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AHOI2006 基因匚w��(match)

Mato_No1 — Sat, 19 Mar 2011 14:38:00 GMT

依照CLJ��犇的指�C�，最�q�本沙茶军_��开始被数据�l�构题虐……先找来了省内的一道题�Q�就是这道囧�Q?#8230;…

题目大意�Q�求两个长度�?N的序列的最长公共子序列长度�Q�在两个序列中，整数1~N分别都出�?�ơ�?<=N<=20000�?br>
【注�Q�本沙茶一开始用�U�段树的�Q�后来在看了CLJ��犇的标�E�（Orz�Q�！�Q�之后终于明白了树状数组解法�?#8230;…�?br>
LCS问题的朴素时间复杂度为O(NM)。对于本题显焉��要优化�?br>观察LCS的�{�U�L��E�：
F[i][j] = F[i-1][j-1]+1�Q�当A[i]==B[j]�Ӟ��
F[i][j] = max{F[i-1][j], F[i][j-1]}�Q�当A[i]!=B[j]�Ӟ��

可以��F用滚动数�l�来表示�Q�即设F'��Z��阶段的F�Q�即F[i-1]�Q�，则本阶段的F�Q�即F[i]�Q�可以由F'求得�Q?br>F[j] = F'[j-1]+1�Q�当A[i]==B[j]�Ӟ��
F[j] = max{F'[j], F[j-1]}�Q�当A[i]!=B[j]�Ӟ��

�q�一步，�q�个F'其实都不用记录，只需在每一阶段更新一遍F卛_��Q?br>F[j] = F[j-1]+1�Q�当A[i]==B[j]�Ӟ��
F[j] = max{F[j], F[j-1]}�Q�当A[i]!=B[j]�Ӟ��
不过需要逆序更新�Q�保证F[j-1]是上一阶段的而不是本阶段的）�Q�这�?1背包有点像�?br>
由题意可以发玎ͼ�A[i]==B[j]的出现次数极��，在每阶段中只会出�?�ơ！我们可以预先求出�q?个地方的��|��然后对于其它的F[j]�Q�其在本阶段的值其实就是它前面的最大��|��max{F[1..j-1]}�Q�，又因为我们最后只需知道F[N']�Q�N'=5N�Q�即序列长度�Q�即可，故可设计��Z��下算法：
一开始F[1..N]均�ؓ0�Q�然后将以下内容执行N'�ơ，�W�i�ơ：
�Q?�Q�求出B序列中与A[i]相等�?个元素的位置�Q�设为S[1..5]�Q?br>�Q?�Q�依�ơ更新F[S[5..1]]�Q�每个都更新为它前面的最大值加1�Q�很�Ҏ��知道为神马）�Q�其它的值暂时不��；

N'�ơ执行完后，整个序列中的最大值就是F[N']的倹{��由于这个算法中出现的主要操作是改动一个指定位�|�元素的值和找一个前�~�区间中的最大��|��因此可以采用树状数组�Q�时间复杂度O(NlogN�Q�（�U�段树必TLE�Q��?br>
【�ȝ��Q�在本题中��用了一�U?#8220;推迟更新”的方法，即需要更��C��个值时�Q�先暂时不理它，�{�到需要引用到它的时候再更新。这�U�方法最常见的应用就是线�D�|��的结�Ҏ��记。不�q�要注意的是�Q�如果该值的推迟更新会对它后面要更新的值带来问题（也就是，�q�些后更新的值需要引用该值的新��|��Q�就不能使用�q�种�Ҏ��。在本题中，其它位置的值的改变只与�q?个特�D�的位置有关�Q�与其它因素无关�Q�故可以使用�q�种�Ҏ��。�?br>

Mato_No1 2011-03-19 22:38 发表评论

树状数组解决��ȝ��RMQ问题

Mato_No1 — Sat, 19 Mar 2011 13:59:00 GMT

树状数组与线�D�|��不同�Q�它只能直接支持前缀区间�Q�[1..r]�Q�或后缀区间�Q�[l..N]�Q�上的操作，而对于一般区��_��[l..r]�Q�上的操作则需要通过两步操作间接完成�Q�先对[1..r]�q�行操作再对[1..l-1]�q�行反操作（如加c的反操作��是减c�Q�，对于加法操作�q�样可反的操作是可以�Q�而对于求最��D��L��不可反的操作�Q�无法通过[1..r]的最��g��[1..l-1]的最值得出[l..r]的最��|��Q�就没有办法了。其实，用树状数�l�是可以解决��ȝ��RMQ问题的，但时间复杂度不太理想�Q�一�ơ操作的理论旉��复杂度达O((logN)^2)�Q��?br>
�Ҏ��是（�q�里C[i]表示i��辖的数�l�结点中的最��|��Q�设r'为目前的右端点，一开始r'=r。每�ơ找到r'��辖的数�l�结点中最左边的那个的下标�Q�即r' - (r' & (-r')) + 1�Q�，设�ؓx。若x>=l�Q�则��C[r']与目前的最值比较、更斎ͼ�再将r'设�ؓ(x-1)�Q�若x
本算法编�E�复杂度极低�Q�但�׃��旉��效率较低�Q�难以适应较大范围数据�Q�N, M>100000基本上就TLE了）

