lD计算机发展的历程Q按旉先后的顺序，先后出现的热潮是操作pȝ、数据库、网l。那么下一个热潮是什么？从计机是h的工作工具出发，我们不难得到l论Q下一个热潮是包括囑Ş图象在内的加Z息利用和沟通的方向?/font>
计算机是人的工具Q研I计机的各个方面就是要使这U工具好用。当计算机很难操作时Qh们就主要研究操作pȝ。虽然操作系l到目前q不是很理想Q但它基本能满目前Z使用计算机的要求。所以，关于它的高潮pM(jin)。在计算机可用的情况下，对计机要处理的信息数据如何q行高效的管理和利用Q就成了(jin)使用计算机的瓉。于是，关于数据?/font>的研I就成了(jin)热潮。当数据在机器上可得到有效组l和理后，如何׃nq些数据成果成?jin)新的瓶颈，于?b>|络成?jin)新的瓶颈，q是目前国际上计机领域最z跃的研I和应用领域。那么，当数据也能很好地׃n后，下一个热潮是什么呢Q因机中的数据的最l目的是要ؓ(f)人处理各U事情服务的Q所以这些数据所蕴涵的信息如何能高效地让适应地、高效地获得成?jin)计机发展历程中新的、下一个瓶颈。那么下一个热潮就在这里。其中，׃视觉是hc?span class="GramE">最快捷的信息获知途径Q?b>囑Ş囑փ是下一个热潮中的主要内宏V目前，|络的发展很快，Z对用网l的各种要求也大多能基本满Q所以，下一个热潮的到来很快。目前，在欧等发达国家Q关于图?span class="GramE">图象的研I和应用正处于一U爆炸式的发展阶Dc(din)?/font>
中国囑Ş学发展现状的l济现实、学术基原因
中国囑Ş学已取得?jin)长的q步Q在国际囑Ş学界也有一之地。但是，整体地看Q中国图形学在国际上理论研究斚w的地位不高。在另一斚wQ国内关于图?span class="GramE">图象的应用很多，但这些应用基本是照搬国外先进国家的模式、采用的也大多是q些国家的技术和软g。在中国Q图形学的研I和应用严重p?/font>
Ҏ(gu)马克思的哲学理论Q这U脱节在中国目前的经现状下是完全合理的Q因为经基军_上层建筑。当一个国家的l济基础没有发展C定的E度Q它?yu)׃可能有更高层ơ的需求；而当它的需求可以从外面照般Ӟ它当然会(x)采用最便宜?span class="GramE">最l济的方式从国外照搬Q而不?x)自q立地发展。目前，Ƨ美发达国家的国民经比我国发达Q他们已l历q的一些需求发展，正是我国正在l历的。因此，在现阶段Q中国图形学的研I很隑־C业界的支持?/font>
当自己提不出先进的需求时Q中国图形学界的研究主要是跟t国际图形学发展的潮。在一些技术难炚w题上Q中国图形学界也取得?jin)一些进展。但是，׃~Z应用需求刺Ȁ的强大基Q中国图形学要在国际上整体性有较高的地位是不太现实的。由于缺乏这U整体性的先进性，中国囑Ş学的学术基础很不q、也不厚实，q对来的发展很不利?/font>
中国囑Ş学突?/span>的途径在哪里？
没有原创的、前L的成果Q就难有核心(j)的、有竞争性的产业技术，难有国家发展的强力产业、经、政ȝ支持。在计算机发展的历程中，我国已错q了(jin)许多历史机遇。那么在q下一个机遇来临时Q我们是不是也要错过Q?/font>
在自w?span class="GramE">难提?/span>高层ơ的需求时Q中国图形学的研I还是只能跟t国际图形学发展的潮。ؓ(f)更快地掌握发展动向和势Q我们需要加Z国外先进单位的交。特别是对一些新兴的技术和方向Q要着重发展，因ؓ(f)大家在v步时的差距不?x)太大，而新技术和新方向对囑Ş学的整体发展有更强的动力?/font>
我们也注意到Q国外的技术是提供?jin)解决目前可解决问题的方法，但是Q实践中遇到的一些问题是国外技术不能解决的。这在中国的一些应用实践中也发生了(jin)。中国图形学界应多关注这些问题，q是我们赶超国外的机?x)。但是，中国的应用单位对中国的图形学研究不了(jin)解、没有信?j)，q是需要加强沟通来解决的，也是需要中国图形学界来证明的?/font>
中国囑Ş学研I的整体性提高，是必dC国业界的支持的。国家在q方面要加强对研I的支持、加强对实践应用的扶持、加强科技理的倾斜优化Q我国能更早地获得囑Ş图象处理斚w的核?j)的、有竞争性的成果Q快速地提高我国计算机发展的实力Q赶欧发辑֛家?/font>
