來(lái)看一個(gè)實(shí)例，杭電1232暢通工程
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1232 首先在地圖上給你若干個(gè)城鎮(zhèn)，這些城鎮(zhèn)都可以看作點(diǎn)，然后告訴你哪些對(duì)城鎮(zhèn)之間是有道路直接相連的。最后要解決的是整幅圖的連通性問題。比如隨意給你兩個(gè)點(diǎn)，讓你判斷它們是否連通，或者問你整幅圖一共有幾個(gè)連通分支，也就是被分成了幾個(gè)互相獨(dú)立的塊。像暢通工程這題，問還需要修幾條路，實(shí)質(zhì)就是求有幾個(gè)連通分支。如果是1個(gè)連通分支，說(shuō)明整幅圖上的點(diǎn)都連起來(lái)了，不用再修路了；如果是2個(gè)連通分支，則只要再修1條路，從兩個(gè)分支中各選一個(gè)點(diǎn)，把它們連起來(lái)，那么所有的點(diǎn)都是連起來(lái)的了；如果是3個(gè)連通分支，則只要再修兩條路……
以下面這組數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明
4 2
1 3
4 3
第一行告訴你，一共有4個(gè)點(diǎn)，2條路。下面兩行告訴你，1、3之間有條路，4、3之間有條路。那么整幅圖就被分成了1-3-4和2兩部分。只要再加一條路，把2和其他任意一個(gè)點(diǎn)連起來(lái)，暢通工程就實(shí)現(xiàn)了，那么這個(gè)這組數(shù)據(jù)的輸出結(jié)果就是1。好了，現(xiàn)在編程實(shí)現(xiàn)這個(gè)功能吧，城鎮(zhèn)有幾百個(gè)，路有不知道多少條，而且可能有回路。
這可如何是好？我以前也不會(huì)呀，自從用了并查集之后，嗨，效果還真好！我們?nèi)叶加盟?br> 并查集由一個(gè)整數(shù)型的數(shù)組和兩個(gè)函數(shù)構(gòu)成。數(shù)組pre[]記錄了每個(gè)點(diǎn)的前導(dǎo)點(diǎn)是什么，函數(shù)find是查找，join是合并。
int pre[1000 ];
int find(int x)
{
//查找根節(jié)點(diǎn)
int r=x;
while (pre[r ]!=r)
r=pre[r ];
//路徑壓縮
int i=x;
int j;
while(i!=r)
{
j=pre[i ];
pre[i ]=r;
i=j;
}
//返回根節(jié)點(diǎn)
return r;
}
void join(int x,int y)
{
//判斷x y是否連通
//如果已經(jīng)連通，就不用管了
//如果不連通，就把它們所在的連通分支合并起來(lái)
int fx=find(x),fy=find(y);
if(fx!=fy)
pre[fx ]=fy;
}
為了解釋并查集的原理，我將舉一個(gè)更有愛的例子。
話說(shuō)江湖上散落著各式各樣的大俠，有上千個(gè)之多。他們沒有什么正當(dāng)職業(yè)，整天背著劍在外面走來(lái)走去，碰到和自己不是一路人的，就免不了要打一架。但大俠們有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就是講義氣，絕對(duì)不打自己的朋友。而且他們信奉“朋友的朋友就是我的朋友”，只要是能通過(guò)朋友關(guān)系串聯(lián)起來(lái)的，不管拐了多少個(gè)彎，都認(rèn)為是自己人。這樣一來(lái)，江湖上就形成了一個(gè)一個(gè)的群落，通過(guò)兩兩之間的朋友關(guān)系串聯(lián)起來(lái)。而不在同一個(gè)群落的人，無(wú)論如何都無(wú)法通過(guò)朋友關(guān)系連起來(lái)，于是就可以放心往死了打。但是兩個(gè)原本互不相識(shí)的人，如何判斷是否屬于一個(gè)朋友圈呢？我們可以在每個(gè)朋友圈內(nèi)推舉出一個(gè)比較有名望的人，作為該圈子的代表人物，這樣，每個(gè)圈子就可以這樣命名“齊達(dá)內(nèi)朋友之隊(duì)”“羅納爾多朋友之隊(duì)”……兩人只要互相對(duì)一下自己的隊(duì)長(zhǎng)是不是同一個(gè)人，就可以確定敵友關(guān)系了。
