給定一個數(shù)N（N <= 10 ^ 1000），如何快速求得N！的最末位非零數(shù)是一個經(jīng)典的問題。一直以來都被這個問題困擾，今天仔細(xì)想了下，終于給想通了，盡管可能有些笨拙，現(xiàn)把想法記錄于此。
　　在N很小的情況下，有一個簡便的方法：求出1到N之間每個數(shù)的2的因子數(shù)和5的因子數(shù)，記為F(2)和F(5)，顯然F(2) >= F(5)。由于在末尾只有2和5相乘才能產(chǎn)生0，如果我們把2和5拋去，那么肯定不會有0，這樣就可以一邊乘一邊模10，防止溢出。剩下的一堆2和5如何處理呢？因?yàn)?肯定比5多，因此最末位肯定是偶數(shù)（0的階乘和1的階乘除外）。而一個偶數(shù)不停地乘2，最末位的規(guī)律是：2 -> 4 -> 8 -> 6 -> 2 -> ...出現(xiàn)了4位1循環(huán)，這樣我們先用F(2) - F(5)，使得一部分2和5匹配上，2 * 5 = 10，對末尾不產(chǎn)生影響，剩下的2就模一下4，剩幾再乘幾次2就可以了。
　　但是這個方法在N非常大的時候肯定就不行了，但是可以利用找循環(huán)這個思想繼續(xù)做。如果算階乘的時候跳過5的倍數(shù)，記G(n)為跳過5的倍數(shù)的時候，從1乘到n的最末非零位，也就是把5的倍數(shù)當(dāng)1乘。可以發(fā)現(xiàn)：
G(1) = 1, G(2) = 2, G(3) = 6, G(4) = 4, G(5) = 4, G(6) = 4, G(7) = 8, G(8) = 4, G(9) = 6, G(10) = 6, G(11) = 6, G(12) = 2, G(13) = 6...
　　又出現(xiàn)了循環(huán)，每10個數(shù)循環(huán)一次。如何計算G(n)就變的很簡單，求出n的最末位，就知道對應(yīng)的G(n)是多少了，當(dāng)然需要特判n = 1的情況。由于我們把5的倍數(shù)的數(shù)都提出來了，提出來的這些數(shù)（5、10、15、20、25、30...）每個除以5后又組成了一個階乘序列！除完5一共提出了n / 5個5，根據(jù)之前的分析，每個5都可以拿出一個2和它配對然后把它消去，這樣一個5就相當(dāng)于少一個2，我們就要把原來的數(shù)乘以3個2（模四循環(huán)）。這樣一來5的個數(shù)其實(shí)也可以模四，模完四之后剩k的話，就可以乘以k個8，就把所有的5消去了。現(xiàn)在總結(jié)一下：對一個數(shù)n的階乘，計算它的末尾非零位，先計算G(n)，相當(dāng)于非5的倍數(shù)的數(shù)的乘積最末非零位先算好了，然后乘以n / 5 % 4個8，處理了提出的n / 5個5，這樣之后還剩下n / 5的階乘沒有算。遞歸的求解n / 5的階乘的最末位非零數(shù)，再乘上去就得到結(jié)果了。
　　這個做法的復(fù)雜度就很低了，達(dá)到O(log n)，對于10 ^ 1000的數(shù)據(jù)，利用高精度做就行了。利用這種循環(huán)的思想，算排列數(shù)P(n, k)的最末非零數(shù)也就可以做到了。
附HOJ 1013代碼：