Posted on 2012-11-30 17:44
鑫龍 閱讀(14926)
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數據結構與算法
最近在做單調隊列，發現了最長上升子序列O(nlogn)的求法也有利用單調隊列的思想。
最長遞增子序列問題：在一列數中尋找一些數，這些數滿足：任意兩個數a[i]和a[j]，若i<j，必有a[i]<a[j]，這樣最長的子序列稱為最長遞增子序列。
設dp[i]表示以i為結尾的最長遞增子序列的長度，則狀態轉移方程為：
dp[i] = max{dp[j]+1}, 1<=j<i,a[j]<a[i].
這樣簡單的復雜度為O(n^2)，其實還有更好的方法。
考慮兩個數a[x]和a[y]，x<y且a[x]<a[y],且dp[x]=dp[y]，當a[t]要選擇時，到底取哪一個構成最優的呢？顯然選取a[x]更有潛力，因為可能存在a[x]<a[z]<a[y]，這樣a[t]可以獲得更優的值。在這里給我們一個啟示，當dp[t]一樣時，盡量選擇更小的a[x].
按dp[t]=k來分類，只需保留dp[t]=k的所有a[t]中的最小值，設d[k]記錄這個值，d[k]=min{a[t],dp[t]=k}。
這時注意到d的兩個特點（重要）：
1. d[k]在計算過程中單調不升；
2. d數組是有序的，d[1]<d[2]<..d[n]。
利用這兩個性質，可以很方便的求解：
1. 設當前已求出的最長上升子序列的長度為len（初始時為1），每次讀入一個新元素x：
2. 若x>d[len]，則直接加入到d的末尾，且len++；（利用性質2）
否則，在d中二分查找，找到第一個比x小的數d[k]，并d[k+1]=x，在這里x<=d[k+1]一定成立（性質1,2）。
- /**
- 最長遞增子序列O(nlogn)算法：
- 狀態轉移方程：f[i] = max{f[i],f[j]+1},1<=j<i,a[j]<a[i].
- 分析：加入x<y,f[x]>=f[y],則x相對于y更有潛力。
- 首先根據f[]值分類，記錄滿足f[t]=k的最小的值a[t],記d[k]=min{a[t]},f[t]=k.
- 1.發現d[k]在計算過程中單調不上升
- 2.d[1]<d[2]<...<d[k] (反證) 1 2 3 8 4 7
- 解法：
- 1. 設當前最長遞增子序列為len,考慮元素a[i];
- 2. 若d[len]<a[i],則len++，并將d[len]=a[i];
- 否則,在d[0-len]中二分查找,找到第一個比它小的元素d[k],并d[k+1]=a[i].()
- */
- #include <iostream>
- #include <cstdio>
- #include <cstring>
- using namespace std;
- const int N = 41000;
- int a[N]; //a[i] 原始數據
- int d[N]; //d[i] 長度為i的遞增子序列的最小值
-
- int BinSearch(int key, int* d, int low, int high)
- {
- while(low<=high)
- {
- int mid = (low+high)>>1;
- if(key>d[mid] && key<=d[mid+1])
- return mid;
- else if(key>d[mid])
- low = mid+1;
- else
- high = mid-1;
- }
- return 0;
- }
-
- int LIS(int* a, int n, int* d)
- {
- int i,j;
- d[1] = a[1];
- int len = 1; //遞增子序列長度
- for(i = 2; i <= n; i++)
- {
- if(d[len]<a[i])
- j = ++len;
- else
- j = BinSearch(a[i],d,1,len) + 1;
- d[j] = a[i];
- }
- return len;
- }
-
- int main()
- {
- int t;
- int p;
- scanf("%d",&t);
- while(t--)
- {
- scanf("%d",&p);
- for(int i = 1; i <= p; i++)
- scanf("%d",&a[i]);
- printf("%d\n",LIS(a,p,d));
- }
- return 0;
- }