二分圖指的是這樣一種圖：其所有的頂點分成兩個集合M和N，其中M或N中任意兩個在同一集合中的點都不相連。二分圖匹配是指求出一組邊，其中的頂點分別在兩個集合中，并且任意兩條邊都沒有相同的頂點，這組邊叫做二分圖的匹配，而所能得到的最大的邊的個數(shù)，叫做最大匹配。

匈牙利算法。這個算法說白了就是最大流的算法，但是它跟據(jù)二分圖匹配這個問題的特點，把最大流算法做了簡化，提高了效率。匈牙利算法其實很簡單，但是網(wǎng)上搜不到什么說得清楚的文章。所以我決定要寫一下。
最大流算法的核心問題就是找增廣路徑（augment path）。匈牙利算法也不例外，它的基本模式就是：

初始時最大匹配為空 while 找得到增廣路徑     do 把增廣路徑加入到最大匹配中去

可見和最大流算法是一樣的。但是這里的增廣路徑就有它一定的特殊性，下面我來分析一下。
（注：匈牙利算法雖然根本上是最大流算法，但是它不需要建網(wǎng)絡(luò)模型，所以圖中不再需要源點和匯點，僅僅是一個二分圖。每條邊也不需要有方向。）

圖1 圖2

圖1是我給出的二分圖中的一個匹配：〔1，5〕和〔2，6〕。圖2就是在這個匹配的基礎(chǔ)上找到的一條增廣路徑：3->6->2->5->1->4。我們借由它來描述一下二分圖中的增廣路徑的性質(zhì)：

(1)有奇數(shù)條邊。
(2)起點在二分圖的左半邊，終點在右半邊。
(3)路徑上的點一定是一個在左半邊，一個在右半邊，交替出現(xiàn)。（其實二分圖的性質(zhì)就決定了這一點，因為二分圖同一邊的點之間沒有邊相連，不要忘記哦。）
(4)整條路徑上沒有重復(fù)的點。
(5)起點和終點都是目前還沒有配對的點，而其它所有點都是已經(jīng)配好對的。（如圖1、圖2所示，〔1，5〕和〔2，6〕在圖1中是兩對已經(jīng)配好對的點；而起點3和終點4目前還沒有與其它點配對。）
(6)路徑上的所有第奇數(shù)條邊都不在原匹配中，所有第偶數(shù)條邊都出現(xiàn)在原匹配中。（如圖1、圖2所示，原有的匹配是〔1，5〕和〔2，6〕，這兩條配匹的邊在圖2給出的增廣路徑中分邊是第2和第4條邊。而增廣路徑的第1、3、5條邊都沒有出現(xiàn)在圖1給出的匹配中。）
(7)最后，也是最重要的一條，把增廣路徑上的所有第奇數(shù)條邊加入到原匹配中去，并把增廣路徑中的所有第偶數(shù)條邊從原匹配中刪除（這個操作稱為增廣路徑的取反），則新的匹配數(shù)就比原匹配數(shù)增加了1個。（如圖2所示，新的匹配就是所有藍(lán)色的邊，而所有紅色的邊則從原匹配中刪除。則新的匹配數(shù)為3。）

不難想通，在最初始時，還沒有任何匹配時，圖1中的兩條灰色的邊本身也是增廣路徑。因此在這張二分圖中尋找最大配匹的過程可能如下：

(1)找到增廣路徑1->5，把它取反，則匹配數(shù)增加到1。
(2)找到增廣路徑2->6，把它取反，則匹配數(shù)增加到2。
(3)找到增廣路徑3->6->2->5->1->4，把它取反，則匹配數(shù)增加到3。
(4)再也找不到增廣路徑，結(jié)束。

當(dāng)然，這只是一種可能的流程。也可能有別的找增廣路徑的順序，或者找到不同的增廣路徑，最終的匹配方案也可能不一樣。但是最大匹配數(shù)一定都是相同的。

對于增廣路徑還可以用一個遞歸的方法來描述。這個描述不一定最準(zhǔn)確，但是它揭示了尋找增廣路徑的一般方法：
“從點A出發(fā)的增廣路徑”一定首先連向一個在原匹配中沒有與點A配對的點B。如果點B在原匹配中沒有與任何點配對，則它就是這條增廣路徑的終點；反之，如果點B已與點C配對，那么這條增廣路徑就是從A到B，再從B到C，再加上“從點C出發(fā)的增廣路徑”。并且，這條從C出發(fā)的增廣路徑中不能與前半部分的增廣路徑有重復(fù)的點。

比如圖2中，我們要尋找一條從3出發(fā)的增廣路徑，要做以下3步：
(1)首先從3出發(fā)，它能連到的點只有6，而6在圖1中已經(jīng)與2配對，所以目前的增廣路徑就是3->6->2再加上從2出發(fā)的增廣路徑。
(2)從2出發(fā)，它能連到的不與前半部分路徑重復(fù)的點只有5，而且5確實在原匹配中沒有與2配對。所以從2連到5。但5在圖1中已經(jīng)與1配對，所以目前的增廣路徑為3->6->2->5->1再加上從1出發(fā)的增廣路徑。
(3)從1出發(fā)，能連到的不與自已配對并且不與前半部分路徑重復(fù)的點只有4。因為4在圖1中沒有與任何點配對，所以它就是終點。所以最終的增廣路徑是3->6->2->5->1->4。

但是嚴(yán)格地說，以上過程中從2出發(fā)的增廣路徑（2->5->1->4）和從1出發(fā)的增廣路徑（1->4）并不是真正的增廣路徑。因為它們不符合前面講過的增廣路徑的第5條性質(zhì)，它們的起點都是已經(jīng)配過對的點。我們在這里稱它們?yōu)?#8220;增廣路徑”只是為了方便說明整個搜尋的過程。而這兩條路徑本身只能算是兩個不為外界所知的子過程的返回結(jié)果。
顯然，從上面的例子可以看出，搜尋增廣路徑的方法就是DFS，可以寫成一個遞歸函數(shù)。當(dāng)然，用BFS也完全可以實現(xiàn)。

至此，理論基礎(chǔ)部份講完了。但是要完成匈牙利算法，還需要一個重要的定理：

如果從一個點A出發(fā)，沒有找到增廣路徑，那么無論再從別的點出發(fā)找到多少增廣路徑來改變現(xiàn)在的匹配，從A出發(fā)都永遠(yuǎn)找不到增廣路徑。

要用文字來證明這個定理很繁，話很難說，要么我還得多畫一張圖，我在此就省了。其實你自己畫幾個圖，試圖舉兩個反例，這個定理不難想通的。（給個提示。如果你試圖舉個反例來說明在找到了別的增廣路徑并改變了現(xiàn)有的匹配后，從A出發(fā)就能找到增廣路徑。那么，在這種情況下，肯定在找到別的增廣路徑之前，就能從A出發(fā)找到增廣路徑。這就與假設(shè)矛盾了。）
有了這個定理，匈牙利算法就成形了。如下：

初始時最大匹配為空 for 二分圖左半邊的每個點i     do 從點i出發(fā)尋找增廣路徑。如果找到，則把它取反（即增加了總了匹配數(shù)）。

如果二分圖的左半邊一共有n個點，那么最多找n條增廣路徑。如果圖中共有m條邊，那么每找一條增廣路徑（DFS或BFS）時最多把所有邊遍歷一遍，所花時間也就是m。所以總的時間大概就是O（n * m）。