A Za, A Za, Fighting...

概述

雖然掌握了 A* 算法的人認為它容易，但是對于初學者來說， A* 算法還是很復雜的。

搜索區域(The Search Area)

我們假設某人要從 A 點移動到 B 點，但是這兩點之間被一堵墻隔開。如圖 1 ，綠色是 A ，紅色是 B ，中間藍色是墻。

圖 1

你應該注意到了，我們把要搜尋的區域劃分成了正方形的格子。這是尋路的第一步，簡化搜索區域，就像我們這里做的一樣。這個特殊的方法把我們的搜索區域簡化為了 2 維數組。數組的每一項代表一個格子，它的狀態就是可走 (walkalbe) 和不可走 (unwalkable) 。通過計算出從 A 到 B 需要走過哪些方格，就找到了路徑。一旦路徑找到了，人物便從一個方格的中心移動到另一個方格的中心，直至到達目的地。

方格的中心點我們成為“節點 (nodes) ”。如果你讀過其他關于 A* 尋路算法的文章，你會發現人們常常都在討論節點。為什么不直接描述為方格呢？因為我們有可能把搜索區域劃為為其他多變形而不是正方形，例如可以是六邊形，矩形，甚至可以是任意多變形。而節點可以放在任意多邊形里面，可以放在多變形的中心，也可以放在多邊形的邊上。我們使用這個系統，因為它最簡單。

開始搜索(Starting the Search)

一旦我們把搜尋區域簡化為一組可以量化的節點后，就像上面做的一樣，我們下一步要做的便是查找最短路徑。在 A* 中，我們從起點開始，檢查其相鄰的方格，然后向四周擴展，直至找到目標。

我們這樣開始我們的尋路旅途：

1.       從起點 A 開始，并把它就加入到一個由方格組成的 open list( 開放列表 ) 中。這個 open list 有點像是一個購物單。當然現在 open list 里只有一項，它就是起點 A ，后面會慢慢加入更多的項。 Open list 里的格子是路徑可能會是沿途經過的，也有可能不經過。基本上 open list 是一個待檢查的方格列表。

2.       查看與起點 A 相鄰的方格 ( 忽略其中墻壁所占領的方格，河流所占領的方格及其他非法地形占領的方格 ) ，把其中可走的 (walkable) 或可到達的(reachable) 方格也加入到 open list 中。把起點 A 設置為這些方格的父親 (parent node 或 parent square) 。當我們在追蹤路徑時，這些父節點的內容是很重要的。稍后解釋。

3.       把 A 從 open list 中移除，加入到 close list( 封閉列表 ) 中， close list 中的每個方格都是現在不需要再關注的。

如下圖所示，深綠色的方格為起點，它的外框是亮藍色，表示該方格被加入到了 close list 。與它相鄰的黑色方格是需要被檢查的，他們的外框是亮綠色。每個黑方格都有一個灰色的指針指向他們的父節點，這里是起點 A 。

圖 2 。

下一步，我們需要從 open list 中選一個與起點 A 相鄰的方格，按下面描述的一樣或多或少的重復前面的步驟。但是到底選擇哪個方格好呢？具有最小F 值的那個。

路徑排序(Path Sorting)

計算出組成路徑的方格的關鍵是下面這個等式：

F = G + H

這里，

G = 從起點 A 移動到指定方格的移動代價，沿著到達該方格而生成的路徑。

H = 從指定的方格移動到終點 B 的估算成本。這個通常被稱為試探法，有點讓人混淆。為什么這么叫呢，因為這是個猜測。直到我們找到了路徑我們才會知道真正的距離，因為途中有各種各樣的東西 ( 比如墻壁，水等 ) 。本教程將教你一種計算 H 的方法，你也可以在網上找到其他方法。

我們的路徑是這么產生的：反復遍歷 open list ，選擇 F 值最小的方格。這個過程稍后詳細描述。我們還是先看看怎么去計算上面的等式。

如上所述， G 是從起點Ａ移動到指定方格的移動代價。在本例中，橫向和縱向的移動代價為 10 ，對角線的移動代價為 14 。之所以使用這些數據，是因為實際的對角移動距離是 2 的平方根，或者是近似的 1.414 倍的橫向或縱向移動代價。使用 10 和 14 就是為了簡單起見。比例是對的，我們避免了開放和小數的計算。這并不是我們沒有這個能力或是不喜歡數學。使用這些數字也可以使計算機更快。稍后你便會發現，如果不使用這些技巧，尋路算法將很慢。