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数学在计机囑Ş学中的应?br />Greg Turk, August 1997
“学?fn)计机囑Ş学需要多的数学Q”这是初学者最l常问的问题。答案取决于你想在计机囑Ş学领域钻研多深。如果仅仅用周围唾手可得的囑Ş软gQ你不需要知道多数学知识。如果想学习(fn)计算机图形学的入门知识，我徏议你MM面所写的前两章（代数Q三角学和线性代敎ͼ(j)。如果想成ؓ(f)一名图形学的研I者，那么Ҏ(gu)学的学习(fn)是zd老，学到老?br />如果你ƈ不特别喜Ƣ数学，是否仍有在计机囑Ş学领域工作的Z(x)Q是的，计算机图形学的确有一些方面不需要考虑太多的数学问题。你不应该因为数学成l不好而放弃它。不q，如果学习(fn)?jin)更多的数学知识Q似乎你在研究N上有更多的选择余地?br />对于在计机囑Ş学中哪些数学才是重要的还没有明确的答案。这领域里不同的斚w要求掌握不同的数学知识，也许兴趣会(x)军_?jin)你的方向。以下介l我认ؓ(f)对于计算机图形学有用的数学。别以ؓ(f)xZ名图形学的研I者就必须_N各门数学！Z(jin)对用于图形学的数学有一个全面的看法Q我特地列出?jin)很多方面。但是许多研I者从不需要考虑下面提到的数学?br />最后，虽然M(jin)q篇文章后，你应该会(x)Ҏ(gu)学在计算机图形学中的应用有所?jin)解Q不q这些观点完全是我自q。也怽应该阅读更多的此cL章，或者至从其他从事计算机图形学工作的h那里?jin)解不同的学习(fn)重炏V现在开始切入正题?
代数和三角学
对于计算机图形学的初学者来_(d)高中的代数和三角学可能是最重要的数学。日复一日，我从单的方程解出一个或更多的根。我时常q要解决cM求一些几何图形边长的单三角学问题。代数和三角学是计算机图形学的最基础的知识?br />那么高中的几何学怎么样呢Q可能让人惊Ӟ不过在多数计机囑Ş学里Q高中的几何学ƈ不经常被用到。原因是许多学校教的几何学实际上是如何徏立数学证明的评。虽然证明题Ҏ(gu)高智力显然是有效的，但对于计机囑Ş学来_(d)那些与几何课有关的定理和证明q不常被用到。如果你毕业于数学相关领域（包括计算机图形学Q，׃(x)发现虽然你在证明定理Q不q这对开始学?fn)图形学不是必要的?br />如果_N代数和三角学，可以开始读一本计机囑Ş学的入门书了(jin)。下一个重要的用于计算机图形学的数学——线性代敎ͼ多数此类书籍臛_包含?jin)一个对U性代数的要介l?br />推荐的参考书:
Computer Graphics: Principles and Practice
James Foley, Andries van Dam, Steven Feiner, John Hughes
Addison-Wesley
[虽然厚重Q可是我很喜Ƣ]
U性代?br />U性代数的思想贯穿于计机囑Ş学。事实上Q只要牵涉到几何数DC法,常常抽象出例如x,y,z坐标之类的数|我们UC为矢量。图形学自始至终M开矢量和矩c(din)用矢量和矩阉|描述旋{Q^U，或者羃放是再好不过?jin)。高中和大学都有U性代数的评。只要想在计机囑Ş学领域工作，应该打下坚实的U性代数基。我刚才提到Q许多图形学的书都有关于U性代数的要介l——够教l你囑Ş学的W一门课?br />推荐的参考书:
Linear Algebra and I(yng)ts Applications
Gilbert Strang
Academic Press
微积分学
微积分学是高U计机囑Ş学的重要成分。如果打研I图形学Q我强烈你应该对微积分学有初步认识。理׃仅仅是微U分学是一U很有用的工Pq有许多研究者用微积分学的术语来描述他们的问题和解决办法。另外，在许多重要的数学领域Q微U分学被作ؓ(f)q一步学?fn)的前提。学?fn)?jin)基本代数之后Q微U分学又是一U能Z打开多数计算机图形学与后l的数学学习(fn)之门的课E?br />微积分学是我介绍的最后一个中学课E，以下提及(qing)的科目几乎全部是大学的课E?/font>
微分几何?br />微分几何学研I支配光滑曲U，曲面的方E组。如果你要计出l过某个q离曲面的点q垂直于曲面的矢量（法向矢量Q就?x)用到微分几何学。让一辆汽车以特定速度在曲U上行驶也牵涉到微分几何学。有一U通用的绘制光滑曲面的囑Ş学技术，叫做“凹凸帖䏀，q个技术用C(jin)微分几何学。如果要着手于用曲U和曲面来创造Ş体（在图形学里称之ؓ(f)建模Q你臛_应该学习(fn)微分几何学的基础?br />推荐的参考书:
Elementary Differential Geometry
Barrett O'Neill
Academic Press
数值方?br />几乎M时候，我们在计机里用q似g替精值来表示和操作数|所以计过EL?x)有误差。而且对于l定的数值问题，常常有多U解决的Ҏ(gu)Q一些方法会(x)更块Q更_或者对内存的需求更。数值方法研I的对象包括“计方法”和“科学计”等{。这是一个很qK的领域，而且我将提及(qing)的其他几门数学其实是数值方法的一些分支。这些分支包括抽h理论Q矩阉|E组Q数值微分方E组和最优化?br />推荐的参考书:
Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing
William Press, Saul Teukolsky, William Vetterling and Brian Flannery
Cambridge University Press
[q本参考书很有价值可是很作为教材用]
抽样法理论和信号处理
在计机囑Ş学里我们反复使用储存在正规二l数l里的数字集合来表示一些对象，例如囄和曲面。这Ӟ我们p用抽h来表C些对象。如果要控制q些对象的品质，抽样法理论就变得ؓ(f)重要。抽h应用于图形学的常见例子是当物体被l制在屏q上Ӟ它的轮廓呈现锯状的边缘。这锯状的边缘Q被认ؓ(f)是“淆”现象）(j)是非常让人分散注意力的，用抽h中著名的技术例如回旋，傅立叶变换，I间和频率的函数表示p把这个现象减到最。这些思想在图像和音频处理领域是同样重要的?br />推荐的参考书:
The Fourier Transform and I(yng)ts Applications
Ronald N. Bracewell
McGraw Hill
矩阵方程l?br />计算机图形学的许多问题要用到矩阵方程l的数D法。一些涉?qing)矩늚问题包括Q找出最好的位置与方向以使对象们互相匚wQ最二乘法Q，创徏一个覆盖所l点集的曲面Qƈ使皱折程度最（薄板h法Q，q有材质模拟Q例如水和衣服等。在囑Ş学里矩阵表述相当行Q因此在用于囑Ş学的数学中我对矩阉|E组的评h很高的?br />推荐的参考书:
Matrix Computations
Gene Golub and Charles Van Loan
Johns Hopkins University Press
物理?br />物理学显然不是数学的分支Q它是自成一家的学科。但是在计算机图形学的某些领域，物理学和数学是紧密联pȝ。在囑Ş学里Q牵涉物理学的问题包括光与物体的表面是怎样互相影响的，Z动物的移动方式，水与I气的流动。ؓ(f)?jin)模拟这些自然现象，物理学的知识是必不可的。这和解微分方程紧密联系Q我会(x)在下一节提到微分方E?/font>
微分方程的数D?br />我相信对于计机囑Ş学来_(d)解微分方E的技巧是非常重要的。像我们刚才讨论的，计算机图形学致力于模拟源于真实世界的物理pȝ。L是怎样在水里Ş成的Q动物是怎样在地面上行走的，q就是两个模拟物理系l的例子。模拟物理系l的问题l常是怎样解微分方E的数D。请注意Q微分方E的数D法与微分方程的符可法是有很大差异的。符可法求出没有误差的解，而且时常只用于一些非常简单的方程。有时大学课E里的“微分方E”只教符可法，不过qƈ不会(x)对多数计机囑Ş学的问题有帮助?br />在对物理pȝ的模拟中Q我们把世界l分多表C成矢量的小元素。然后这些元素之间的关系可以用矩阵来描q。虽然要处理的矩阉|E组往往没有很精的解，但是取而代之的是执行了(jin)一pd的计，q些计算产生一个表C成数列的近D。这是微分方程的数D法。请注意Q矩阉|E的解法与微分方E数D法的关系是很密切的。?/font>
最优化
在计机囑Ş学里Q我们常ؓ(f)?jin)期望的目标L一U合适的描述对象或者对象集的方法。例如安排灯的位|得房间的照明看v来有U特D的“感觉”，动画里的人物要怎样zd四肢才能实现一个特D的动作Q怎样排版才不?x)ə面混ؕ。以上这些例子可以归lؓ(f)最优化问题。十q前的计机囑Ş学几乎没有最优化技术的文献Q不q最q这个领域越来越重视最优化理论。我认ؓ(f)在计机囑Ş学里Q最优化的重要性将?x)日益增加?/font>