但是還有問題啊，大俠們只知道自己直接的朋友是誰(shuí)，很多人壓根就不認(rèn)識(shí)隊(duì)長(zhǎng)，要判斷自己的隊(duì)長(zhǎng)是誰(shuí)，只能漫無(wú)目的的通過(guò)朋友的朋友關(guān)系問下去：“你是不是隊(duì)長(zhǎng)？你是不是隊(duì)長(zhǎng)？”這樣一來(lái)，隊(duì)長(zhǎng)面子上掛不住了，而且效率太低，還有可能陷入無(wú)限循環(huán)中。于是隊(duì)長(zhǎng)下令，重新組隊(duì)。隊(duì)內(nèi)所有人實(shí)行分等級(jí)制度，形成樹狀結(jié)構(gòu)，我隊(duì)長(zhǎng)就是根節(jié)點(diǎn)，下面分別是二級(jí)隊(duì)員、三級(jí)隊(duì)員。每個(gè)人只要記住自己的上級(jí)是誰(shuí)就行了。遇到判斷敵友的時(shí)候，只要一層層向上問，直到最高層，就可以在短時(shí)間內(nèi)確定隊(duì)長(zhǎng)是誰(shuí)了。由于我們關(guān)心的只是兩個(gè)人之間是否連通，至于他們是如何連通的，以及每個(gè)圈子內(nèi)部的結(jié)構(gòu)是怎樣的，甚至隊(duì)長(zhǎng)是誰(shuí)，并不重要。所以我們可以放任隊(duì)長(zhǎng)隨意重新組隊(duì)，只要不搞錯(cuò)敵友關(guān)系就好了。于是，門派產(chǎn)生了。
下面我們來(lái)看并查集的實(shí)現(xiàn)。
int pre[1000];
這個(gè)數(shù)組，記錄了每個(gè)大俠的上級(jí)是誰(shuí)。大俠們從1或者0開始編號(hào)（依據(jù)題意而定），pre[15]=3就表示15號(hào)大俠的上級(jí)是3號(hào)大俠。如果一個(gè)人的上級(jí)就是他自己，那說(shuō)明他就是掌門人了，查找到此為止。也有孤家寡人自成一派的，比如歐陽(yáng)鋒，那么他的上級(jí)就是他自己。每個(gè)人都只認(rèn)自己的上級(jí)。比如胡青牛同學(xué)只知道自己的上級(jí)是楊左使。張無(wú)忌是誰(shuí)？不認(rèn)識(shí)！要想知道自己的掌門是誰(shuí)，只能一級(jí)級(jí)查上去。
find這個(gè)函數(shù)就是找掌門用的，意義再清楚不過(guò)了（路徑壓縮算法先不論，后面再說(shuō)）。
int find(int x)
{
//查找根節(jié)點(diǎn)
int r=x;
while (pre[r ]!=r)//如果我的上級(jí)不是掌門
r=pre[r ];//我就接著找他的上級(jí)，直到找到掌門為止。
//返回根節(jié)點(diǎn)
return r;//掌門駕到~~~
}
再來(lái)看看join函數(shù)，就是在兩個(gè)點(diǎn)之間連一條線，這樣一來(lái)，原先它們所在的兩個(gè)板塊的所有點(diǎn)就都可以互通了。這在圖上很好辦，畫條線就行了。但我們現(xiàn)在是用并查集來(lái)描述武林中的狀況的，一共只有一個(gè)pre[]數(shù)組，該如何實(shí)現(xiàn)呢？
還是舉江湖的例子，假設(shè)現(xiàn)在武林中的形勢(shì)如圖所示。虛竹小和尚與周芷若MM是我非常喜歡的兩個(gè)人物，他們的終極boss分別是玄慈方丈和滅絕師太，那明顯就是兩個(gè)陣營(yíng)了。我不希望他們互相打架，就對(duì)他倆說(shuō)：“你們兩位拉拉勾，做好朋友吧。”他們看在我的面子上，同意了。這一同意可非同小可，整個(gè)少林和峨眉派的人就不能打架了。這么重大的變化，可如何實(shí)現(xiàn)呀，要改動(dòng)多少地方？其實(shí)非常簡(jiǎn)單，我對(duì)玄慈方丈說(shuō)：“大師，麻煩你把你的上級(jí)改為滅絕師太吧。這樣一來(lái)，兩派原先的所有人員的終極boss都是師太，那還打個(gè)球啊！反正我們關(guān)心的只是連通性，門派內(nèi)部的結(jié)構(gòu)不要緊的。”玄慈一聽肯定火大了：“我靠，憑什么是我變成她手下呀，怎么不反過(guò)來(lái)？我抗議！”抗議無(wú)效，上天安排的，最大。反正誰(shuí)加入誰(shuí)效果是一樣的，我就隨手指定了一個(gè)。這段函數(shù)的意思很明白了吧？
void join(int x,int y)//我想讓虛竹和周芷若做朋友
{
