最��二乘法 least square method

鑫龙 — Thu, 09 May 2013 08:24:00 GMT

最��二乘法�Q�又�U?strong style="margin: 0px; padding: 0px; ">最��^�Ҏ(gu��)��Q�是一�U�数学优化技术。它通过最��化误差的��^方和��L��数据的最�?j��ng)_��数匹配。利用最��二乘法可以��便地求得未知的数据，�q��得这些求得的数据与实际数据之间误差的�q�x��和�ؓ最��。最��二乘法�q�可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最��化能量或最大化�는�最��二乘法来表达�?/p>

最��二乘法原理

在我们研�I�两个变�?x, y)之间的相互关�p�L��Q�通常可以得到一�p�d��成对的数�? x₁, y₁. x₂, y₂. … x_m , y_m )�Q�将�q�些数据描绘在x -y直角坐标�p�M��Q�若发现�q�些点在一条直�U�K��q�，可以令这条直�U�方�E�如(�?-1)�?/p>

Y_{�?/sub>= a₀ + a₁X (�?-1)}

其中�Q�a₀、a₁ 是�Q意实�?/p>

为徏立这直线方程��p��定a₀和a₁�Q�应�?最��二乘法原理 �Q�将实测值Y_i与利�?�?-1)计算�?Y_{�?/sub>=a₀+a₁X)的离�?Y_i-Y_{�?/sub>)的��^方和�?#8721;(Y_i - Y_{�?/sub>)²〕最��ؓ“优化判据”�?/p>}}}

令： φ = ∑(Y_i - Y_{�?/sub>)² (�?-2)}

�?�?-1)代入(�?-2)中得:

φ = ∑(Y_i- a₀ - a₁ X_i)² (�?-3)

�?#8721;(Y_i-Y_{�?/sub>)�q�x��最��时�Q�可用函�?φ 对a₀、a₁求偏导数�Q��o�q�两个偏导数�{�于零�?br />}

亦即�Q?/p>

m a₀ + (∑X_i ) a₁ = ∑Y_i (�?-6)

(∑X_i) a₀ + (∑X_i² ) a₁ = ∑(X_i, Y_i) (�?-7)

得到的两个关于a₀�?a₁为未知数的两个方�E�组�Q�解�q�两个方�E�组得出�Q?/p>

a₀= (∑Y_i) / m - a₁(∑X_i) / m (�?-8)

a₁ = [m∑X_i Y_i - (∑X_i∑Y_i)] / [m∑X_i² - (∑X_i)² )] (�?-9)

�q�时把a₀、a₁代入(�?-1)中，此时�?�?-1)��是我们回归的元�U�性方�E�即�Q�数学模型�?/p>

在回归过�E�中�Q�回归的兌��式是不可能全部通过每个回归数据�? x₁, y₁. x₂, y₂. … x_m , y_m ),��Z��判断兌��式的好坏�Q�可借助相关�p�L��“R”�Q�统计量“F”�Q�剩余标准偏�?#8220;S”�q�行判断�Q?#8220;R”��趋�q�于 1 ��好�Q?#8220;F”的绝对��D��大越好；“S”��趋�q�于 0 ��好�?/p>

R = [∑X_iY_i - m (∑X_i / m)(∑Y_i / m)]/ SQR{[∑X_i² - m (∑X_i / m)²][∑Y_i² - m (∑Y_i/ m)²]} (�?-10) *

�?�?-1)中，m为样本容量，卛_��验次敎ͼ�X_i、Y_i分别��L��一�l�实验X、Y的数倹{�?/p>

鑫龙 2013-05-09 16:24 发表评论

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最���二乘法 least square method

最��二乘法 least square method