既然我們是沿著到達指定方格的路徑來計算 G 值，那么計算出該方格的 G 值的方法就是找出其父親的 G 值，然后按父親是直線方向還是斜線方向加上10 或 14 。隨著我們離開起點而得到更多的方格，這個方法會變得更加明朗。

有很多方法可以估算 H 值。這里我們使用 Manhattan 方法，計算從當前方格橫向或縱向移動到達目標所經過的方格數，忽略對角移動，然后把總數乘以 10 。之所以叫做 Manhattan 方法，是因為這很像統計從一個地點到另一個地點所穿過的街區數，而你不能斜向穿過街區。重要的是，計算 H 是，要忽略路徑中的障礙物。這是對剩余距離的估算值，而不是實際值，因此才稱為試探法。

把 G 和 H 相加便得到 F 。我們第一步的結果如下圖所示。每個方格都標上了 F ， G ， H 的值，就像起點右邊的方格那樣，左上角是 F ，左下角是 G，右下角是 H 。

圖 3

好，現在讓我們看看其中的一些方格。在標有字母的方格， G = 10 。這是因為水平方向從起點到那里只有一個方格的距離。與起點直接相鄰的上方，下方，左方的方格的 G 值都是 10 ，對角線的方格 G 值都是 14 。

H 值通過估算起點于終點 ( 紅色方格 ) 的 Manhattan 距離得到，僅作橫向和縱向移動，并且忽略沿途的墻壁。使用這種方式，起點右邊的方格到終點有 3 個方格的距離，因此 H = 30 。這個方格上方的方格到終點有 4 個方格的距離 ( 注意只計算橫向和縱向距離 ) ，因此 H = 40 。對于其他的方格，你可以用同樣的方法知道 H 值是如何得來的。

每個方格的 F 值，再說一次，直接把 G 值和 H 值相加就可以了。

繼續搜索(Continuing the Search)

為了繼續搜索，我們從 open list 中選擇 F 值最小的 ( 方格 ) 節點，然后對所選擇的方格作如下操作：

4.       把它從 open list 里取出，放到 close list 中。

5.       檢查所有與它相鄰的方格，忽略其中在 close list 中或是不可走 (unwalkable) 的方格 ( 比如墻，水，或是其他非法地形 ) ，如果方格不在 open lsit 中，則把它們加入到 open list 中。

把我們選定的方格設置為這些新加入的方格的父親。

6.       如果某個相鄰的方格已經在 open list 中，則檢查這條路徑是否更優，也就是說經由當前方格 ( 我們選中的方格 ) 到達那個方格是否具有更小的 G值。如果沒有，不做任何操作。

相反，如果 G 值更小，則把那個方格的父親設為當前方格 ( 我們選中的方格 ) ，然后重新計算那個方格的 F 值和 G 值。如果你還是很混淆，請參考下圖。

圖 4

Ok ，讓我們看看它是怎么工作的。在我們最初的 9 個方格中，還有 8 個在 open list 中，起點被放入了 close list 中。在這些方格中，起點右邊的格子的 F 值 40 最小，因此我們選擇這個方格作為下一個要處理的方格。它的外框用藍線打亮。

首先，我們把它從 open list 移到 close list 中 ( 這就是為什么用藍線打亮的原因了 ) 。然后我們檢查與它相鄰的方格。它右邊的方格是墻壁，我們忽略。它左邊的方格是起點，在 close list 中，我們也忽略。其他 4 個相鄰的方格均在 open list 中，我們需要檢查經由這個方格到達那里的路徑是否更好，使用 G 值來判定。讓我們看看上面的方格。它現在的 G 值為 14 。如果我們經由當前方格到達那里， G 值將會為 20( 其中 10 為到達當前方格的 G 值，此外還要加上從當前方格縱向移動到上面方格的 G 值 10) 。顯然 20 比 14 大，因此這不是最優的路徑。如果你看圖你就會明白。直接從起點沿對角線移動到那個方格比先橫向移動再縱向移動要好。

