看到自然科學(xué)版有一個(gè)關(guān)于電磁場的討論, 激發(fā)了我寫點(diǎn)東西的沖動(dòng).
一直以來, 對(duì)物理的興趣都不比數(shù)學(xué)少. 所以偷偷摸摸看了一些物理的
東西. 多半都是半懂不懂了, 但也有一點(diǎn)小體會(huì).

歷史上數(shù)學(xué)和物理有幾次神秘的相互作用, 第一次是牛頓力學(xué)體系的建立,
物理學(xué)的需要直接導(dǎo)致微積分這個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具的誕生; 第二次是
愛因斯坦的廣義相對(duì)論, 讓黎曼幾何這個(gè)當(dāng)時(shí)非主流的數(shù)學(xué)理論成為
理論物理學(xué)家的必備知識(shí); 第三次是馮.諾依曼為量子力學(xué)建立數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
的嘗試, 極大地推動(dòng)了泛函分析的誕生和發(fā)展; 第四次就到了前幾天熱烈
討論的楊振寧, 他的規(guī)范場論就是數(shù)學(xué)上正在發(fā)展的纖維叢理論.

從這幾次聯(lián)系看來, 物理和數(shù)學(xué)就象陳省身在他的微分幾何講義后記中
所畫的那個(gè)圖一樣, 是兩條時(shí)分時(shí)合的曲線. 在廣義相對(duì)論之后, 包括
愛因斯坦在內(nèi)的很多物理學(xué)家都嘗試用數(shù)學(xué)來解釋一切, 但是他們不僅
失敗了, 還遭到了新興的量子力學(xué)的冷落. 量子力學(xué)使用了一些簡單的
數(shù)學(xué)工具, 但是犧牲了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理. 這時(shí)候馮.諾依曼出來了, 他
成功地用無窮維空間的算子理論闡述了量子力學(xué), 并極大地發(fā)展了泛函
分析這一數(shù)學(xué)分支. 然而量子力學(xué)受到自身的推動(dòng)以及來自相對(duì)論的改造
迅速地進(jìn)化到量子場論這個(gè)至今無法從數(shù)學(xué)上理解的詭異理論. 數(shù)學(xué)再一次
失去了在物理中的重要地位. 物理學(xué)家們按照他們自己的邏輯將量子場論
發(fā)展得離數(shù)學(xué)很遠(yuǎn)很遠(yuǎn), 他們普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)的能力已經(jīng)到達(dá)極限. 廣義
相對(duì)論這個(gè)美妙的幾何理論被稱為經(jīng)典理論. 經(jīng)典這個(gè)詞, 往往意味著
過時(shí). 幾何已經(jīng)被物理學(xué)家拋棄. 這時(shí), 楊振寧-米爾斯找到了一個(gè)理論,
可以用來解釋強(qiáng)相互作用. 這個(gè)理論被叫做規(guī)范理論. 這個(gè)名字可能來源
于電磁場的各種規(guī)范(庫侖規(guī)范, 洛倫茲規(guī)范,...), 本意應(yīng)該是讓電磁場
的矢量勢(shì)和標(biāo)量勢(shì)固定的一個(gè)機(jī)制. 可能當(dāng)時(shí)的物理學(xué)家愿意學(xué)習(xí)新數(shù)學(xué)
的人很少, 過了好幾年以后楊振寧才知道, 這個(gè)規(guī)范理論在數(shù)學(xué)里已經(jīng)被
研究過, 有一整套的概念和方法, 這就是纖維叢上的聯(lián)絡(luò)理論. 于是幾何
以為自己重新奪回了物理理論的解釋權(quán). 沒想到這個(gè)規(guī)范場論仍然需要被
量子場論改造以后才能用, 這樣量子場論這個(gè)魔鬼又一次給了幾何沉重一擊,
因?yàn)楦脑旌蟮牧孔右?guī)范場論成了一個(gè)更邪惡的魔鬼, 完全失去了幾何意義.
數(shù)學(xué)和物理又一次分道揚(yáng)鑣. 這一分就是二十年.

