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數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的應(yīng)用
Greg?Turk,?August?1997
?“學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)需要多少的數(shù)學(xué)？”這是初學(xué)者最經(jīng)常問(wèn)的問(wèn)題。答案取決于你想在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域鉆研多深。如果僅僅使用周?chē)偈挚傻玫膱D形軟件，你不需要知道多少數(shù)學(xué)知識(shí)。如果想學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的入門(mén)知識(shí)，我建議你讀一讀下面所寫(xiě)的前兩章（代數(shù)，三角學(xué)和線性代數(shù)）。如果想成為一名圖形學(xué)的研究者，那么對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)將是活到老，學(xué)到老。
如果你并不特別喜歡數(shù)學(xué)，是否仍有在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域工作的機(jī)會(huì)？是的，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的確有一些方面不需要考慮太多的數(shù)學(xué)問(wèn)題。你不應(yīng)該因?yàn)閿?shù)學(xué)成績(jī)不好而放棄它。不過(guò)，如果學(xué)習(xí)了更多的數(shù)學(xué)知識(shí)，似乎你將在研究課題上有更多的選擇余地。
對(duì)于在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中哪些數(shù)學(xué)才是重要的還沒(méi)有明確的答案。這領(lǐng)域里不同的方面要求掌握不同的數(shù)學(xué)知識(shí)，也許興趣將會(huì)決定了你的方向。以下介紹我認(rèn)為對(duì)于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)有用的數(shù)學(xué)。別以為想成為一名圖形學(xué)的研究者就必須精通各門(mén)數(shù)學(xué)！為了對(duì)用于圖形學(xué)的數(shù)學(xué)有一個(gè)全面的看法，我特地列出了很多方面。但是許多研究者從不需要考慮下面提到的數(shù)學(xué)。
最后，雖然讀了這篇文章后，你應(yīng)該會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的應(yīng)用有所了解，不過(guò)這些觀點(diǎn)完全是我自己的。也許你應(yīng)該閱讀更多的此類(lèi)文章，或者至少?gòu)钠渌麖氖掠?jì)算機(jī)圖形學(xué)工作的人那里了解不同的學(xué)習(xí)重點(diǎn)。現(xiàn)在開(kāi)始切入正題。
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代數(shù)和三角學(xué)
對(duì)于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的初學(xué)者來(lái)說(shuō)，高中的代數(shù)和三角學(xué)可能是最重要的數(shù)學(xué)。日復(fù)一日，我從簡(jiǎn)單的方程解出一個(gè)或更多的根。我時(shí)常還要解決類(lèi)似求一些幾何圖形邊長(zhǎng)的簡(jiǎn)單三角學(xué)問(wèn)題。代數(shù)和三角學(xué)是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的最基礎(chǔ)的知識(shí)。
那么高中的幾何學(xué)怎么樣呢？可能讓人驚訝，不過(guò)在多數(shù)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里，高中的幾何學(xué)并不經(jīng)常被用到。原因是許多學(xué)校教的幾何學(xué)實(shí)際上是如何建立數(shù)學(xué)證明的課程。雖然證明題對(duì)提高智力顯然是有效的，但對(duì)于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)來(lái)說(shuō)，那些與幾何課有關(guān)的定理和證明并不常被用到。如果你畢業(yè)于數(shù)學(xué)相關(guān)領(lǐng)域（包括計(jì)算機(jī)圖形學(xué)），就會(huì)發(fā)現(xiàn)雖然你在證明定理，不過(guò)這對(duì)開(kāi)始學(xué)習(xí)圖形學(xué)不是必要的。
如果精通代數(shù)和三角學(xué)，就可以開(kāi)始讀一本計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的入門(mén)書(shū)了。下一個(gè)重要的用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的數(shù)學(xué)——線性代數(shù)，多數(shù)此類(lèi)書(shū)籍至少包含了一個(gè)對(duì)線性代數(shù)的簡(jiǎn)要介紹。
推薦的參考書(shū):?
Computer?Graphics:?Principles?and?Practice?