當把 4 個已經在 open list 中的相鄰方格都檢查后，沒有發現經由當前方格的更好路徑，因此我們不做任何改變。現在我們已經檢查了當前方格的所有相鄰的方格，并也對他們作了處理，是時候選擇下一個待處理的方格了。

因此再次遍歷我們的 open list ，現在它只有 7 個方格了，我們需要選擇 F 值最小的那個。有趣的是，這次有兩個方格的 F 值都 54 ，選哪個呢？沒什么關系。從速度上考慮，選擇最后加入 open list 的方格更快。這導致了在尋路過程中，當靠近目標時，優先使用新找到的方格的偏好。但是這并不重要。 ( 對相同數據的不同對待，導致兩中版本的 A* 找到等長的不同路徑 ) 。

我們選擇起點右下方的方格，如下圖所示。

圖 5

這次，當我們檢查相鄰的方格時，我們發現它右邊的方格是墻，忽略之。上面的也一樣。

我們把墻下面的一格也忽略掉。為什么？因為如果不穿越墻角的話，你不能直接從當前方格移動到那個方格。你需要先往下走，然后再移動到那個方格，這樣來繞過墻角。 ( 注意：穿越墻角的規則是可選的，依賴于你的節點是怎么放置的 )

這樣還剩下 5 個相鄰的方格。當前方格下面的 2 個方格還沒有加入 open list ，所以把它們加入，同時把當前方格設為他們的父親。在剩下的 3 個方格中，有 2 個已經在 close list 中 ( 一個是起點，一個是當前方格上面的方格，外框被加亮的 ) ，我們忽略它們。最后一個方格，也就是當前方格左邊的方格，我們檢查經由當前方格到達那里是否具有更小的 G 值。沒有。因此我們準備從 open list 中選擇下一個待處理的方格。

不斷重復這個過程，直到把終點也加入到了 open list 中，此時如下圖所示。

圖 6

注意，在起點下面 2 格的方格的父親已經與前面不同了。之前它的 G 值是 28 并且指向它右上方的方格。現在它的 G 值為 20 ，并且指向它正上方的方格。這在尋路過程中的某處發生，使用新路徑時 G 值經過檢查并且變得更低，因此父節點被重新設置， G 和 F 值被重新計算。盡管這一變化在本例中并不重要，但是在很多場合中，這種變化會導致尋路結果的巨大變化。

那么我們怎么樣去確定實際路徑呢？很簡單，從終點開始，按著箭頭向父節點移動，這樣你就被帶回到了起點，這就是你的路徑。如下圖所示。從起點 A 移動到終點 B 就是簡單從路徑上的一個方格的中心移動到另一個方格的中心，直至目標。就是這么簡單！

圖 7

A*算法總結(Summary of the A* Method)

Ok ，現在你已經看完了整個的介紹，現在我們把所有步驟放在一起：

1.         把起點加入 open list 。

2.         重復如下過程：

a.         遍歷 open list ，查找 F 值最小的節點，把它作為當前要處理的節點。

b.         把這個節點移到 close list 。

c.         對當前方格的 8 個相鄰方格的每一個方格？

◆     如果它是不可抵達的或者它在 close list 中，忽略它。否則，做如下操作。

◆     如果它不在 open list 中，把它加入 open list ，并且把當前方格設置為它的父親，記錄該方格的 F ， G 和 H 值。

◆     如果它已經在 open list 中，檢查這條路徑 ( 即經由當前方格到達它那里 ) 是否更好，用 G 值作參考。更小的 G 值表示這是更好的路徑。如果是這樣，把它的父親設置為當前方格，并重新計算它的 G 和 F 值。如果你的 open list 是按 F 值排序的話，改變后你可能需要重新排序。

d.         停止，當你

◆     把終點加入到了 open list 中，此時路徑已經找到了，或者

◆     查找終點失敗，并且 open list 是空的，此時沒有路徑。

3.         保存路徑。從終點開始，每個方格沿著父節點移動直至起點，這就是你的路徑。

題外話(Small Rant)

