【1】
這些天參與了CSDN論壇的討論，改變了我以前的一些看法。回頭看我以前的東西，我雖對這本書很不滿，但我還是按照它的安排在一點點的寫；這樣就導致了，我過多的在意書中的偏漏，我寫的更多是說“這本書怎樣”，而偏離了我寫這些的初衷——給正在學習數據結構的人一些幫助。正像我在前面所說的，雖然現有的教科書都不是很合理，但如果僅僅是抱怨這點，那無異于潑婦罵街。雖然本人的水平連初級都夠不上，但至少先從我做一點嘗試，以后這門課的教授方法必將一點點趨于合理。<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
因此，后面不在按照書上的次序，將本著“實際應用（算法）決定數據結構”的思想來講解，常見教科書上有的，基本不再重點敘述（除了重點，例如AVL樹的平衡旋轉），——因此，在看本文的同時，一定要有一本教科書。這只是一個嘗試，希望大家多提寶貴意見。
樹
因為現實世界中存在這“樹”這種結構——族譜、等級制度、目錄分類等等，而為了研究這類問題，必須能夠將樹儲存，而如何儲存將取決于所需要的操作。這里有個問題，是否允許存在空樹。有些書認為樹都是非空的，因為樹表示的是一種現實結構，而0不是自然數；我用過的教科書都是說可以有空樹，當然是為了和二叉樹統一。這個沒有什么原則上的差別，反正就是一種習慣。
二叉樹
二叉樹可以說是人們假想的一個模型，因此，允許有空的二叉樹是無爭議的。二叉樹是有序的，左邊有一個孩子和右邊有一個的二叉樹是不同的兩棵樹。做這個規定，是因為人們賦予了左孩子和右孩子不同的意義，在二叉樹的各種應用中，你將會清楚的看到。下面只講解鏈式結構。看各種講數據結構的書，你會發現一個有趣的現象：在二叉樹這里，基本操作有計算樹高、各種遍歷，就是沒有插入、刪除——那樹是怎么建立起來的？其實這很好理解，對于非線性的樹結構，插入刪除操作不在一定的法則規定下，是毫無意義的。因此，只有在具體的應用中，才會有插入刪除操作。
節點結構
數據域、左指針、右指針肯定是必須的。除非很少用到節點的雙親，或者是資源緊張，建議附加一個雙親指針，這將會給很多算法帶來方便，尤其是在這個“空間換時間”的時代。
template <class T>
struct BTNode
{
BTNode(T data = T(), BTNode<T>* left = NULL, BTNode<T>* right = NULL, BTNode<T>* parent = NULL)
: data(data), left(left), right(right), parent(parent) {}
BTNode<T> *left, *right, *parent;
T data;
};
基本的二叉樹類
template <class T>
class BTree
{
public:
BTree(BTNode<T> *root = NULL) : root(root) {}
~BTree() { MakeEmpty(); }
void MakeEmpty() { destroy(root); root = NULL; }
protected:
BTNode<T> *root；
private:
void destroy(BTNode<T>* p)
{
if (p)
{
destroy(p->left);
destroy(p->right);
delete p;
}
}
}
二叉樹的遍歷
基本上有4種遍歷方法，先、中、后根，逐層。當初我對這個很迷惑，搞這么多干什么？到了后面才明白，這是不同的應用需要的。例如，判斷兩個二叉樹是否相等，只要子樹根節點不同，那么就不等，顯然這時要用先序遍歷；而刪除二叉樹，必須先刪除左右子樹，然后才能刪除根節點，這時就要用后序遍歷。
實際上，搞這么多遍歷方法，根本原因是在內存中儲存的樹是非線性結構。對于用數組儲存的二叉樹，這些名目繁多的方法都是沒有必要的。利用C++的封裝和重載特性，這些遍歷方法能很清晰的表達。
1. 前序遍歷
public:
void PreOrder(void (*visit)(T &data) = print) { PreOrder(root, visit); }
private:
void PreOrder(BTNode<T>* p, void (*visit)(T &data))
{
if (p){ visit(p->data); PreOrder(p->left, visit); PreOrder(p->right, visit); }
}
2. 中序遍歷
public:
void InOrder(void (*visit)(T &data) = print) { InOrder(root, visit); }
private:
void InOrder(BTNode<T>* p, void (*visit)(T &data))
{
if (p){ InOrder(p->left, visit); visit(p->data); InOrder(p->right, visit); }
}
3. 后序遍歷
public:
void PostOrder(void (*visit)(T &data) = print) { PostOrder(root, visit); }
private:
void PostOrder(BTNode<T>* p, void (*visit)(T &data))
{