James?Foley,?Andries?van?Dam,?Steven?Feiner,?John?Hughes?
Addison-Wesley?
[雖然厚重，可是我很喜歡]
線性代數(shù)
線性代數(shù)的思想貫穿于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。事實(shí)上，只要牽涉到幾何數(shù)值表示法,就常常抽象出例如x,y,z坐標(biāo)之類(lèi)的數(shù)值，我們稱之為矢量。圖形學(xué)自始至終離不開(kāi)矢量和矩陣。用矢量和矩陣來(lái)描述旋轉(zhuǎn)，平移，或者縮放是再好不過(guò)了。高中和大學(xué)都有線性代數(shù)的課程。只要想在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)領(lǐng)域工作，就應(yīng)該打下堅(jiān)實(shí)的線性代數(shù)基礎(chǔ)。我剛才提到，許多圖形學(xué)的書(shū)都有關(guān)于線性代數(shù)的簡(jiǎn)要介紹——足夠教給你圖形學(xué)的第一門(mén)課。
推薦的參考書(shū):?
Linear?Algebra?and?Its?Applications?
Gilbert?Strang?
Academic?Press
微積分學(xué)?
微積分學(xué)是高級(jí)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要成分。如果打算研究圖形學(xué)，我強(qiáng)烈建議你應(yīng)該對(duì)微積分學(xué)有初步認(rèn)識(shí)。理由不僅僅是微積分學(xué)是一種很有用的工具，還有許多研究者用微積分學(xué)的術(shù)語(yǔ)來(lái)描述他們的問(wèn)題和解決辦法。另外，在許多重要的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，微積分學(xué)被作為進(jìn)一步學(xué)習(xí)的前提。學(xué)習(xí)了基本代數(shù)之后，微積分學(xué)又是一種能為你打開(kāi)多數(shù)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)與后繼的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之門(mén)的課程。
微積分學(xué)是我介紹的最后一個(gè)中學(xué)課程，以下提及的科目幾乎全部是大學(xué)的課程。
微分幾何學(xué)
微分幾何學(xué)研究支配光滑曲線，曲面的方程組。如果你要計(jì)算出經(jīng)過(guò)某個(gè)遠(yuǎn)離曲面的點(diǎn)并垂直于曲面的矢量（法向矢量）就會(huì)用到微分幾何學(xué)。讓一輛汽車(chē)以特定速度在曲線上行駛也牽涉到微分幾何學(xué)。有一種通用的繪制光滑曲面的圖形學(xué)技術(shù)，叫做“凹凸帖圖”，這個(gè)技術(shù)用到了微分幾何學(xué)。如果要著手于用曲線和曲面來(lái)創(chuàng)造形體（在圖形學(xué)里稱之為建模）你至少應(yīng)該學(xué)習(xí)微分幾何學(xué)的基礎(chǔ)。
推薦的參考書(shū):?
Elementary?Differential?Geometry?
Barrett?O'Neill?
Academic?Press?
數(shù)值方法
幾乎任何時(shí)候，我們?cè)谟?jì)算機(jī)里用近似值代替精確值來(lái)表示和操作數(shù)值，所以計(jì)算過(guò)程總是會(huì)有誤差。而且對(duì)于給定的數(shù)值問(wèn)題，常常有多種解決的方法，一些方法會(huì)更塊，更精確或者對(duì)內(nèi)存的需求更少。數(shù)值方法研究的對(duì)象包括“計(jì)算方法”和“科學(xué)計(jì)算”等等。這是一個(gè)很廣闊的領(lǐng)域，而且我將提及的其他幾門(mén)數(shù)學(xué)其實(shí)是數(shù)值方法的一些分支。這些分支包括抽樣法理論，矩陣方程組，數(shù)值微分方程組和最優(yōu)化。
推薦的參考書(shū):?
Numerical?Recipes?in?C:?The?Art?of?Scientific?Computing?
William?Press,?Saul?Teukolsky,?William?Vetterling?and?Brian?Flannery?