但是嚴(yán)重的分裂之后總是大統(tǒng)一, 中國歷史的規(guī)律同樣適用于數(shù)學(xué)物理.
在80年代一代大牛牛的工作以后, 數(shù)學(xué)和理論物理終于有了現(xiàn)在的全面
融合, 形成了一個(gè)數(shù)理共榮圈.
80年代, 一方面理論物理有了大發(fā)展. 超弦理論興起, 作為唯一的大統(tǒng)一
理論候選者, 帶動(dòng)了數(shù)學(xué)很多分支的進(jìn)步. 把拓?fù)? 代數(shù)幾何, 數(shù)論
的相關(guān)理論融為一爐. 這個(gè)方面我是門外漢, 基本一無所知, 希望有
同學(xué)介紹一下. 另一方面數(shù)學(xué)里的低維拓?fù)浞较蛴辛送黄? 使得扭結(jié)
這個(gè)古老的對(duì)象被推至一個(gè)中心地位.

我知道扭結(jié)這個(gè)東西, 是聽了北大的王詩窚老師關(guān)于扭結(jié)的一個(gè)報(bào)告.
當(dāng)時(shí)真的是非常地孤陋寡聞, 覺得一切對(duì)我來說新奇的理論都是新理論.
所以覺得扭結(jié)是個(gè)新方向, 嗯, 很好, 以后就搞它了. 到了美國才知道,
我老板在我出生的時(shí)候就寫了一篇關(guān)于扭結(jié)的論文, 而扭結(jié)方面的新進(jìn)展
在我小學(xué)沒畢業(yè)的時(shí)候就發(fā)生了. 想起來就覺得悲哀, 中國的教育真的很
毀人. 整個(gè)中學(xué)時(shí)代就是在浪費(fèi)時(shí)間, 6年時(shí)間, 可以接受的知識(shí)絕對(duì)比
我們實(shí)際上接受的多得多. 王老師的報(bào)告還是很精彩的, 雖然最后我不免
還是睡著了, 因?yàn)槁牪欢瓺NA這些所謂的扭結(jié)理論的應(yīng)用. 下面我就轉(zhuǎn)貼
一篇王老師的講稿.
王老師的這個(gè)講稿應(yīng)該是配合道具的, 所以看起來有些費(fèi)勁. 而且
他談的是在生物, 化學(xué)中的應(yīng)用, 這些并非是扭結(jié)的真正意義. 記得
當(dāng)時(shí)我出國, 好多親友問我學(xué)的東西有什么用, 我總是說, 可以用來
設(shè)計(jì)立體交通. 現(xiàn)在看來當(dāng)然是扯淡.

三維空間中的一個(gè)閉合的圈, 可能根本沒打結(jié), 但是仍然可以看上去很
復(fù)雜, 比如把它揉成一團(tuán). 一個(gè)自然而根本的問題是, 如果不動(dòng)手去解,
單憑觀察, 怎么能判斷它到底有沒有打結(jié)? 這個(gè)問題到現(xiàn)在還沒有解決.
這個(gè)問題在數(shù)學(xué)上就是不變量的問題. 我們想找一個(gè)量, 數(shù)量或者更廣泛
的量, 這個(gè)量在 "解結(jié)" 這個(gè)過程中是不變的. "解結(jié)" 是個(gè)怎么樣的過程
呢? 就是一種變形, 而在變形過程中保持某種"連續(xù)性", 簡單來說, 就是
不能剪斷繩圈. 圈在空間的形態(tài)在拓?fù)渖辖凶鰪膱A到三維空間的一個(gè)"嵌入"
(imbedding). 如果一個(gè)形態(tài)可以通過連續(xù)變形成為另一個(gè)形態(tài), 我們就說
這兩個(gè)"嵌入"是"同痕的"(isotopic). 這個(gè)連續(xù)變形就叫一個(gè)"同痕"(isotopy).
直觀上, 兩個(gè)同痕的嵌入當(dāng)然是同一個(gè)扭結(jié), 因?yàn)楦蚪Y(jié)有關(guān)的性質(zhì)是不會(huì)
在連續(xù)變形的過程中發(fā)生變化的.