if (p){ PostOrder(p->left, visit); PostOrder(p->right, visit); visit(p->data); }
}
4. 層次遍歷
void LevelOrder(void (*visit)(T &data) = print)
{
queue< BTNode<T>* > a; BTNode<T>* p = root;//記得#include<queue>
while (p)
{
visit(p->data);
if (p->left) a.push(p->left); if (p->right) a.push(p->right);
if (a.empty()) break; p = a.front(); a.pop();
}
}
附注：缺省的visit函數print如下
private:
static void print(T &data) { cout << data << ' '; }
5. 不用棧的非遞歸中序遍歷
當有parent指針時，可以不用棧實現非遞歸的中序遍歷，書上提到了有這種方法，但沒給出例程。
public:
BTNode<T>* next()
{
if(!current) return NULL;
if (current->right) { current = current->right; while (current->left) current = current->left; }
else
{
BTNode<T>* y = current->parent;
while (y && current == y->right) {current = y; y = y->parent; }
current = y;
}
return current;
}
private:
BTNode<T>* current;
上面的函數能使current指針向前移動一個位置，如果要遍歷整棵二叉樹，需要使current指向中序序列的第一個節點，例如下面的成員函數：
public:
void first() { current = root; while (current->left) current = current->left; }
【2】
線索化二叉樹
這是數據結構課程里第一個碰到的難點，不知道你是不是這樣看，反正我當初是費了不少腦細胞——當然，惱人的矩陣壓縮和相關的加法乘法運算不在考慮之列。我費了不少腦細胞是因為思考：他們干什么呢？很欣喜的看到在這本黃皮書上，這章被打了*號，雖然我不確定作者是不是跟我一個想法——線索化二叉樹在現在的PC上是毫無用處的！——不知我做了這個結論是不是會被人罵死，^_^。
為了證明這個結論，我們來看看線索化二叉樹提出的緣由：第一，我們想用比較少的時間，尋找二叉樹某一個遍歷線性序列的前驅或者后繼。當然，這樣的操作很頻繁的時候，做這方面的改善才是有意義的。第二，二叉樹的葉子節點還有兩個指針域沒有用，可以節省內存。說真的，提出線索化二叉樹這樣的構思真的很精巧，完全做到了“廢物利用”——這個人真應該投身環保事業。但在計算機這個死板的東西身上，人們的精巧構思往往都是不能實現的——為了速度，計算機的各個部件都是整齊劃一的，而構思的精巧往往都是建立在組成的復雜上的。
我們來看看線索化二叉樹究竟能不能達到上面的兩個目標。
求遍歷后的線性序列的前驅和后繼。前序線索化能依次找到后繼，但是前驅需要求雙親；中序線索化前驅和后繼都不需要求雙親，但是都不很直接；后序線索化能依次找到前驅，但是后繼需要求雙親。可以看出，線索化成中序是最佳的選擇，基本上算是達到了要求。
節省內存。添加了兩個標志位，問題是這兩個位怎么儲存？即使是在支持位存儲的CPU上，也是不能拿位存儲器來存的，第一是因為結構體成員的地址是在一起的，第二是位存儲器的數目是有限的。因此，最少需要1個字節來儲存這兩個標志位。而為了速度和移植，一般來說，內存是要對齊的，實際上根本就沒節省內存！然而，當這個空間用來儲存雙親指針時，帶來的方便絕對不是線索化所能比擬的，前面已經給出了無棧的非遞歸遍歷。并且，在線索化二叉樹上插入刪除操作附加的代價太大。
綜上，線索化最好是中序線索化（前序后序線索化后還得用棧，何必要線索化呢），附加的標志域空間至少1個字節，在32位的CPU會要求對齊到4字節，還不如存儲一個雙親指針，同樣能達到中序線索化的目的，并且能帶來其他的好處。所以，線索化二叉樹在現在的PC上是毫無用處的！
由于對其他體系不太了解，以下觀點姑妄聽之。在內存空間非常充裕的現在，一個節點省2～3個字節實在是沒什么意思（實際上由于對齊還省不出來）；而在內存非常寶貴的地方（比如單片機），會盡量避免使用樹結構——利用其他的方法。所以，現在看來，線索化二叉樹真的是毫無用處了。
二叉搜索樹
這恐怕是二叉樹最重要的一個應用了。它的構想實際是個很自然的事情——查找值比當前節點小轉左，大轉右，等則查到，到頭了就是沒找著。越自然的東西越好理解，也就越不需要我廢話。在給出BST的實現之前，我們要在二叉樹的類中添加一個打印樹狀結構的成員函數，這樣，就能清楚的看出插入和刪除過程。
public:
void print()
{
queue< BTNode<T>* > a; queue<bool> flag; ofstream outfile("out.txt");
BTNode<T>* p = root; BTNode<T> zero; bool v = true;
int i = 1, level = 0, h = height();
while (i < 2<<h)