請原諒我的離題，當你在網上或論壇上看到各種關于 A* 算法的討論時，你偶爾會發現一些 A* 的代碼，實際上他們不是。要使用 A* ，你必須包含上面討論的所有元素 ---- 尤其是 open list ， close list 和路徑代價 G ， H 和 F 。也有很多其他的尋路算法，這些算法并不是 A* 算法， A* 被認為是最好的。在本文末尾引用的一些文章中 Bryan Stout 討論了他們的一部分，包括他們的優缺點。在某些時候你可以二中擇一，但你必須明白自己在做什么。Ok ，不廢話了。回到文章。

實現的注解(Notes on Implemetation)

現在你已經明白了基本方法，這里是你在寫自己的程序是需要考慮的一些額外的東西。下面的材料引用了一些我用 C++ 和 Basic 寫的程序，但是對其他語言同樣有效。

1.    維護 Open List ：這是 A* 中最重要的部分。每次你訪問 Open list ，你都要找出具有最小    F 值的方格。有幾種做法可以做到這個。你可以隨意保存路徑元素，當你需要找到具     有最小 F 值的方格時，遍歷整個 open list 。這個很簡單，但對于很長的路徑會很慢。這個方法可以通過維護一個排好序的表來改進，每次當你需要找到具有最小 F 值的方格時，僅取出表的第一項即可。我寫程序時，這是我用的第一個方法。

       對于小地圖，這可以很好的工作，但這不是最快的方案。追求速度的 A* 程序員使用了叫做二叉堆的東西，我的程序里也用了這個。以我的經驗，這種方法在多數場合下會快 2—3 倍，對于更長的路徑速度成幾何級數增長 (10 倍甚至更快 ) 。如果你想更多的了解二叉堆，請閱讀 Using Binary Heaps in A* Pathfinding 。

2.       其他單位：如果你碰巧很仔細的看了我的程序，你會注意到我完全忽略了其他單位。我的尋路者實際上可以互相穿越。這取決于游戲，也許可以，也許不可以。如果你想考慮其他單位，并想使他們移動時繞過彼此，我建議你的尋路程序忽略它們，再寫一些新的程序來判斷兩個單位是否會發生碰撞。如果發生碰撞，你可以產生一個新的路徑，或者是使用一些標準的運動法則（比如永遠向右移動，等等）直至障礙物不在途中，然后產生一個新的路徑。為什么在計算初始路徑是不包括其他單位呢？因為其他單位是可以動的，當你到達的時候它們可能不在自己的位置上。這可以產生一些怪異的結果，一個單位突然轉向來避免和一個已不存在的單位碰撞，在它的路徑計算出來后和穿越它路徑的那些單位碰撞了。

在尋路代碼中忽略其他單位，意味著你必須寫另一份代碼來處理碰撞。這是游戲的細節，所以我把解決方案留給你。本文末尾引用的 Bryan Stout's的文章中的幾種解決方案非常值得了解。

3.       一些速度方面的提示：如果你在開發自己的 A* 程序或者是改編我寫的程序，最后你會發現尋路占用了大量的 CPU 時間，尤其是當你有相當多的尋路者和一塊很大的地圖時。如果你閱讀過網上的資料，你會發現就算是開發星際爭霸，帝國時代的專家也是這樣。如果你發現事情由于尋路而變慢了，這里有些主意很不錯：

◆     使用小地圖或者更少的尋路者。

◆     千萬不要同時給多個尋路者尋路。取而代之的是把它們放入隊列中，分散到幾個游戲周期中。如果你的游戲以每秒 40 周期的速度運行，沒人能察覺到。但是如果同時有大量的尋路者在尋路的話，他們會馬上就發現游戲慢下來了。

◆     考慮在地圖中使用更大的方格。這減少了尋路時需要搜索的方格數量。如果你是有雄心的話，你可以設計多套尋路方案，根據路徑的長度而使用在不同場合。這也是專業人士的做法，對長路徑使用大方格，當你接近目標時使用小方格。如果你對這個有興趣，請看 Two-Tiered A* Pathfinding 。