顯然同痕是一個(gè)等價(jià)關(guān)系, 所有的嵌入在這個(gè)等價(jià)關(guān)系下可以分成等價(jià)類.
每一個(gè)等價(jià)類對(duì)應(yīng)一個(gè)扭結(jié). 有了等價(jià)類, 自然就有不變量問題. 就是說,
一個(gè)等價(jià)類里的不同元素有哪些共同的數(shù)字特征? 這些數(shù)字特征將有可能
區(qū)分不同的等價(jià)類. 所以打沒打結(jié)的問題就是: 找一個(gè)平凡扭結(jié)的完全
不變量. 平凡扭結(jié)就是本質(zhì)上沒打結(jié)的圈, 完全不變量就是說, 所有沒打結(jié)
的圈的形態(tài)都有一個(gè)相同的數(shù)字特征, 而所有打結(jié)的圈的形態(tài)的這個(gè)數(shù)字
特征將與沒打結(jié)的那些不同. 熟悉線性代數(shù)的同學(xué)可能想到這個(gè)例子:
線性變換. 一個(gè)線性變換可以有不同的矩陣表示, 這些矩陣都是相似的.
所有矩陣在相似關(guān)系下分成等價(jià)類. 每一個(gè)等價(jià)類對(duì)應(yīng)一個(gè)變換. 如果我們
想知道一個(gè)矩陣是不是代表恒等變換, 我們可以看它所有的特征值以及所有
循環(huán)子空間的維數(shù). 如果都是1, 它就代表恒等變換, 如果有一個(gè)不是1, 它
就不代表恒等變換. 所以數(shù)字集合 {特征值, 循環(huán)子空間維數(shù)} 是一個(gè)完全
不變量. 這個(gè)例子其實(shí)不太恰當(dāng), 因?yàn)楹愕茸儞Q的矩陣等價(jià)類里
只有一個(gè)元素, 就是單位矩陣, 所以不變量可以取作單位矩陣自己. 而在扭結(jié)
的情況, 平凡扭結(jié)的形態(tài)有無窮多.

至今, 扭結(jié)不變量有很多, 但完全的不變量, 一個(gè)都沒有. 也就是說, 至今
還沒有找到一個(gè)不變量可以區(qū)分平凡扭結(jié)和非平凡扭結(jié).
80年代以前的幾十年, Alexander Polynomials 一直是唯一的數(shù)值
扭結(jié)不變量. 它的構(gòu)造基于空間挖去扭結(jié)以后的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu). 到了
1984年, Jones在研究馮.諾依曼代數(shù)的時(shí)候偶然發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的扭結(jié)
不變量, 現(xiàn)在稱為Jones Polynomials. 這個(gè)不變量的最初構(gòu)造非常
精巧, 涉及很多高深的代數(shù)知識(shí). 但是經(jīng)過幾個(gè)大牛牛的研究, 這個(gè)
不變量有了很多種解釋. 看待它的方式多了, 對(duì)它就了解得更清楚了.