Cambridge?University?Press?
[這本參考書(shū)很有價(jià)值可是很少作為教材使用]
抽樣法理論和信號(hào)處理
在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里我們反復(fù)使用儲(chǔ)存在正規(guī)二維數(shù)組里的數(shù)字集合來(lái)表示一些對(duì)象，例如圖片和曲面。這時(shí)，我們就要用抽樣法來(lái)表示這些對(duì)象。如果要控制這些對(duì)象的品質(zhì)，抽樣法理論就變得尤為重要。抽樣法應(yīng)用于圖形學(xué)的常見(jiàn)例子是當(dāng)物體被繪制在屏幕上時(shí)，它的輪廓呈現(xiàn)鋸齒狀的邊緣。這鋸齒狀的邊緣（被認(rèn)為是“混淆”現(xiàn)象）是非常讓人分散注意力的，用抽樣法中著名的技術(shù)例如回旋，傅立葉變換，空間和頻率的函數(shù)表示就能把這個(gè)現(xiàn)象減少到最小。這些思想在圖像和音頻處理領(lǐng)域是同樣重要的。
推薦的參考書(shū):?
The?Fourier?Transform?and?Its?Applications?
Ronald?N.?Bracewell?
McGraw?Hill
矩陣方程組
計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的許多問(wèn)題要用到矩陣方程組的數(shù)值解法。一些涉及矩陣的問(wèn)題包括：找出最好的位置與方向以使對(duì)象們互相匹配（最小二乘法），創(chuàng)建一個(gè)覆蓋所給點(diǎn)集的曲面，并使皺折程度最小（薄板樣條算法），還有材質(zhì)模擬，例如水和衣服等。在圖形學(xué)里矩陣表述相當(dāng)流行，因此在用于圖形學(xué)的數(shù)學(xué)中我對(duì)矩陣方程組的評(píng)價(jià)是很高的。
推薦的參考書(shū):?
Matrix?Computations?
Gene?Golub?and?Charles?Van?Loan?
Johns?Hopkins?University?Press
物理學(xué)
物理學(xué)顯然不是數(shù)學(xué)的分支，它是自成一家的學(xué)科。但是在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的某些領(lǐng)域，物理學(xué)和數(shù)學(xué)是緊密聯(lián)系的。在圖形學(xué)里，牽涉物理學(xué)的問(wèn)題包括光與物體的表面是怎樣互相影響的，人與動(dòng)物的移動(dòng)方式，水與空氣的流動(dòng)。為了模擬這些自然現(xiàn)象，物理學(xué)的知識(shí)是必不可少的。這和解微分方程緊密聯(lián)系，我將會(huì)在下一節(jié)提到微分方程。
微分方程的數(shù)值解法
我相信對(duì)于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)來(lái)說(shuō)，解微分方程的技巧是非常重要的。像我們剛才討論的，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)致力于模擬源于真實(shí)世界的物理系統(tǒng)。波浪是怎樣在水里形成的，動(dòng)物是怎樣在地面上行走的，這就是兩個(gè)模擬物理系統(tǒng)的例子。模擬物理系統(tǒng)的問(wèn)題經(jīng)常就是怎樣解微分方程的數(shù)值解。請(qǐng)注意，微分方程的數(shù)值解法與微分方程的符號(hào)解法是有很大差異的。符號(hào)解法求出沒(méi)有誤差的解，而且時(shí)常只用于一些非常簡(jiǎn)單的方程。有時(shí)大學(xué)課程里的“微分方程”只教符號(hào)解法，不過(guò)這并不會(huì)對(duì)多數(shù)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的問(wèn)題有幫助。
在對(duì)物理系統(tǒng)的模擬中，我們把世界細(xì)分為許多表示成矢量的小元素。然后這些元素之間的關(guān)系就可以用矩陣來(lái)描述。雖然要處理的矩陣方程組往往沒(méi)有很精確的解，但是取而代之的是執(zhí)行了一系列的計(jì)算，這些計(jì)算產(chǎn)生一個(gè)表示成數(shù)列的近似解。這就是微分方程的數(shù)值解法。請(qǐng)注意，矩陣方程的解法與微分方程數(shù)值解法的關(guān)系是很密切的。?