{
if (i == 1<<level)
{
cout << endl << setw(2 <<(h - level)); level++;
if (v) cout << p->data;
else cout << ' ';
}
else
{
cout << setw(4 <<(h - level + 1));
if (v) cout << p->data;
else cout << " ";
}
if (p->left) { a.push(p->left); flag.push(true); }
else { a.push(&zero); flag.push(false); }
if (p->right) { a.push(p->right); flag.push(true); }
else { a.push(&zero); flag.push(false); }
p = a.front(); a.pop(); v = flag.front(); flag.pop(); i++;
}
cout << endl;
}
打印樹狀結構的核心是按層次遍歷二叉樹，但是，二叉樹有許多節點缺左或右子樹，連帶的越到下面空隙越大。為了按照樹的結構打印，必須把二叉樹補成完全二叉樹，這樣下面的節點就知道放在什么位置了——a.push(&zero);但是這樣的節點不能讓它打印出來，所以對應每個節點，有一個是否打印的標志，按理說pair結構很合適，為了簡單我用了并列的兩個隊列，一個放節點指針——a，一個放打印標志——flag。這樣一來，循環結束的標志就不能是隊列空——永遠都不可能空，碰到NULL就補一個節點——而是變成了到了滿二叉樹的最后一個節點2^(height+1)-1。——黃皮書對于樹高的定義是，空樹為的高度為－1。
對于輸出格式，注意的是到了第1、2、4、8號節點要換行，并且在同一行中，第一個節點的域寬是后序節點的一半。上面的函數在樹的層次少于等于5（height<=4）的時候能正常顯示，再多的話就必須輸出到文件中去ofstream outfile("out.txt");——如果層次再多的話，打印出來也沒什么意義了。
二叉搜索樹的實現
實際上就是在二叉樹的基礎上增加了插入、刪除、查找。
#include "BaseTree.h"
template <class T>
class BSTree : public BTree<T>
{
public:
BTNode<T>* &find(const T &data)
{
BTNode<T>** p = &root; current = NULL;
while(*p)
{
if ((*p)->data == data) break;
if ((*p)->data < data) { current = *p; p = &((*p)->right); }
else { current = *p; p = &((*p)->left); }
}
return *p;
}
bool insert(const T &data)
{
BTNode<T>* &p = find(data); if (p) return false;
p = new BTNode<T>(data, NULL, NULL, current); return true;
}
bool remove(const T &data)
{
return remove(find(data));
}
private:
bool remove(BTNode<T>* &p)
{
if (!p) return false; BTNode<T>* t = p;
if (!p->left || !p->right)
{
if (!p->left) p = p->right; else p = p->left;
if (p) p->parent = current;
delete t; return true;
}
t=p->right;while(t->left) t=t->left;p->data=t->data;current=t->parent;
return remove(current->left==t?current->left:current->right);
}
};
以上代碼有點費解，有必要說明一下——非線性鏈式結構操作的實現都是很讓人費神。insert和remove都是以find為基礎的，因此必須讓find能最大限度的被這兩個操作利用。
l 對于insert，需要修改查找失敗時的指針內容，顯然這是個內部指針（在雙親節點的內部，而不是象root和current那樣在節點外面指向節點），這就要求find返回一個內部指針的引用。但是C++的引用綁定到一個對象之后，就不能再改變了，因此在find內部的實現是一個二重指針。insert操作還需要修改插入的新節點的parent指針域，因此在find中要產生一個能被insert訪問的指向find返回值所在節點的指針，這里用的是current。實際上find返回的指針引用不是current->left就是current->right。這樣一來，insert的實現就非常簡單了。
l 對于remove，需要修改查找成功時的指針內容，同樣是個內部指針。在find的基礎上，很容易就能得到這個內部指針的引用(BTNode<T>* &p = find(data)。
? 在p->left和p->right中至少有一個為NULL
數據結構學習（C++）二叉樹