這個(gè)Jones Polynomial理論被證實(shí)與其他分支有著廣泛而微妙的聯(lián)系.
Jones自己走的路子是通過算子代數(shù); 后來他自己同L.Kauffman,
V.Turaev 發(fā)現(xiàn)了從統(tǒng)計(jì)力學(xué)模型出發(fā)的構(gòu)造方法. 這個(gè)方法應(yīng)該是
最初等的, 最容易被接受的. 基本想法就是把扭結(jié)在每個(gè)重疊點(diǎn)處
"解開"成為一些不相交的平凡投影(平面圓圈). 每個(gè)重疊點(diǎn)有兩種解法,
如果扭結(jié)的一個(gè)投影有三個(gè)重疊點(diǎn), 這個(gè)投影就有8種解法. 每個(gè)解法
叫做一個(gè)"態(tài)", 每個(gè)態(tài)聯(lián)系一個(gè)單項(xiàng)式, 我們把所有態(tài)的單項(xiàng)式加起來,
就得到一個(gè)多項(xiàng)式, 再用一個(gè)其他的數(shù)字(自繞數(shù))修正一下, 就得到
這個(gè)扭結(jié)的Jones Polynomial. 這種構(gòu)造方法在統(tǒng)計(jì)力學(xué)里稱為"配分函數(shù)"
或"狀態(tài)和"; 同時(shí)V.Drinfeld在研究Hopf代數(shù)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)了另一種構(gòu)造
方法, 跟Hopf代數(shù)的交換性質(zhì)有關(guān)系, 叫做"R矩陣". 這種方法成為現(xiàn)在
廣泛使用的扭結(jié)不變量構(gòu)造方法;

這些方法有個(gè)共同的不足之處: 都依賴于扭結(jié)的二維投影. 算子代數(shù)和
Hopf代數(shù)的構(gòu)造都要先用一個(gè)"辮子"來表示扭結(jié), 而統(tǒng)計(jì)力學(xué)的構(gòu)造顯然
需要一個(gè)投影. 一些數(shù)學(xué)家不太滿意這種情況, 因?yàn)樵缭谝话俣嗄昵?br>高斯就"內(nèi)在"地構(gòu)造了一個(gè)整數(shù)值的不變量, 用來研究兩個(gè)扭結(jié)是怎么"鏈接"
起來的. 這個(gè)整數(shù)實(shí)際上是其中一個(gè)扭結(jié)對(duì)另一個(gè)扭結(jié)的"環(huán)繞數(shù)". 但是
高斯用一個(gè)二重三維曲線積分算出了這個(gè)整數(shù). 他的想法可能來自于當(dāng)時(shí)
的電磁學(xué), 把兩個(gè)扭結(jié)看成空間的兩個(gè)環(huán)形電流, 然后計(jì)算它們的相互
作用. 高斯這個(gè)"內(nèi)在"的三維構(gòu)造巧奪天工, 成為后來的數(shù)學(xué)家極欲模仿
的典范. 所以在1988年一個(gè)紀(jì)念Hermann Weyl的講座上, M.Atiyah提出
了這個(gè)問題: 尋求Jones Polynomial的一個(gè)三維的內(nèi)在構(gòu)造. E.Witten
立即投入到這個(gè)問題中, 在1989年發(fā)表了至今在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域引用次數(shù)最高
的"Qantum Field Theory and the Jones Polynomial", 給了Jones的理論
一個(gè)基于量子場論的解釋. 這種用量子場論觀點(diǎn)研究拓?fù)鋵W(xué)的方式叫做
"拓?fù)淞孔訄稣?(Topological Qantum Field Theory). 幾何與物理又一次
走到了一起.

Witten的理論是一個(gè)量子規(guī)范場論. 我正式學(xué)習(xí)規(guī)范場論是在這邊
的微分幾何課上. 老師是日本人, 年紀(jì)輕輕, 在他的領(lǐng)域已經(jīng)舉足輕重.
曾經(jīng)問過他每天花多少時(shí)間來思考數(shù)學(xué), 回答是每時(shí)每刻. 總覺得
很多日本人有一股勁兒, 好像小平邦彥. 現(xiàn)在中國數(shù)學(xué)落后日本這么多,
也無話可說, 人家就是勤奮. 當(dāng)時(shí)在微分幾何課程的廣告上寫的授課
內(nèi)容是: Gauge Theory; Hodge Theory; Morse Theory. 很酷. 在我們
這樣的學(xué)校, 有這么一門課真的是很不容易.

