看到自然科學版有一個關于電磁場的討論, 激發了我寫點東西的沖動.
一直以來, 對物理的興趣都不比數學少. 所以偷偷摸摸看了一些物理的
東西. 多半都是半懂不懂了, 但也有一點小體會.

歷史上數學和物理有幾次神秘的相互作用, 第一次是牛頓力學體系的建立,
物理學的需要直接導致微積分這個強大的數學工具的誕生; 第二次是
愛因斯坦的廣義相對論, 讓黎曼幾何這個當時非主流的數學理論成為
理論物理學家的必備知識; 第三次是馮.諾依曼為量子力學建立數學基礎
的嘗試, 極大地推動了泛函分析的誕生和發展; 第四次就到了前幾天熱烈
討論的楊振寧, 他的規范場論就是數學上正在發展的纖維叢理論.

從這幾次聯系看來, 物理和數學就象陳省身在他的微分幾何講義后記中
所畫的那個圖一樣, 是兩條時分時合的曲線. 在廣義相對論之后, 包括
愛因斯坦在內的很多物理學家都嘗試用數學來解釋一切, 但是他們不僅
失敗了, 還遭到了新興的量子力學的冷落. 量子力學使用了一些簡單的
數學工具, 但是犧牲了嚴格的數學推理. 這時候馮.諾依曼出來了, 他
成功地用無窮維空間的算子理論闡述了量子力學, 并極大地發展了泛函
分析這一數學分支. 然而量子力學受到自身的推動以及來自相對論的改造
迅速地進化到量子場論這個至今無法從數學上理解的詭異理論. 數學再一次
失去了在物理中的重要地位. 物理學家們按照他們自己的邏輯將量子場論
發展得離數學很遠很遠, 他們普遍認為數學的能力已經到達極限. 廣義
相對論這個美妙的幾何理論被稱為經典理論. 經典這個詞, 往往意味著
過時. 幾何已經被物理學家拋棄. 這時, 楊振寧-米爾斯找到了一個理論,
可以用來解釋強相互作用. 這個理論被叫做規范理論. 這個名字可能來源
于電磁場的各種規范(庫侖規范, 洛倫茲規范,...), 本意應該是讓電磁場
的矢量勢和標量勢固定的一個機制. 可能當時的物理學家愿意學習新數學
的人很少, 過了好幾年以后楊振寧才知道, 這個規范理論在數學里已經被
研究過, 有一整套的概念和方法, 這就是纖維叢上的聯絡理論. 于是幾何
以為自己重新奪回了物理理論的解釋權. 沒想到這個規范場論仍然需要被
量子場論改造以后才能用, 這樣量子場論這個魔鬼又一次給了幾何沉重一擊,
因為改造后的量子規范場論成了一個更邪惡的魔鬼, 完全失去了幾何意義.
數學和物理又一次分道揚鑣. 這一分就是二十年.

但是嚴重的分裂之后總是大統一, 中國歷史的規律同樣適用于數學物理.
在80年代一代大牛牛的工作以后, 數學和理論物理終于有了現在的全面
融合, 形成了一個數理共榮圈.
80年代, 一方面理論物理有了大發展. 超弦理論興起, 作為唯一的大統一
理論候選者, 帶動了數學很多分支的進步. 把拓撲, 代數幾何, 數論
的相關理論融為一爐. 這個方面我是門外漢, 基本一無所知, 希望有
同學介紹一下. 另一方面數學里的低維拓撲方向有了突破, 使得扭結
這個古老的對象被推至一個中心地位.

我知道扭結這個東西, 是聽了北大的王詩窚老師關于扭結的一個報告.
當時真的是非常地孤陋寡聞, 覺得一切對我來說新奇的理論都是新理論.
所以覺得扭結是個新方向, 嗯, 很好, 以后就搞它了. 到了美國才知道,
我老板在我出生的時候就寫了一篇關于扭結的論文, 而扭結方面的新進展
在我小學沒畢業的時候就發生了. 想起來就覺得悲哀, 中國的教育真的很
毀人. 整個中學時代就是在浪費時間, 6年時間, 可以接受的知識絕對比
我們實際上接受的多得多. 王老師的報告還是很精彩的, 雖然最后我不免
還是睡著了, 因為聽不懂DNA這些所謂的扭結理論的應用. 下面我就轉貼
一篇王老師的講稿.
王老師的這個講稿應該是配合道具的, 所以看起來有些費勁. 而且
他談的是在生物, 化學中的應用, 這些并非是扭結的真正意義. 記得
當時我出國, 好多親友問我學的東西有什么用, 我總是說, 可以用來
設計立體交通. 現在看來當然是扯淡.

