問(wèn)題:
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2244參考:
http://baike.baidu.com/view/213217.html?fromTaglist思路:
從這題認(rèn)識(shí)了經(jīng)典的約瑟夫問(wèn)題:
無(wú)論是用鏈表實(shí)現(xiàn)還是用數(shù)組實(shí)現(xiàn)都有一個(gè)共同點(diǎn)：要模擬整個(gè)游戲過(guò)程，不僅程序?qū)懫饋?lái)比較煩，而且時(shí)間復(fù)雜度高達(dá)O(nm)，當(dāng)n，m非常大(例如上百萬(wàn)，上千萬(wàn))的時(shí)候，幾乎是沒(méi)有辦法在短時(shí)間內(nèi)出結(jié)果的。我們注意到原問(wèn)題僅僅是要求出最后的勝利者的序號(hào)，而不是要讀者模擬整個(gè)過(guò)程。因此如果要追求效率，就要打破常規(guī)，實(shí)施一點(diǎn)數(shù)學(xué)策略。
為了討論方便，先把問(wèn)題稍微改變一下，并不影響原意：
問(wèn)題描述：n個(gè)人（編號(hào)0~(n-1))，從0開(kāi)始報(bào)數(shù)，報(bào)到(m-1)的退出，剩下的人繼續(xù)從0開(kāi)始報(bào)數(shù)。求勝利者的編號(hào)。
我們知道第一個(gè)人(編號(hào)一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1個(gè)人組成了一個(gè)新的約瑟夫環(huán)（以編號(hào)為k=m%n的人開(kāi)始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且從k開(kāi)始報(bào)0。
現(xiàn)在我們把他們的編號(hào)做一下轉(zhuǎn)換：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
變換后就完完全全成為了(n-1)個(gè)人報(bào)數(shù)的子問(wèn)題，假如我們知道這個(gè)子問(wèn)題的解：例如x是最終的勝利者，那么根據(jù)上面這個(gè)表把這個(gè)x變回去不剛好就是n個(gè)人情況的解嗎？??！變回去的公式很簡(jiǎn)單，相信大家都可以推出來(lái)：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)個(gè)人報(bào)數(shù)的問(wèn)題的解？對(duì)，只要知道(n-2)個(gè)人的解就行了。(n-2)個(gè)人的解呢？當(dāng)然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是一個(gè)倒推問(wèn)題！好了，思路出來(lái)了，下面寫(xiě)遞推公式：
令f[i]表示i個(gè)人玩游戲報(bào)m退出最后勝利者的編號(hào)，最后的結(jié)果自然是f[n]
遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了這個(gè)公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數(shù)值，最后結(jié)果是f[n]。因?yàn)閷?shí)際生活中編號(hào)總是從1開(kāi)始，我們輸出f[n]+1
由于是逐級(jí)遞推，不需要保存每個(gè)f[i]，程序也是異常簡(jiǎn)單：
#include <stdio.h>
int main()
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d\n", s+1);
}
這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)，相對(duì)于模擬算法已經(jīng)有了很大的提高。算n，m等于一百萬(wàn)，一千萬(wàn)的情況不是問(wèn)題了。可見(jiàn)，適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)策略，不僅可以讓編程變得簡(jiǎn)單，而且往往會(huì)成倍地提高算法執(zhí)行效率。
代碼:
1 #include<stdio.h>
2 #include<stdlib.h>
3 #include<string.h>
4
5 /*
6 * f[1] = 0
7 * f[i] = (f[i-1]+m)%i
8 */
9 int
10 josephus(int n, int m)
11 {
12 int i, s = 0;
13 for(i=2; i<=n; i++)
14 s = (s+m)%i;
15 return s+1;
16 }
17
18 int
19 main(int argc, char **argv)
20 {
21 int n, m;
22 while(scanf("%d", &n)!=EOF && n!=0) {
23 m = 2;
24 /* because first cut off city 1 and then begins every mth */
25 while(josephus(n-1, m) != 1)
26 ++m;
27 printf("%d\n", m);
28 }
29 }