所以把這三個(gè)理論放在一門課里講, 因?yàn)镠odge理論的對(duì)象--Laplace方程,
如果未知函數(shù)是二次形式, 就是規(guī)范群為U(1)的楊振寧-米爾斯方程. 即,
Maxwell方程組. 而Witten的論文"Supersymmetry and Morse Theory"
將微分拓?fù)渲械腗orse理論解釋為一個(gè)超對(duì)稱模型: 黎曼流形上的偶數(shù)次形式
是玻色態(tài), 奇數(shù)次形式是費(fèi)米態(tài), Q1=d+d* 和 Q2=i(d-d*) 是兩個(gè)超對(duì)稱
算子, 它們把費(fèi)米態(tài)映到玻色態(tài), 把玻色態(tài)映到費(fèi)米態(tài), 而且反交換.
系統(tǒng)的哈密頓量 H=Q1Q1+Q2Q2=dd*+d*d 就是流形上的Laplace算子(動(dòng)能).
所以尋找超對(duì)稱的真空態(tài)的問題, 即求解 Q1|0>=0, Q2|0>=0, 等價(jià)于求解
黎曼流形上的Laplace方程. 如果引進(jìn)相互作用(流形上的一個(gè)Morse函數(shù)),
那么這個(gè)超對(duì)稱的量子力學(xué)模型在經(jīng)典近似下給出Morse不等式.

在經(jīng)典的層面上, 規(guī)范理論是很"整齊"的理論. 比如經(jīng)典電磁學(xué)就是U(1)
主叢上的規(guī)范理論; 磁單極子是二維球面上一個(gè)非平凡U(1)叢的一個(gè)聯(lián)絡(luò),
楊振寧-米爾斯瞬子是四維球面上一個(gè)SO(3)主叢的一個(gè)聯(lián)絡(luò); 等等非常漂亮的
結(jié)論. 但是任何理論都要量子化, 規(guī)范理論也不例外. 與扭結(jié)相關(guān)的規(guī)范
理論采用路徑積分量子化. 路徑積分最初由Dirac想到, 在他的"量子力學(xué)原理"
中提到過, 并注明說"不關(guān)心高等動(dòng)力學(xué)的同志可以略去這一節(jié)", 可見是
很費(fèi)解的東西. 主要想法是在量子力學(xué)中重建最小作用量原理. 量子力學(xué)的
最初形式都是哈密頓模式: 矩陣力學(xué)模仿正則方程, 波動(dòng)力學(xué)模仿Hamilton-
Jacobi方程, Dirac的變換理論又是模仿正則變換. 而用變分法從最小作用量
原理導(dǎo)出Lagrange方程也是經(jīng)典力學(xué)里很漂亮的辦法, 而且將時(shí)間空間同等
看待, 最容易與相對(duì)論結(jié)合. 后來Feynmann得到了一個(gè)理想的表達(dá), 稱為
路徑積分, 實(shí)際上是構(gòu)造Schr?dinger方程的格林函數(shù)的方法. 經(jīng)過搞數(shù)學(xué)的
Kac嚴(yán)格化, 成為對(duì)一類拋物型微分方程構(gòu)造格林函數(shù)的一般方法, 是概率論
與隨機(jī)過程應(yīng)用在數(shù)學(xué)物理上的典范. 對(duì)熱傳導(dǎo)方程來說, 粒子的動(dòng)能是通過
混亂的布朗運(yùn)動(dòng)傳遞的, 傳遞的路線是不可預(yù)知的, 于是可以賦予每條可能的
路線一個(gè)概率, 格林函數(shù)(傳播子)就是這些路線效果的期望值. 但是Schr?dinger
方程是一個(gè)很奇怪的方程, 形式上是拋物型, 所以可以用同樣的辦法構(gòu)造
傳播子, 然而賦予每條路線的那個(gè)權(quán)重沒有概率的解釋, 因?yàn)樵跁r(shí)間導(dǎo)數(shù)的
前頭有個(gè)虛數(shù)單位i, 這個(gè)i使得本該是概率的那個(gè)權(quán)重變成了一個(gè)模一的復(fù)數(shù).
而傳播過程不再是超距的, 而是有限速度的. 換言之, 它實(shí)質(zhì)上描述波動(dòng).
所以這個(gè)傳播子是很難從數(shù)學(xué)上理解的東西, 無窮維空間測(cè)度論的解釋只適合
熱傳導(dǎo)的情況. 不知道有沒有同學(xué)清楚這個(gè)傳播子的數(shù)學(xué)解釋, 希望可以討論
一下. 量子力學(xué)的情況已經(jīng)這么復(fù)雜, 推廣到場論上去的路徑積分簡直就是
一個(gè)災(zāi)難.