int fx=find(x),fy=find(y); //虛竹的老大是玄慈，芷若MM的老大是滅絕
if(fx!=fy) //玄慈和滅絕顯然不是同一個(gè)人
pre[fx ]=fy; //方丈只好委委屈屈地當(dāng)了師太的手下啦
}
再來(lái)看看路徑壓縮算法。建立門派的過(guò)程是用join函數(shù)兩個(gè)人兩個(gè)人地連接起來(lái)的，誰(shuí)當(dāng)誰(shuí)的手下完全隨機(jī)。最后的樹狀結(jié)構(gòu)會(huì)變成什么胎唇樣，我也完全無(wú)法預(yù)計(jì)，一字長(zhǎng)蛇陣也有可能。這樣查找的效率就會(huì)比較低下。最理想的情況就是所有人的直接上級(jí)都是掌門，一共就兩級(jí)結(jié)構(gòu)，只要找一次就找到掌門了。哪怕不能完全做到，也最好盡量接近。這樣就產(chǎn)生了路徑壓縮算法。
設(shè)想這樣一個(gè)場(chǎng)景：兩個(gè)互不相識(shí)的大俠碰面了，想知道能不能揍。
于是趕緊打電話問自己的上級(jí)：“你是不是掌門？”
上級(jí)說(shuō)：“我不是呀，我的上級(jí)是誰(shuí)誰(shuí)誰(shuí)，你問問他看看。”
一路問下去，原來(lái)兩人的最終boss都是東廠曹公公。
“哎呀呀，原來(lái)是記己人，西禮西禮，在下三營(yíng)六組白面葫蘆娃!”
“幸會(huì)幸會(huì)，在下九營(yíng)十八組仙子狗尾巴花！”
兩人高高興興地手拉手喝酒去了。
“等等等等，兩位同學(xué)請(qǐng)留步，還有事情沒完成呢！”我叫住他倆。
“哦，對(duì)了，還要做路徑壓縮。”兩人醒悟。
白面葫蘆娃打電話給他的上級(jí)六組長(zhǎng)：“組長(zhǎng)啊，我查過(guò)了，其習(xí)偶們的掌門是曹公公。不如偶們一起及接拜在曹公公手下吧，省得級(jí)別太低，以后查找掌門麻環(huán)。”
“唔，有道理。”
白面葫蘆娃接著打電話給剛才拜訪過(guò)的三營(yíng)長(zhǎng)……仙子狗尾巴花也做了同樣的事情。
這樣，查詢中所有涉及到的人物都聚集在曹公公的直接領(lǐng)導(dǎo)下。每次查詢都做了優(yōu)化處理，所以整個(gè)門派樹的層數(shù)都會(huì)維持在比較低的水平上。路徑壓縮的代碼，看得懂很好，看不懂也沒關(guān)系，直接抄上用就行了。總之它所實(shí)現(xiàn)的功能就是這么個(gè)意思。
回到開頭提出的問題，我的代碼如下：
#include
int pre[1000 ];
int find(int x)
{
int r=x;
while (pre[r ]!=r)
r=pre[r ];
int i=x;
int j;
while(i!=r)
{
j=pre[i ];
pre[i ]=r;
i=j;
}
return r;
}
int main()
{
int n,m,p1,p2,i,total,f1,f2;
while(scanf("%d",&n) && n)//讀入n，如果n為0，結(jié)束
{
//剛開始的時(shí)候，有n個(gè)城鎮(zhèn)，一條路都沒有
//那么要修n-1條路才能把它們連起來(lái)
total=n-1;
//每個(gè)點(diǎn)互相獨(dú)立，自成一個(gè)集合，從1編號(hào)到n
//所以每個(gè)點(diǎn)的上級(jí)都是自己
for(i=1;i<=n;i++)
{
pre[i ]=i;
}
//共有m條路
scanf("%d",&m);
while(m--)
{
//下面這段代碼，其實(shí)就是join函數(shù)，只是稍作改動(dòng)以適應(yīng)題目要求
//每讀入一條路，看它的端點(diǎn)p1，p2是否已經(jīng)在一個(gè)連通分支里了
scanf("%d %d",&p1,&p2);
f1=find(p1);
f2=find(p2);
//如果是不連通的，那么把這兩個(gè)分支連起來(lái)
//分支的總數(shù)就減少了1，還需建的路也就減了1
if(f1!=f2)
{
pre[f2 ]=f1;
total--;
}
//如果兩點(diǎn)已經(jīng)連通了，那么這條路只是在圖上增加了一個(gè)環(huán)
//對(duì)連通性沒有任何影響，無(wú)視掉
}
//最后輸出還要修的路條數(shù)
printf("%d\n",total);
}
return 0;
}