概率Zl计?br />计算机图形学的许多领域都要用到概率论与统计学。当研究者涉hcdU时Q他们当焉要统计学来分析数据。图形学相关领域涉及(qing)人类学科Q例如虚拟现实和人机交互(HCI)。另外，许多用计机描绘真实世界的问题牵涉到各种未知事g的概率。两个例子：(x)一|长期的树(wi),它的?wi)枝分杈的概率；虚拟的动物如何决定它的行走\Uѝ最后，一些解高难度方E组的技巧用?jin)随机数来估计方E组的解。重要的例子Q蒙特卡|方法经常用于光如何传播的问题。以上仅是一部分在计机囑Ş学里使用概率论和l计学的Ҏ(gu)?/font>
计算几何?br />计算几何学研I如何用计算机高效地表示与操作几何体。典型问题如Q碰撞检，把多边Ş分解Z角ŞQ找出最靠近某个位置的点Q这个学U包括了(jin)q算法则Q数据结构和数学。图形学的研I者，只要涉创徏形体Q徏模）(j)Q就要大量用到计几何学?br />推荐的参考书:
Computational Geometry in C
Joseph O'Rourke
Cambridge University Press
[大学教材]
Computational Geometry: An I(yng)ntroduction
Franco Preparata and Michael Shamos
Springer-Verlag
[很经典，不过有点旧了(jin)]
ȝQ数学应用和数学理论
对于囑Ş学来_(d)以上提到的许多数学学U都有个共同点：(x)比vq些数学的理Zh(hun)|我们更們于发掘它们的应用价倹{不要惊讶。图形学的许多问题和物理学者与工程师们研究的问题是紧密联系的，q且物理学者与工程师们使用的数学工h是图形学研究者们使用的。多数研I纯数学理论的学U从不被用于计算机图形学。不q这不是l对的。请注意q些特例Q分子生物学正利用节理论来研IDNA分子动力学，亚原子物理学用到?jin)抽象群论。也许有一天，U数学理Z能推动计机囑Ş学的发展Q谁知道呢？
有些看来重要的数学实际上在计机囑Ş学里不常被用到。可能拓扑学是此cL学中最有意思的。用一句话来ŞҎ(gu)扑学Q它研究油炸圈饼与咖啡杯Z么在本质上是相同的。答案是他们都是只有一个洞的曲面。我们来讨论一下拓扑学的思想。虽然曲面是计算机图形学的重要成分，不过微分几何学的评已经늛?jin)多数对囑Ş学有用的拓扑学知识。微分几何学研究曲面的造型Q可是拓扑学研究曲面的相dpR我觉得拓扑学对于图形学来说几乎没用Q这是由于拓扑学兛_(j)抽象的事物，而且拓扑学远M(jin)多数囑Ş学的核心(j)——三l欧氏空间的概念。对于图形学来说Q拓扑学的Ş式（W号表示法）(j)是表达思想的简便方法，不过囑Ş学很用到抽象拓扑学的实际工兗对囑Ş学来_(d)拓扑学像一个好看的qQ不q别指望它能立即带给你回报?br />有h曄q么问我Q计机囑Ş学是否用C(jin)抽象代数Q群论，环，{等?Q或者数论。我没怎么遇到q。和拓扑学一Pq些学科有很多美好的思想。可是很不幸Q这些思想很少用于计算机图形学?/font>
|友graphiboy的评?/strong>
作者翻译的非常好，我想应该是有理工U的高等教育背景吧。非常感谢作者的译Q让q么好的一文章ؓ(f)更多的中国读者所接受?br />谈谈对这文章的看法Q我惻I文章中提C些数学分支，按照我们国家的教育体Ӟ只有上到士研究生阶D늚理工U学生才能全部涉?qing)到Q例如：(x)数值方法就是很多工U硕士研ID늚教授U目Q?br />我对文章中关于课本知识偏重于证明以构建完备的数学理论框架Q而这对实际应用没有直接帮助的观点是非常有共鸣的；理论和实跉|怺依存Q而又怺区别的；从读懂一 SGI GRAPH 的论文，到把它变为实际的E序Q对于一个熟l的囑ŞE序员来_(d)臛_?个月的时_(d)q是理论与实践之间的距离?br />文章对于囑Ş学涉?qing)的数学门类的分析，力求全面Q事实上Q很难有一个h能全部精通全部的知识Q对于图形学的学?fn)和实践Q应当采取掌握较为宽q的数学知识基础Q在需要的时候，对相关知识进行深入的{略Q?br />不要因ؓ(f)自n数学知识的匮乏而沮丧，更不能因此而敌视数学，我想保持乐观上进的态度是学?fn)图形学的关键?br />
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