經(jīng)典力學(xué)里粒子的基本力學(xué)變量是坐標(biāo)和與之共軛的動(dòng)量, 其他力學(xué)
變量是它們的函數(shù). 而粒子的"運(yùn)動(dòng)"是相空間的一條曲線. 所謂作用量
是所有"運(yùn)動(dòng)"的空間上的泛函. 這里我用"函數(shù)"來代表復(fù)合關(guān)系, 只跟
變量的取值有關(guān); 泛函代表映射關(guān)系, 跟變量的形式(整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程)有關(guān).
比如能量就是動(dòng)量的一個(gè)函數(shù), 每個(gè)時(shí)刻都有一個(gè)值, 這個(gè)值只與那個(gè)
時(shí)刻的坐標(biāo),動(dòng)量的值有關(guān); 而作用量是Lagrange函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分,
只對(duì)時(shí)間段有意義, 與坐標(biāo), 動(dòng)量隨時(shí)間的變換有關(guān), 與某時(shí)刻的值無關(guān),
是"運(yùn)動(dòng)"的泛函. 現(xiàn)在運(yùn)用場論的觀點(diǎn), 把"運(yùn)動(dòng)"看作一維時(shí)間上的一個(gè)
"場", 就是說, 三個(gè)坐標(biāo)和三個(gè)動(dòng)量的值在時(shí)間上的分布. 那么能量就是
場的函數(shù), 而作用量是場的泛函. 記場為 C: t--> R^6,
定義泛函x_t, p_t 為 x_t(C)=x(C(t)), p_t(C)=p(C(t)). 如果有經(jīng)典力學(xué)
變量f(x,p), 那么量子化以后, 這個(gè)力學(xué)變量在t時(shí)刻的期望將是:
E[f(x_t,p_t)], 這里的測(cè)度空間是{所有可能的場C}, 概率密度是:
pdf(C)= exp{iS(C)}, S(C)=\int L(x_t(C),p_t(C))dt 是作用量.
寫開那個(gè)期望就是\int f(x_t(C),p_t(C))exp{iS(C)}dC.

相對(duì)論的情形基本上是上面的推廣, 有一點(diǎn)點(diǎn)區(qū)別. 基本力學(xué)變量是在時(shí)空
分布的場, 作用量是場的泛函, 其他力學(xué)變量, 與單粒子的情況不同, 一般
是場的泛函而不是場的函數(shù), 這是因?yàn)樵谝粋€(gè)時(shí)空點(diǎn)的場的值不能提供關(guān)于
能量等我們關(guān)心的力學(xué)變量的信息, 而是要計(jì)及整個(gè)場的分布. 如果用A:
R^4 --> V 來表示時(shí)空中取值在V中的場, 那么量子化后一個(gè)力學(xué)變量f(A)
的期望是 \int f(A)exp{iS(A)}dA, 積分的空間是{所有可能的場A}.