Mato_No1 2011-03-19 21:59 发表评论

Mato_No1 — Sat, 19 Mar 2011 11:53:00 GMT

树状数组在区间求和问题上有大用，其三�U�复杂度都比�U�段树要低很�?#8230;…有关区间求和的问题主要有以下三个模型�Q�以下设A[1..N]��Z��个长为N的序列，初始��gؓ�?�Q�：

�Q?�Q?#8220;改点求段”型，卛_��于序列A有以下操作：

�?】修�Ҏ��作：��A[x]的值加上c�Q?/p>

�?】求和操作：求此时A[l..r]的和�?/p>

�q�是最�Ҏ��的模型，不需要�Q何辅助数�l�。树状数�l�中从x开始不断减lowbit(x)�Q�即x&(-x)�Q�可以得到整个[1..x]的和�Q�而从x开始不断加lowbit(x)则可以得到x的所有前��。代码：

void ADD(int x, int c)
{
     for (int i=x; i<=n; i+=i&(-i)) a[i] += c;
}
int SUM(int x)
{
    int s = 0;
    for (int i=x; i>0; i-=i&(-i)) s += a[i];
    return s;
}

操作�?】：ADD(x, c);

操作�?】：SUM(r)-SUM(l-1)�?br>
�Q?�Q?#8220;�Ҏ��求点”型，卛_��于序列A有以下操作：

�?】修�Ҏ��作：��A[l..r]之间的全部元素值加上c�Q?/p>

�?】求和操作：求此时A[x]的倹{�?br>
�q�个模型中需要设�|�一个辅助数�l�B�Q�B[i]表示A[1..i]到目前�ؓ止共被整体加了多��（或者可以说成，到目前�ؓ止的所有ADD(i, c)操作中c的��d��Q��?/p> 则可以发玎ͼ�对于之前的所有ADD(x, c)操作�Q�当且仅当x>=i�Ӟ��该操作会对A[i]的值造成影响�Q�将A[i]加上c�Q�，又由于初始A[i]=0�Q�所以有A[i] = B[i..N]之和�Q�而ADD(i, c)�Q�将A[1..i]整体加上c�Q�，��B[i]加上c卛_��——只要对B数组�q�行操作��p��了�?br>
�q�样��把该模型�{化成�?#8220;改点求段”型，只是有一点不同的是，SUM(x)不是求B[1..x]的和而是求B[x..N]的和�Q�此时只需把ADD和SUM中的增减�ơ序对调卛_��Q�模�?中是ADD加SUM减，�q�里是ADD减SUM加）。代码：

void ADD(int x, int c)
{
     for (int i=x; i>0; i-=i&(-i)) b[i] += c;
}
int SUM(int x)
{
    int s = 0;
    for (int i=x; i<=n; i+=i&(-i)) s += b[i];
    return s;
}

操作�?】：ADD(l-1, -c); ADD(r, c);

操作�?】：SUM(x)�?br>
�Q?�Q?#8220;�Ҏ��求段”型，卛_��于序列A有以下操作：

�?】修�Ҏ��作：��A[l..r]之间的全部元素值加上c�Q?br>
�?】求和操作：求此时A[l..r]的和�?br>
�q�是最复杂的模型，需要两个辅助数�l�：B[i]表示A[1..i]到目前�ؓ止共被整体加了多��（和模�?中的一��P��Q�C[i]表示A[1..i]到目前�ؓ止共被整体加了多��的��d��Q�或者说�Q�C[i]=B[i]*i�Q��?br>
对于ADD(x, c)�Q�只要将B[x]加上c�Q�同时C[x]加上c*x卛_��Q�根据C[x]和B[x]间的关系可得�Q�；

而ADD(x, c)操作是这样媄响A[1..i]的和的：若x=i�Q�会��A[1..i]的和加上i*c。也��是�Q�A[1..i]之和 = B[i..N]之和 * i + C[1..i-1]之和�?br>�q�样对于B和C两个数组而言��变成了“改点求段”�Q�不�q�B是求后缀和而C是求前缀和）�?br>另外�Q�该模型中需要特别注意越界问题，即x=0时不能执行SUM_B操作和ADD_C操作�Q�代码：

void ADD_B(int x, int c)
{
     for (int i=x; i>0; i-=i&(-i)) B[i] += c;
}
void ADD_C(int x, int c)
{
     for (int i=x; i<=n; i+=i&(-i)) C[i] += x * c;
}
int SUM_B(int x)
{
    int s = 0;
    for (int i=x; i<=n; i+=i&(-i)) s += B[i];
    return s;
}
int SUM_C(int x)
{
    int s = 0;
    for (int i=x; i>0; i-=i&(-i)) s += C[i];
    return s;
}
inline int SUM(int x)
{
    if (x) return SUM_B(x) * x + SUM_C(x - 1); else return 0;
}

操作�?】：
ADD_B(r, c); ADD_C(r, c);
if (l > 1) {ADD_B(l - 1, -c); ADD_C(l - 1, -c);}

操作�?】：SUM(r) - SUM(l - 1)�?br>

Mato_No1 2011-03-19 19:53 发表评论