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我的SICP習題答案（1.24~1.28）

1.24
對于Fermat檢查，因為具有log n 的增長階，所以對于 n^2 和 n 的檢查的時間比理論上應該是 2：1，實際上，經過測試也比較接近，當n比較大時。
若與預計不符，可能因為 n 比較小，或者字長發生變化，比如 n > 2^32 （參見下題）

1.25
僅從理論分析，Alyssa 的改動不會引起增長階的變化，但實際上當 Fermat 檢查的 n 稍微大一點，速度就會很慢。主要原因就是 base^exp 是一個非常大的數，可能遠遠超過一個32位機字的表示范圍 2^32 ，在 scheme 里可能用若干個 32-bit 靠軟件實現運算，這將導致計算急速增長。無論是傳遞、運算還是求模。
實際上 1.22、1.23、1.24 的幾個題目可能都會遇到字長變化引起的計算速度突變。

1.26
Fermat 檢查正是因為連續求平方的求冪方法，使得的增長階變為 log n，而這均來源于 b^(2n) = (b^n)^2，Louis 的方法讓求冪又變成了連乘，b^(2n) = b^n*b^n = (b*b*...*b)*(b*b*...*b)，求冪的增長階變成了 O(n)，Fermat 檢查的增長階自然也變成了 O(n)。

1.27

(define (fermat-test n)
  (fermat-iter (- n 1) n))

(define (fermat-iter a n)
  (cond ((= a 0) #t)
        ((= (expmod a n n) a) (fermat-iter (- a 1) n))
        (else #f)))

1.28
首先來看，Fermat 小定理的一個變形：

p 是素數, 1<a<p, 有 a^p % p = a
==> a^p = kp + a ==> a^p - a = kp ==> a(a^(p-1)-1) = kp ==> a^(p-1) -1 = k'p
==> a^(p-1) % p = 1

這個變形就是題目中提到的，這個形式和費馬小定理是等價的（但是奇怪的是，我沒有發現已知的幾個Carmichael數能夠躲過這個變形的檢查，有待研究①）

再來看，miller-rabin 素性測試的原理：

p 是素數， 1<a<p, 且 a^2 % p = 1
==> (a^2-1) % p = 0 ==> (a+1)(a-1) % p =0
那么 a+1 % p = 0 或者 a-1 % p =0,
又 a<p 且 p 是素數，所以
a = 1 或者 a = p-1 （這兩個叫做 1模n的平凡平方根）

代碼如下：

(define (check-nontrivial-sqrt-of-one a n)
  (define (check-1? t)
    (if (and (> a 1)
             (< a (- n 1))
             (= t 1))
        0 t))
  (check-1? (remainder (square a) n)))

(define (expmod base exp m)
  (cond ((= exp 0) 1)
        ((even? exp)
         ;(remainder (square (expmod base (/ exp 2) m)) m))
         (check-nontrivial-sqrt-of-one (expmod base (/ exp 2) m) m))
        (else
         (remainder (* base (expmod base (- exp 1) m)) m))))

(define (miller-rabin-test n)
  (define (iter x n)
    (cond ((= x 0) #t)
          ((= (expmod x (- n 1) n) 1) (iter (- x 1) n))
          (else #f)))
  (iter (- n 1) n))

① 對于 Carmichael 數 n ，實際上不能完全通過 a^(n-1)%n = 1 的檢查，除非 a 與 n 互素，當 a 為 n 的素因子時，不能通過，比如 Carmichael 第一個 561 = 3*11*17，而 3^560%561 = 375 ≠ 1 。可以程序驗證這個。所以我認為，a^(n-1)%n = 1 的檢查比 a^n%n = a 的檢查更嚴格，是不是不存在合數通過完全的 a^(n-1)%n = 1 的檢查呢？我不敢說。但把這個結論暫時記在這里，希望能得到幫助或者反駁。2008-04-02 23:56

posted on 2008-03-31 00:21 cuigang 閱讀(1545) 評論(2) 編輯收藏引用所屬分類: Lisp/Scheme 、我的SICP答案

# re: 我的SICP習題答案（1.24~1.28）回復 更多評論

a^(n-1)%n = 1 跟 a^n%n = a 應該是完全等價的吧？

2009-03-25 21:10 | pgw

# re: 我的SICP習題答案（1.24~1.28）回復 更多評論

@pgw

好吧。。我錯了

2009-03-25 21:42 | pgw

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