回到扭結(jié)問題. 現(xiàn)在來看三維流形上的規(guī)范場, 就是三維流形上某個(gè)主叢的
聯(lián)絡(luò). {叢上所有聯(lián)絡(luò)} 就是我們量子化的時(shí)候要在上面積分的空間. (這個(gè)
空間上到底有沒有一個(gè)測(cè)度使得積分有意義還是一個(gè)根本的未解決問題, 所以
在這里我們已經(jīng)失去了數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格) 我們需要某個(gè)力學(xué)變量的期望值, 這個(gè)
力學(xué)變量就是扭結(jié)與聯(lián)絡(luò)的一個(gè)"配對(duì)", 計(jì)為<K,A>, 從數(shù)學(xué)上來說就是聯(lián)絡(luò)A
沿扭結(jié)K的"和樂"(holonomy)的跡(trace), 取數(shù)量值. 所以這個(gè)由固定的扭結(jié)
決定的力學(xué)變量是{叢上所有聯(lián)絡(luò)}這個(gè)空間上的泛函. 這個(gè)泛函(力學(xué)變量)
的期望值就是扭結(jié)K的一個(gè)拓?fù)洳蛔兞? Z(K)=\int <K,A> exp{i*CS(A)}dA.
這里的作用量是一個(gè)特殊的作用量: Chern-Simons invariant (Chern-Simons
number) CS(A). 這是一個(gè)共形不變量, 也是一個(gè)局部規(guī)范不變量, 這個(gè)不變量
也是90年代低維幾何拓?fù)涞闹行淖h題之一.

這個(gè)不變量的定義完全是形式的, 其中含有很可能沒有意義的路徑積分. 從
這個(gè)形式的定義中解讀不變量的信息有兩個(gè)辦法: 一個(gè)是Witten的辦法, 觀察
和玩弄這個(gè)形式的表達(dá)式, 把流形分割成幾個(gè)與黎曼曲面同倫的部分,
再結(jié)合一些正則量子化方法和moduli space的理論, 證明這個(gè)不變量的一些
性質(zhì). 這篇論文是拓?fù)淞孔訄稣摰慕?jīng)典之作, 體現(xiàn)了Witten這個(gè)牛牛深不見底
的學(xué)識(shí)和海闊天空的想象力. 估計(jì)夠我學(xué)十好幾年的. 另一路也是幾個(gè)牛牛在
搞, 順便說一句, 這些牛牛多半都是猶太的. Dror Bar-Natan的博士論文就是關(guān)于
這個(gè)不變量的, 名叫"Perturbative Aspects of the Chern-Simons Topological
Quantum Field Theory", 用微擾展開, Feynmann圖等技巧避開了形式定義不
嚴(yán)格的問題, 證明了很多結(jié)果, 并通過Feynmann圖與另一族重要的扭結(jié)不變量----
Vassiliev不變量聯(lián)系了起來. 這一聯(lián)系可不得了, 幾個(gè)牛牛過來一插手, 把
這個(gè)理論整得有如天書一般, 完全看不懂了. 其中包括Kontsevich, W.Thurston
的兒子D.Thurston, 還有什么Rozansky, 以及Witten自己. 這些人里,
Witten和Kontsevich是泰山北斗, 個(gè)人認(rèn)為比牛頓牛多了; Dror Bar-Natan
的一篇關(guān)于Vassiliev不變量的論文引用次數(shù)排名居高不下, 可與Witten的那個(gè)
相媲美, 博士論文又那么牛逼; D.Thurston本科的論文我就看不懂, 博士論文
更是具有獨(dú)創(chuàng)性, 概念符號(hào)都是自己發(fā)明的, 開創(chuàng)了一個(gè)新的課題. 雖然我還
沒來得及參詳, 我一個(gè)同學(xué)已經(jīng)跟我吹了好多次了, 搞得我現(xiàn)在也對(duì)這個(gè)
Thurston崇拜得不得了. 他現(xiàn)在也是Fields獎(jiǎng)熱門人選.