三維空間中的一個閉合的圈, 可能根本沒打結, 但是仍然可以看上去很
復雜, 比如把它揉成一團. 一個自然而根本的問題是, 如果不動手去解,
單憑觀察, 怎么能判斷它到底有沒有打結? 這個問題到現在還沒有解決.
這個問題在數學上就是不變量的問題. 我們想找一個量, 數量或者更廣泛
的量, 這個量在 "解結" 這個過程中是不變的. "解結" 是個怎么樣的過程
呢? 就是一種變形, 而在變形過程中保持某種"連續性", 簡單來說, 就是
不能剪斷繩圈. 圈在空間的形態在拓撲上叫做從圓到三維空間的一個"嵌入"
(imbedding). 如果一個形態可以通過連續變形成為另一個形態, 我們就說
這兩個"嵌入"是"同痕的"(isotopic). 這個連續變形就叫一個"同痕"(isotopy).
直觀上, 兩個同痕的嵌入當然是同一個扭結, 因為跟打結有關的性質是不會
在連續變形的過程中發生變化的.

顯然同痕是一個等價關系, 所有的嵌入在這個等價關系下可以分成等價類.
每一個等價類對應一個扭結. 有了等價類, 自然就有不變量問題. 就是說,
一個等價類里的不同元素有哪些共同的數字特征? 這些數字特征將有可能
區分不同的等價類. 所以打沒打結的問題就是: 找一個平凡扭結的完全
不變量. 平凡扭結就是本質上沒打結的圈, 完全不變量就是說, 所有沒打結
的圈的形態都有一個相同的數字特征, 而所有打結的圈的形態的這個數字
特征將與沒打結的那些不同. 熟悉線性代數的同學可能想到這個例子:
線性變換. 一個線性變換可以有不同的矩陣表示, 這些矩陣都是相似的.
所有矩陣在相似關系下分成等價類. 每一個等價類對應一個變換. 如果我們
想知道一個矩陣是不是代表恒等變換, 我們可以看它所有的特征值以及所有
循環子空間的維數. 如果都是1, 它就代表恒等變換, 如果有一個不是1, 它
就不代表恒等變換. 所以數字集合 {特征值, 循環子空間維數} 是一個完全
不變量. 這個例子其實不太恰當, 因為恒等變換的矩陣等價類里
只有一個元素, 就是單位矩陣, 所以不變量可以取作單位矩陣自己. 而在扭結
的情況, 平凡扭結的形態有無窮多.

至今, 扭結不變量有很多, 但完全的不變量, 一個都沒有. 也就是說, 至今
還沒有找到一個不變量可以區分平凡扭結和非平凡扭結.
80年代以前的幾十年, Alexander Polynomials 一直是唯一的數值
扭結不變量. 它的構造基于空間挖去扭結以后的拓撲結構. 到了
1984年, Jones在研究馮.諾依曼代數的時候偶然發現了一個新的扭結
不變量, 現在稱為Jones Polynomials. 這個不變量的最初構造非常
精巧, 涉及很多高深的代數知識. 但是經過幾個大牛牛的研究, 這個
不變量有了很多種解釋. 看待它的方式多了, 對它就了解得更清楚了.

這個Jones Polynomial理論被證實與其他分支有著廣泛而微妙的聯系.
Jones自己走的路子是通過算子代數; 后來他自己同L.Kauffman,
V.Turaev 發現了從統計力學模型出發的構造方法. 這個方法應該是
最初等的, 最容易被接受的. 基本想法就是把扭結在每個重疊點處
"解開"成為一些不相交的平凡投影(平面圓圈). 每個重疊點有兩種解法,
如果扭結的一個投影有三個重疊點, 這個投影就有8種解法. 每個解法
叫做一個"態", 每個態聯系一個單項式, 我們把所有態的單項式加起來,
就得到一個多項式, 再用一個其他的數字(自繞數)修正一下, 就得到
這個扭結的Jones Polynomial. 這種構造方法在統計力學里稱為"配分函數"
或"狀態和"; 同時V.Drinfeld在研究Hopf代數的時候發現了另一種構造
方法, 跟Hopf代數的交換性質有關系, 叫做"R矩陣". 這種方法成為現在
廣泛使用的扭結不變量構造方法;

這些方法有個共同的不足之處: 都依賴于扭結的二維投影. 算子代數和
Hopf代數的構造都要先用一個"辮子"來表示扭結, 而統計力學的構造顯然
需要一個投影. 一些數學家不太滿意這種情況, 因為早在一百多年前
高斯就"內在"地構造了一個整數值的不變量, 用來研究兩個扭結是怎么"鏈接"
起來的. 這個整數實際上是其中一個扭結對另一個扭結的"環繞數". 但是
高斯用一個二重三維曲線積分算出了這個整數. 他的想法可能來自于當時
的電磁學, 把兩個扭結看成空間的兩個環形電流, 然后計算它們的相互
作用. 高斯這個"內在"的三維構造巧奪天工, 成為后來的數學家極欲模仿
的典范. 所以在1988年一個紀念Hermann Weyl的講座上, M.Atiyah提出
了這個問題: 尋求Jones Polynomial的一個三維的內在構造. E.Witten
立即投入到這個問題中, 在1989年發表了至今在拓撲學領域引用次數最高
的"Qantum Field Theory and the Jones Polynomial", 給了Jones的理論
一個基于量子場論的解釋. 這種用量子場論觀點研究拓撲學的方式叫做
"拓撲量子場論"(Topological Qantum Field Theory). 幾何與物理又一次
走到了一起.

