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            CG@CPPBLOG
            
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            隨筆 - 76, 文章 - 39, 評論 - 137, 引用 - 0
            

            


            		
	
            

            

            
	
            
		
			
            
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			我的SICP習題答案（1.24~1.28）
		
            
		
            
		1.24
            對于Fermat檢查，因為具有log n 的增長階，所以對于 n^2 和 n 的檢查的時間比 理論上應該是 2：1， 實際上，經過測試也比較接近，當n比較大時。
            若與預計不符，可能因為 n 比較小，或者字長發生變化，比如 n > 2^32 （參見下題）

            1.25
            僅從理論分析，Alyssa 的改動不會引起增長階的變化，但實際上當 Fermat 檢查的 n 稍微大一點，速度就會很慢。主要原因 就是 base^exp 是一個非常大的數，可能遠遠超過 一個32位機字的表示范圍 2^32 ，在 scheme 里可能用若干個 32-bit 靠軟件實現運算，這將導致計算急速增長。無論是傳遞、運算還是求模。
            實際上 1.22、1.23、1.24 的幾個題目可能都會遇到字長變化引起的計算速度突變。

            1.26
            Fermat 檢查正是因為 連續求平方的求冪方法，使得的增長階變為 log n， 而這均來源于 b^(2n) = (b^n)^2，            Louis 的方法讓求冪又變成了連乘，b^(2n) = b^n*b^n = (b*b*...*b)*(b*b*...*b)，求冪的增長階變成了 O(n)，Fermat 檢查的增長階自然也變成了 O(n)。

            1.27
            

            (define (fermat-test n)
              (fermat-iter (- n             1) n))

            (define (fermat-iter a n)
              (cond ((            = a 0) #t)
                    ((            = (expmod a n n) a) (fermat-iter (- a 1) n))
                    (else #f)))
            

            1.28
            首先來看，Fermat 小定理的一個變形：

            p 是素數, 1<a<p, 有 a^p % p = a
            ==> a^p = kp + a ==> a^p - a = kp ==> a(a^(p-1)-1) = kp ==> a^(p-1) -1 = k'p
            ==> a^(p-1) % p = 1

            這個變形就是題目中提到的，這個形式和費馬小定理是等價的（但是奇怪的是，我沒有發現已知的幾個Carmichael數能夠躲過這個變形的檢查，有待研究①）

            再來看，miller-rabin 素性測試的原理：

            p 是素數， 1<a<p, 且 a^2 % p = 1
            ==> (a^2-1) % p = 0 ==> (a+1)(a-1) % p =0
            那么 a+1 % p = 0 或者 a-1 % p =0,
            又 a<p 且 p 是素數，所以
            a = 1 或者 a = p-1 （這兩個叫做 1模n的平凡平方根）

            代碼如下：
            

            (define (check-nontrivial-sqrt-of-one a n)
              (define (check-            1? t)
                (if (and (> a 1            )
                         (< a (- n             1))
                         (            = t 1))
                                0 t))
              (check-            1? (remainder (square a) n)))

            (define (expmod base exp m)
              (cond ((            = exp 0) 1)
                    ((even? exp)
                                 ;(remainder (square (expmod base (/ exp 2) m)) m))
                     (check-nontrivial-sqrt-of-one (expmod base (/ exp 2) m) m))
                    (else
                     (remainder (* base (expmod base (- exp             1) m)) m))))

            (define (miller-rabin-test n)
              (define (iter x n)
                (cond ((            = x 0) #t)
                      ((            = (expmod x (- n 1) n) 1) (iter (- x 1) n))
                      (else #f)))
              (iter (- n             1) n))
            

            ① 對于             Carmichael 數 n ，實際上不能完全通過 a^(n-1)%n = 1 的檢查，除非 a 與 n 互素，當 a 為 n 的素因子時，不能通過，比如 Carmichael 第一個 561 = 3*11*17， 而 3^560%561 = 375 ≠ 1 。可以程序驗證這個。 所以我認為，a^(n-1)%n = 1 的檢查比 a^n%n = a 的檢查更嚴格，是不是不存在合數通過完全的 a^(n-1)%n = 1 的檢查呢？我不敢說。但把這個結論暫時記在這里，希望能得到幫助或者反駁。2008-04-02 23:56


              
		
            
		
            
			posted on 2008-03-31 00:21 cuigang 閱讀(1545) 評論(2)  編輯 收藏 引用  所屬分類: Lisp/Scheme 、我的SICP答案 
		
            
	
            
	
	


	


            
	    
    


            

            評論
            
	
	
			
            
				
            
					# re: 我的SICP習題答案（1.24~1.28）  回復  更多評論
					  
				
            
				a^(n-1)%n = 1 跟 a^n%n = a 應該是完全等價的吧？
				
            
					2009-03-25 21:10 | pgw
				
            
			
            
		
			
            
				
            
					# re: 我的SICP習題答案（1.24~1.28）  回復  更多評論
					  
				
            
				@pgw

            

            好吧。。 我錯了
				
            
					2009-03-25 21:42 | pgw
				
            
			
            
		

            





            






            

				
			
            
		            		
	
            
	
            
		
			

		
	
            

            

    
    







            
	   
	



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