m].fs = ed[m].f = 0; ed[m].pre = ed[b].pre; ed[m].next = b; ed[b].pre = m; ed[ed[m].pre].next = m++;
}
這個和DLX類似,不解釋了囧……
最后進入最核心的部分——到底如何處理刪邊或刪點?有了DL型邊表就爆好搞了:刪去一條邊,只要直接刪去該邊在DL中的位置即可:
void deledge(int No)
{
ed[ed[No].pre].next = ed[No].next; ed[ed[No].next].pre = ed[No].pre;
}
恢復一條已刪去的邊:
void resuedge(int No)
{
ed[ed[No].pre].next = ed[ed[No].next].pre = No;
}
需要刪點的情況類似,對單點表頭處理即可。
【具體題目】
PKU1815這題就是求有向圖的字典序最小的最小點割集問題,方法是先求出最小點連通度(有關最小點連通度的求法見
圖的連通度問題的求法),然后按編號遞增順序枚舉每個點,若刪去該點(其實是刪去建成的新圖中該點i'到該點附加點i''之間的邊)后圖的最小點連通度減小,則應刪去該點,否則不應刪去該點。刪去后,繼續枚舉下一個點,直到求出點割集為止。
注意,本題只有刪邊,沒有刪點,因此總表頭可以不需要,直接從ed[0]開始作單點表頭。此時,關于是否空位就剛好反過來了:如果N是奇數就要空位,N是偶數不空位(不過這題里由于建出的網絡流圖中有2*N0個結點,總是偶數,可以不管,不過本沙茶還是管這個了)。
代碼(神犇不要鄙視):
#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
#define re(i, n) for (int i=0; i<n; i++)
const int MAXN = 501, MAXM = 100000, INF = ~0U >> 2;
struct edge {
int a, b, fs, f, pre, next;
} ed[MAXM + MAXM];
int n0, n, m = 0, s, t, start[MAXN], pr[MAXN], hs[MAXN], lev[MAXN], q[MAXN], now, flow, reslen = 0, res[MAXN];
bool vst[MAXN];
void init_d()
{
re(i, n) {ed[i].a = i; ed[i].b = -1; ed[i].f = 0; ed[i].pre = ed[i].next = i;}
if (n % 2) m = n + 1; else m = n;
}
void add_edge(int a, int b, int f)
{
ed[m].a = a; ed[m].b = b; ed[m].fs = ed[m].f = f; ed[m].pre = ed[a].pre; ed[m].next = a; ed[a].pre = m; ed[ed[m].pre].next = m++;
ed[m].a = b; ed[m].b = a; ed[m].fs = ed[m].f = 0; ed[m].pre = ed[b].pre; ed[m].next = b; ed[b].pre = m; ed[ed[m].pre].next = m++;
}
void init()
{
int x;
scanf("%d%d%d", &n0, &s, &t);
n = n0 << 1; s--; t += n0 - 1; init_d();
re(i, n0) re(j, n0) {
scanf("%d", &x);
if (i == j) {
if (i == s || i == t - n0) add_edge(i, i + n0, INF); else add_edge(i, i + n0, 1);
} else if (x) add_edge(i + n0, j, INF);
}
}
void aug()
{
int z = hs[t], i = t, p; flow += z;
while (i != s) {
hs[i] -= z; p = pr[i]; ed[p].f -= z; ed[p ^ 1].f += z; i = ed[p].a;
if (!ed[p].f) now = i;
}
}
bool dfs()
{
re(i, n) vst[i] = 0; vst[s] = 1; q[0] = s; lev[s] = 0;
int i, j, f0;
for (int front=0, rear=0; front<=rear; front++) {
i = q[front];
for (int p=ed[i].next; p != i; p=ed[p].next) if (ed[p].f) {
j = ed[p].b;
if (!vst[j]) {vst[j] = 1; q[++rear] = j; lev[j] = lev[i] + 1;}
}
}
if (!vst[t]) return 0;
now = s; re(i, n) {start[i] = ed[i].next; vst[i] = 0;} hs[now] = INF;
bool fd;
while (!vst[s]) {
if (now == t) aug();
fd = 0;
for (int p=start[now]; p != now; p=ed[p].next) {
j = ed[p].b; f0 = ed[p].f;
if (lev[now] + 1 == lev[j] && !vst[j] && f0) {
fd = 1; start[now] = pr[j] = p; hs[j] = hs[now] <= f0 ? hs[now] : f0; now = j; break;
}
}
if (!fd) {
vst[now] = 1;
if (now != s) now = ed[pr[now]].a;
}
}
return 1;
}
void deledge(int No)
{
ed[ed[No].pre].next = ed[No].next; ed[ed[No].next].pre = ed[No].pre;
}
void resuedge(int No)
{
ed[ed[No].pre].next = ed[ed[No].next].pre = No;
}
void resu_all()
{
re(i, n) for (int p=ed[i].next; p != i; p=ed[p].next) ed[p].f = ed[p].fs;
}
void solve()
{
flow = 0; while (dfs()) ; int f_ = flow;
if (!flow) {reslen = -1; return;}
re(i, m) if (ed[i].a + n0 == ed[i].b && ed[i].a != s && ed[i].b != t) {
deledge(i); deledge(i ^ 1); resu_all();
flow = 0; while (dfs()) ;
if (flow < f_) {res[reslen++] = ed[i].a + 1; f_--;} else {resuedge(i ^ 1); resuedge(i);}
}
}
void pri()
{
if (reslen == -1) puts("0"); else if (reslen) {
printf("%d\n", reslen);
re(i, reslen - 1) printf("%d ", res[i]); printf("%d\n", res[reslen - 1]);
} else puts("NO ANSWER!");
}
int main()
{
init();
solve();
pri();
return 0;
}