Witten的理論是一個量子規范場論. 我正式學習規范場論是在這邊
的微分幾何課上. 老師是日本人, 年紀輕輕, 在他的領域已經舉足輕重.
曾經問過他每天花多少時間來思考數學, 回答是每時每刻. 總覺得
很多日本人有一股勁兒, 好像小平邦彥. 現在中國數學落后日本這么多,
也無話可說, 人家就是勤奮. 當時在微分幾何課程的廣告上寫的授課
內容是: Gauge Theory; Hodge Theory; Morse Theory. 很酷. 在我們
這樣的學校, 有這么一門課真的是很不容易.

所以把這三個理論放在一門課里講, 因為Hodge理論的對象--Laplace方程,
如果未知函數是二次形式, 就是規范群為U(1)的楊振寧-米爾斯方程. 即,
Maxwell方程組. 而Witten的論文"Supersymmetry and Morse Theory"
將微分拓撲中的Morse理論解釋為一個超對稱模型: 黎曼流形上的偶數次形式
是玻色態, 奇數次形式是費米態, Q1=d+d* 和 Q2=i(d-d*) 是兩個超對稱
算子, 它們把費米態映到玻色態, 把玻色態映到費米態, 而且反交換.
系統的哈密頓量 H=Q1Q1+Q2Q2=dd*+d*d 就是流形上的Laplace算子(動能).
所以尋找超對稱的真空態的問題, 即求解 Q1|0>=0, Q2|0>=0, 等價于求解
黎曼流形上的Laplace方程. 如果引進相互作用(流形上的一個Morse函數),
那么這個超對稱的量子力學模型在經典近似下給出Morse不等式.

在經典的層面上, 規范理論是很"整齊"的理論. 比如經典電磁學就是U(1)
主叢上的規范理論; 磁單極子是二維球面上一個非平凡U(1)叢的一個聯絡,
楊振寧-米爾斯瞬子是四維球面上一個SO(3)主叢的一個聯絡; 等等非常漂亮的
結論. 但是任何理論都要量子化, 規范理論也不例外. 與扭結相關的規范
理論采用路徑積分量子化. 路徑積分最初由Dirac想到, 在他的"量子力學原理"
中提到過, 并注明說"不關心高等動力學的同志可以略去這一節", 可見是
很費解的東西. 主要想法是在量子力學中重建最小作用量原理. 量子力學的
最初形式都是哈密頓模式: 矩陣力學模仿正則方程, 波動力學模仿Hamilton-
Jacobi方程, Dirac的變換理論又是模仿正則變換. 而用變分法從最小作用量
原理導出Lagrange方程也是經典力學里很漂亮的辦法, 而且將時間空間同等
看待, 最容易與相對論結合. 后來Feynmann得到了一個理想的表達, 稱為
路徑積分, 實際上是構造Schr?dinger方程的格林函數的方法. 經過搞數學的
Kac嚴格化, 成為對一類拋物型微分方程構造格林函數的一般方法, 是概率論
與隨機過程應用在數學物理上的典范. 對熱傳導方程來說, 粒子的動能是通過
混亂的布朗運動傳遞的, 傳遞的路線是不可預知的, 于是可以賦予每條可能的
路線一個概率, 格林函數(傳播子)就是這些路線效果的期望值. 但是Schr?dinger
方程是一個很奇怪的方程, 形式上是拋物型, 所以可以用同樣的辦法構造
傳播子, 然而賦予每條路線的那個權重沒有概率的解釋, 因為在時間導數的
前頭有個虛數單位i, 這個i使得本該是概率的那個權重變成了一個模一的復數.
而傳播過程不再是超距的, 而是有限速度的. 換言之, 它實質上描述波動.
所以這個傳播子是很難從數學上理解的東西, 無窮維空間測度論的解釋只適合
熱傳導的情況. 不知道有沒有同學清楚這個傳播子的數學解釋, 希望可以討論
一下. 量子力學的情況已經這么復雜, 推廣到場論上去的路徑積分簡直就是
一個災難.