最優(yōu)化
在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里，我們常常為了期望的目標(biāo)尋求一種合適的描述對(duì)象或者對(duì)象集的方法。例如安排燈的位置使得房間的照明看起來(lái)有種特殊的“感覺(jué)”，動(dòng)畫(huà)里的人物要怎樣活動(dòng)四肢才能實(shí)現(xiàn)一個(gè)特殊的動(dòng)作，怎樣排版才不會(huì)使頁(yè)面混亂。以上這些例子可以歸結(jié)為最優(yōu)化問(wèn)題。十年前的計(jì)算機(jī)圖形學(xué)幾乎沒(méi)有最優(yōu)化技術(shù)的文獻(xiàn)，不過(guò)最近這個(gè)領(lǐng)域越來(lái)越重視最優(yōu)化理論。我認(rèn)為在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里，最優(yōu)化的重要性將會(huì)日益增加。
概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)
計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的許多領(lǐng)域都要用到概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)。當(dāng)研究者涉足人類(lèi)學(xué)科時(shí)，他們當(dāng)然需要統(tǒng)計(jì)學(xué)來(lái)分析數(shù)據(jù)。圖形學(xué)相關(guān)領(lǐng)域涉及人類(lèi)學(xué)科，例如虛擬現(xiàn)實(shí)和人機(jī)交互(HCI)。另外，許多用計(jì)算機(jī)描繪真實(shí)世界的問(wèn)題牽涉到各種未知事件的概率。兩個(gè)例子：一棵成長(zhǎng)期的樹(shù),它的樹(shù)枝分杈的概率；虛擬的動(dòng)物如何決定它的行走路線。最后，一些解高難度方程組的技巧用了隨機(jī)數(shù)來(lái)估計(jì)方程組的解。重要的例子：蒙特卡羅方法經(jīng)常用于光如何傳播的問(wèn)題。以上僅是一部分在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里使用概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法。
計(jì)算幾何學(xué)
計(jì)算幾何學(xué)研究如何用計(jì)算機(jī)高效地表示與操作幾何體。典型問(wèn)題如，碰撞檢測(cè)，把多邊形分解為三角形，找出最靠近某個(gè)位置的點(diǎn)，這個(gè)學(xué)科包括了運(yùn)算法則，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)。圖形學(xué)的研究者，只要涉足創(chuàng)建形體（建模），就要大量用到計(jì)算幾何學(xué)。
推薦的參考書(shū):?
Computational?Geometry?in?C?
Joseph?O'Rourke?
Cambridge?University?Press?
[大學(xué)教材]?
Computational?Geometry:?An?Introduction?
Franco?Preparata?and?Michael?Shamos?
Springer-Verlag?