◆     對于很長的路徑，考慮使用路徑點系統，或者可以預先計算路徑并加入游戲中。

◆     預先處理你的地圖，指出哪些區域是不可到達的。這些區域稱為“孤島”。實際上，他們可以是島嶼，或者是被墻壁等包圍而不可到達的任意區域。 A* 的下限是，你告訴他搜尋通往哪些區域的路徑時，他會搜索整個地圖，直到所有可以抵達的方格都通過 open list 或 close list 得到了處理。這會浪費大量的 CPU 時間。這可以通過預先設定不可到達的區域來解決。在某種數組中記錄這些信息，在尋路前檢查它。在我的 Blitz版程序中，我寫了個地圖預處理程序來完成這個。它可以提前識別尋路算法會忽略的死路徑，這又進一步提高了速度。

4.    不同的地形損耗：在這個教程和我的程序中，地形只有 2 種：可抵達的和不可抵達        的。但是如果你有些可抵達的地形，移動代價會更高些，沼澤，山丘，地牢的樓梯

       等都是可抵達的地形，但是移動代價比平地就要高。類似的，道路的移動代價就比        它周圍的地形低。

在你計算給定方格的 G 值時加上地形的代價就很容易解決了這個問題。簡單的給這些方格加上一些額外的代價就可以了。 A* 算法用來查找代價最低的路徑，應該很容易處理這些。在我的簡單例子中，地形只有可達和不可達兩種， A* 會搜尋最短和最直接的路徑。但是在有地形代價的環境中，代價最低的的路徑可能會很長。

就像沿著公路繞過沼澤而不是直接穿越它。

另一個需要考慮的是專家所謂的“ influence Mapping ”，就像上面描述的可變成本地形一樣，你可以創建一個額外的計分系統，把它應用到尋路的 AI 中。假設你有這樣一張地圖，地圖上由個通道穿過山丘，有大批的尋路者要通過這個通道，電腦每次產生一個通過那個通道的路徑都會變得很擁擠。如果需要，你可以產生一個 influence map ，它懲罰那些會發生大屠殺的方格。這會讓電腦選擇更安全的路徑，也可以幫助它避免因為路徑短（當然也更危險）而持續把隊伍或尋路者送往某一特定路徑。

5.    維護未探測的區域：你玩 PC 游戲的時候是否發現電腦總是能精確的選擇路徑，甚至地圖都未被探測。對于游戲來說，尋路過于精確反而不真實。幸運的是，這個問題很容易修正。答案就是為每個玩家和電腦（每個玩家，不是每個單位 --- 那會浪費很多內存）創建一個獨立的knownWalkability 數組。每個數組包含了玩家已經探測的區域的信息，和假設是可到達的其他區域，直到被證實。使用這種方法，單位會在路的死端徘徊，并會做出錯誤的選擇，直到在它周圍找到了路徑。地圖一旦被探測了，尋路又向平常一樣工作。

6.    平滑路徑： A* 自動給你花費最小的，最短的路徑，但它不會自動給你最平滑的路徑。看看我們的例子所找到的路徑（圖 7 ）。在這條路徑上，第一步在起點的右下方，如果第一步在起點的正下方是不是路徑會更平滑呢？

       有幾個方法解決這個問題。在你計算路徑時，你可以懲罰那些改變方向的方格，把它的 G 值增加一個額外的開銷。另一種選擇是，你可以遍歷你生成的路徑，查找那些用相鄰的方格替代會使路徑更平滑的地方。要了解更多，請看 Toward More Realistic Pathfinding 。

7.    非方形搜索區域：在我們的例子中，我們使用都是 2D 的方形的區域。你可以使用不規則的區域。想想冒險游戲中的那些國家，你可以設計一個像那樣的尋路關卡。你需要建立一張表格來保存國家相鄰關系，以及從一個國家移動到另一個國家的 G 值。你還需要一個方法了估算 H 值。其他的都可以向上面的例子一樣處理。當你向 open list 添加新項時，不是使用相鄰的方格，而是查看表里相鄰的國家。

類似的，你可以為一張固定地形的地圖的路徑建立路徑點系統。路徑點通常是道路或地牢通道的轉折點。作為游戲設計者，你可以預先設定路徑點。如果兩個路徑點的連線沒有障礙物的話它們被視為相鄰的。在冒險游戲的例子中，你可以保存這些相鄰信息在某種表中，當 open list增加新項時使用。然后記錄 G 值（可能用兩個結點間的直線距離）和 H 值（可能使用從節點到目標的直線距離）。其它的都想往常一樣處理。