經典力學里粒子的基本力學變量是坐標和與之共軛的動量, 其他力學
變量是它們的函數. 而粒子的"運動"是相空間的一條曲線. 所謂作用量
是所有"運動"的空間上的泛函. 這里我用"函數"來代表復合關系, 只跟
變量的取值有關; 泛函代表映射關系, 跟變量的形式(整個運動過程)有關.
比如能量就是動量的一個函數, 每個時刻都有一個值, 這個值只與那個
時刻的坐標,動量的值有關; 而作用量是Lagrange函數對時間的積分,
只對時間段有意義, 與坐標, 動量隨時間的變換有關, 與某時刻的值無關,
是"運動"的泛函. 現在運用場論的觀點, 把"運動"看作一維時間上的一個
"場", 就是說, 三個坐標和三個動量的值在時間上的分布. 那么能量就是
場的函數, 而作用量是場的泛函. 記場為 C: t--> R^6,
定義泛函x_t, p_t 為 x_t(C)=x(C(t)), p_t(C)=p(C(t)). 如果有經典力學
變量f(x,p), 那么量子化以后, 這個力學變量在t時刻的期望將是:
E[f(x_t,p_t)], 這里的測度空間是{所有可能的場C}, 概率密度是:
pdf(C)= exp{iS(C)}, S(C)=\int L(x_t(C),p_t(C))dt 是作用量.
寫開那個期望就是\int f(x_t(C),p_t(C))exp{iS(C)}dC.

相對論的情形基本上是上面的推廣, 有一點點區別. 基本力學變量是在時空
分布的場, 作用量是場的泛函, 其他力學變量, 與單粒子的情況不同, 一般
是場的泛函而不是場的函數, 這是因為在一個時空點的場的值不能提供關于
能量等我們關心的力學變量的信息, 而是要計及整個場的分布. 如果用A:
R^4 --> V 來表示時空中取值在V中的場, 那么量子化后一個力學變量f(A)
的期望是 \int f(A)exp{iS(A)}dA, 積分的空間是{所有可能的場A}.

回到扭結問題. 現在來看三維流形上的規范場, 就是三維流形上某個主叢的
聯絡. {叢上所有聯絡} 就是我們量子化的時候要在上面積分的空間. (這個
空間上到底有沒有一個測度使得積分有意義還是一個根本的未解決問題, 所以
在這里我們已經失去了數學上的嚴格) 我們需要某個力學變量的期望值, 這個
力學變量就是扭結與聯絡的一個"配對", 計為<K,A>, 從數學上來說就是聯絡A
沿扭結K的"和樂"(holonomy)的跡(trace), 取數量值. 所以這個由固定的扭結
決定的力學變量是{叢上所有聯絡}這個空間上的泛函. 這個泛函(力學變量)
的期望值就是扭結K的一個拓撲不變量: Z(K)=\int <K,A> exp{i*CS(A)}dA.
這里的作用量是一個特殊的作用量: Chern-Simons invariant (Chern-Simons
number) CS(A). 這是一個共形不變量, 也是一個局部規范不變量, 這個不變量
也是90年代低維幾何拓撲的中心議題之一.

這個不變量的定義完全是形式的, 其中含有很可能沒有意義的路徑積分. 從
這個形式的定義中解讀不變量的信息有兩個辦法: 一個是Witten的辦法, 觀察
和玩弄這個形式的表達式, 把流形分割成幾個與黎曼曲面同倫的部分,
再結合一些正則量子化方法和moduli space的理論, 證明這個不變量的一些
性質. 這篇論文是拓撲量子場論的經典之作, 體現了Witten這個牛牛深不見底
的學識和海闊天空的想象力. 估計夠我學十好幾年的. 另一路也是幾個牛牛在
搞, 順便說一句, 這些牛牛多半都是猶太的. Dror Bar-Natan的博士論文就是關于
這個不變量的, 名叫"Perturbative Aspects of the Chern-Simons Topological
Quantum Field Theory", 用微擾展開, Feynmann圖等技巧避開了形式定義不
嚴格的問題, 證明了很多結果, 并通過Feynmann圖與另一族重要的扭結不變量----
Vassiliev不變量聯系了起來. 這一聯系可不得了, 幾個牛牛過來一插手, 把
這個理論整得有如天書一般, 完全看不懂了. 其中包括Kontsevich, W.Thurston
的兒子D.Thurston, 還有什么Rozansky, 以及Witten自己. 這些人里,
Witten和Kontsevich是泰山北斗, 個人認為比牛頓牛多了; Dror Bar-Natan
的一篇關于Vassiliev不變量的論文引用次數排名居高不下, 可與Witten的那個
相媲美, 博士論文又那么牛逼; D.Thurston本科的論文我就看不懂, 博士論文
更是具有獨創性, 概念符號都是自己發明的, 開創了一個新的課題. 雖然我還
沒來得及參詳, 我一個同學已經跟我吹了好多次了, 搞得我現在也對這個
Thurston崇拜得不得了. 他現在也是Fields獎熱門人選.