[很經(jīng)典，不過(guò)有點(diǎn)舊了]
總結(jié)：數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)理論
對(duì)于圖形學(xué)來(lái)說(shuō)，以上提到的許多數(shù)學(xué)學(xué)科都有個(gè)共同點(diǎn)：比起這些數(shù)學(xué)的理論價(jià)值，我們更傾向于發(fā)掘它們的應(yīng)用價(jià)值。不要驚訝。圖形學(xué)的許多問(wèn)題和物理學(xué)者與工程師們研究的問(wèn)題是緊密聯(lián)系的，并且物理學(xué)者與工程師們使用的數(shù)學(xué)工具正是圖形學(xué)研究者們使用的。多數(shù)研究純數(shù)學(xué)理論的學(xué)科從不被用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。不過(guò)這不是絕對(duì)的。請(qǐng)注意這些特例：分子生物學(xué)正利用節(jié)理論來(lái)研究DNA分子動(dòng)力學(xué)，亞原子物理學(xué)用到了抽象群論。也許有一天，純數(shù)學(xué)理論也能推動(dòng)計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的發(fā)展，誰(shuí)知道呢？
有些看來(lái)重要的數(shù)學(xué)實(shí)際上在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)里不常被用到。可能拓?fù)鋵W(xué)是此類(lèi)數(shù)學(xué)中最有意思的。用一句話來(lái)形容拓?fù)鋵W(xué)，它研究油炸圈餅與咖啡杯為什么在本質(zhì)上是相同的。答案是他們都是只有一個(gè)洞的曲面。我們來(lái)討論一下拓?fù)鋵W(xué)的思想。雖然曲面是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要成分，不過(guò)微分幾何學(xué)的課程已經(jīng)涵蓋了多數(shù)對(duì)圖形學(xué)有用的拓?fù)鋵W(xué)知識(shí)。微分幾何學(xué)研究曲面的造型，可是拓?fù)鋵W(xué)研究曲面的相鄰關(guān)系。我覺(jué)得拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于圖形學(xué)來(lái)說(shuō)幾乎沒(méi)用，這是由于拓?fù)鋵W(xué)關(guān)心抽象的事物，而且拓?fù)鋵W(xué)遠(yuǎn)離了多數(shù)圖形學(xué)的核心——三維歐氏空間的概念。對(duì)于圖形學(xué)來(lái)說(shuō)，拓?fù)鋵W(xué)的形式（符號(hào)表示法）是表達(dá)思想的簡(jiǎn)便方法，不過(guò)圖形學(xué)很少用到抽象拓?fù)鋵W(xué)的實(shí)際工具。對(duì)圖形學(xué)來(lái)說(shuō)，拓?fù)鋵W(xué)像一個(gè)好看的花瓶，不過(guò)別指望它能立即帶給你回報(bào)。
有人曾經(jīng)這么問(wèn)我，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)是否用到了抽象代數(shù)（群論，環(huán)，等等….）或者數(shù)論。我沒(méi)怎么遇到過(guò)。和拓?fù)鋵W(xué)一樣，這些學(xué)科有很多美好的思想。可是很不幸，這些思想很少用于計(jì)算機(jī)圖形學(xué)。
網(wǎng)友graphiboy的評(píng)論
作者翻譯的非常好，我想應(yīng)該是有理工科的高等教育背景吧。非常感謝作者的翻譯，讓這么好的一篇文章為更多的中國(guó)讀者所接受。
談?wù)剬?duì)這篇文章的看法，我想，文章中提到一些數(shù)學(xué)分支，按照我們國(guó)家的教育體制，只有上到碩士研究生階段的理工科學(xué)生才能全部涉及到，例如：數(shù)值方法就是很多工科碩士研究階段的教授科目；
我對(duì)文章中關(guān)于課本知識(shí)偏重于證明以構(gòu)建完備的數(shù)學(xué)理論框架，而這對(duì)實(shí)際應(yīng)用沒(méi)有直接幫助的觀點(diǎn)是非常有共鳴的；理論和實(shí)踐是相互依存，而又相互區(qū)別的；從讀懂一篇?SGI?GRAPH?的論文，到把它變?yōu)閷?shí)際的程序，對(duì)于一個(gè)熟練的圖形程序員來(lái)說(shuō)，至少是3個(gè)月的時(shí)間，這是理論與實(shí)踐之間的距離。
文章對(duì)于圖形學(xué)涉及的數(shù)學(xué)門(mén)類(lèi)的分析，力求全面；事實(shí)上，很難有一個(gè)人能全部精通全部的知識(shí)，對(duì)于圖形學(xué)的學(xué)習(xí)和實(shí)踐，應(yīng)當(dāng)采取掌握較為寬廣的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，在需要的時(shí)候，對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行深入的策略；
不要因?yàn)樽陨頂?shù)學(xué)知識(shí)的匱乏而沮喪，更不能因此而敵視數(shù)學(xué)，我想保持樂(lè)觀上進(jìn)的態(tài)度是學(xué)習(xí)圖形學(xué)的關(guān)鍵。