背包之01背包、完全背包、多重背包詳解

PS：大家覺得寫得還過得去，就幫我頂博客，謝謝。

首先說下動態規劃，動態規劃這東西就和遞歸一樣，只能找局部關系，若想全部列出來，是很難的，比如漢諾塔。你可以說先把除最后一層的其他所有層都移動到2，再把最后一層移動到3，最后再把其余的從2移動到3，這是一個直觀的關系，但是想列舉出來是很難的，也許當層數n=3時還可以模擬下，再大一些就不可能了，所以，諸如遞歸，動態規劃之類的，不能細想，只能找局部關系。

1.漢諾塔圖片

（引至杭電課件:DP最關鍵的就是狀態，在DP時用到的數組時，也就是存儲的每個狀態的最優值，也就是記憶化搜索）

要了解背包，首先得清楚動態規劃：

動態規劃算法可分解成從先到后的4個步驟：

1. 描述一個最優解的結構；

2. 遞歸地定義最優解的值；

3. 以“自底向上”的方式計算最優解的值；

4. 從已計算的信息中構建出最優解的路徑。

其中步驟1~3是動態規劃求解問題的基礎。如果題目只要求最優解的值，則步驟4可以省略。

背包的基本模型就是給你一個容量為V的背包

在一定的限制條件下放進最多(最少?)價值的東西

當前狀態→ 以前狀態

看了dd大牛的《背包九講》(點擊下載)，迷糊中帶著一絲清醒，這里我也總結下01背包，完全背包，多重背包這三者的使用和區別，部分會引用dd大牛的《背包九講》，如果有錯，歡迎指出。

(www.wutianqi.com留言即可)

首先我們把三種情況放在一起來看：

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一個容量為V的背包。（每種物品均只有一件）第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。

完全背包(CompletePack): 有N種物品和一個容量為V的背包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。

多重背包(MultiplePack): 有N種物品和一個容量為V的背包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。

比較三個題目，會發現不同點在于每種背包的數量，01背包是每種只有一件，完全背包是每種無限件，而多重背包是每種有限件。

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01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一個容量為V的背包。（每種物品均只有一件）第i件物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。

這是最基礎的背包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。

用子問題定義狀態：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一個容量為v的背包可以獲得的最大價值。則其狀態轉移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

把這個過程理解下：在前i件物品放進容量v的背包時，

它有兩種情況：

第一種是第i件不放進去，這時所得價值為:f[i-1][v]

第二種是第i件放進去，這時所得價值為：f[i-1][v-c[i]]+w[i]

（第二種是什么意思？就是如果第i件放進去，那么在容量v-c[i]里就要放進前i-1件物品）

最后比較第一種與第二種所得價值的大小，哪種相對大，f[i][v]的值就是哪種。

（這是基礎，要理解！）

這里是用二位數組存儲的，可以把空間優化，用一位數組存儲。

用f[0..v]表示，f[v]表示把前i件物品放入容量為v的背包里得到的價值。把i從1~n(n件)循環后，最后f[v]表示所求最大值。

*這里f[v]就相當于二位數組的f[i][v]。那么，如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]？（重點！思考）
首先要知道，我們是通過i從1到n的循環來依次表示前i件物品存入的狀態。即：for i=1..N
現在思考如何能在是f[v]表示當前狀態是容量為v的背包所得價值，而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]標簽前一狀態的價值？

逆序！

這就是關鍵！

1for i=1..N
2   for v=V..0
3        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
4

分析上面的代碼：當內循環是逆序時，就可以保證后一個f[v]和f[v-c[i]]+w[i]是前一狀態的！
這里給大家一組測試數據：

測試數據：
10,3
3,4
4,5
5,6

這個圖表畫得很好，借此來分析：

C[v]從物品i=1開始，循環到物品3，期間，每次逆序得到容量v在前i件物品時可以得到的最大值。（請在草稿紙上自己畫一畫）

這里以一道題目來具體看看：

題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

代碼在這里：http://www.wutianqi.com/?p=533

分析：

具體根據上面的解釋以及我給出的代碼分析。這題很基礎，看懂上面的知識應該就會做了。

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完全背包：

完全背包(CompletePack): 有N種物品和一個容量為V的背包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。

完全背包按其思路仍然可以用一個二維數組來寫出：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

同樣可以轉換成一維數組來表示：

偽代碼如下：



for i=1..N
    for v=0..V
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

順序！

想必大家看出了和01背包的區別，這里的內循環是順序的，而01背包是逆序的。
現在關鍵的是考慮：為何完全背包可以這么寫？
在次我們先來回憶下，01背包逆序的原因？是為了是max中的兩項是前一狀態值，這就對了。
那么這里，我們順序寫，這里的max中的兩項當然就是當前狀態的值了，為何？
因為每種背包都是無限的。當我們把i從1到N循環時，f[v]表示容量為v在前i種背包時所得的價值，這里我們要添加的不是前一個背包，而是當前背包。所以我們要考慮的當然是當前狀態。
這里同樣給大家一道題目：

題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114

代碼：http://www.wutianqi.com/?p=535

（分析代碼也是學習算法的一種途徑，有時并不一定要看算法分析，結合題目反而更容易理解。）

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多重背包

多重背包(MultiplePack): 有N種物品和一個容量為V的背包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。

這題目和完全背包問題很類似。基本的方程只需將完全背包問題的方程略微一改即可，因為對于第i種物品有n[i]+1種策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i種物品恰放入一個容量為v的背包的最大權值，則有狀態轉移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

這里同樣轉換為01背包：

普通的轉換對于數量較多時，則可能會超時，可以轉換成二進制（暫時不了解，所以先不講）

對于普通的。就是多了一個中間的循環，把j=0~bag[i]，表示把第i中背包從取0件枚舉到取bag[i]件。

給出一個例題：

題目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191

代碼：http://www.wutianqi.com/?p=537

因為限于個人的能力，我只能講出個大概，請大家具體還是好好看看dd大牛的《背包九講》。

暫時講完后，隨著以后更深入的了解，我會把資料繼續完善，供大家一起學習探討。(我的博客：www.wutianqi.com如果大家有問題或者資料里的內容有錯誤，可以留言給出，謝謝您的支持。)

原文下載地址：（Word版）
http://download.csdn.net/sour

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