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什么數(shù)能被2，3，4，5，8，9整除，我想大家基本上都知道的。如果是7，11，13的話，可能知道的人就不多了。找到這個(gè)資料，發(fā)上來(lái)希望能幫助到大家。　

數(shù)的整除特征

　　①能被2整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù).“特征”包含兩方面的意義：一方面，個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)（包括0）的整數(shù)，必能被2整除；另一方面，能被2整除的數(shù)，其個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù)（包括0）.下面“特征”含義相似。

　　②能被5整除的數(shù)的特征：個(gè)位是0或5。

　　③能被3（或9）整除的數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被3（或9）整除。

　　④能被4（或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或25）整除。

　　例如：1864=1800＋64，因?yàn)?00是4與25的倍數(shù)，所以1800是4與25的倍數(shù).又因?yàn)?｜64，所以1864能被4整除.但因?yàn)?564，所以1864不能被25整除.

　　⑤能被8（或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或125）整除。

　　例如：29375＝29000＋375，因?yàn)?000是8與125的倍數(shù)，所以29000是8與125的倍數(shù).又因?yàn)?25｜375，所以29375能被125整除.但因?yàn)?375，所以829375。

　　⑥能被11整除的數(shù)的特征：這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減小）是11的倍數(shù)。

　　例如：判斷123456789這九位數(shù)能否被11整除？

　　解：這個(gè)數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶數(shù)位上的數(shù)字之和是8＋6＋4＋2＝20.因?yàn)?5—20＝5，又因?yàn)?1｜5，所以11｜123456789不能。

　　再例如：判斷13574是否是11的倍數(shù)？

　　解：這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因?yàn)?是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以11｜0.因此13574是11的倍數(shù)。

　　⑦能被7（11或13）整除的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減小）能被7（11或13）整除。

　　例如：判斷1059282是否是7的倍數(shù)？

　　解：把1059282分為1059和282兩個(gè)數(shù).因?yàn)?059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍數(shù)。

　　再例如：判斷3546725能否被13整除？

解：把3546725分為3546和725兩個(gè)數(shù).因?yàn)?546-725=2821.再把2821分為2和821兩個(gè)數(shù)，因?yàn)?21—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，進(jìn)而13｜3546725.

    數(shù)的整除性質(zhì)主要有：

    （1）如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。

    （2）如果兩個(gè)數(shù)都能被一個(gè)自然數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和與差都能被這個(gè)自然數(shù)整除。

    （3）如果一個(gè)數(shù)能分別被幾個(gè)兩兩互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)能被這幾個(gè)兩兩互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。

    （4）如果一個(gè)質(zhì)數(shù)能整除兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個(gè)自然數(shù)中的一個(gè)。

    （5）幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中一個(gè)因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個(gè)數(shù)整除。

    靈活運(yùn)用以上整除性質(zhì)，能解決許多有關(guān)整除的問(wèn)題。

    【例1】在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)□7358□□能分別被9，25和8整除。

分析與解：分別由能被9，25和8整除的數(shù)的特征，很難推斷出這個(gè)七位數(shù)。因?yàn)?，25，8兩兩互質(zhì)，由整除的性質(zhì)（3）知，七位數(shù)能被 9×25×8=1800整除，所以七位數(shù)的個(gè)位，十位都是0；再由能被9整除的數(shù)的特征，推知首位數(shù)應(yīng)填4。這個(gè)七位數(shù)是4735800。

    【例2】由2000個(gè)1組成的數(shù)111…11能否被41和271這兩個(gè)質(zhì)數(shù)整除？

分析與解：因?yàn)?1×271=11111，所以由每5個(gè)1組成的數(shù)11111能被41和271整除。按“11111”把2000個(gè)1每五位分成一節(jié)， 2000÷5=400，就有400節(jié)，

因?yàn)?000個(gè)1組成的數(shù)11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)（1）可知，由2000個(gè)1組成的數(shù)111…11能被41和271整除。

    【例3】現(xiàn)有四個(gè)數(shù)：76550，76551，76552，76554。能不能從中找出兩個(gè)數(shù)，使它們的乘積能被12整除？

分析與解：根據(jù)有關(guān)整除的性質(zhì)，先把12分成兩數(shù)之積：12=12×1=6×2=3×4。

要從已知的四個(gè)數(shù)中找出兩個(gè)，使其積能被12整除，有以下三種情況：

    （1）找出一個(gè)數(shù)能被12整除，這個(gè)數(shù)與其它三個(gè)數(shù)中的任何一個(gè)的乘積都能被12整除；

    （2）找出一個(gè)數(shù)能被6整除，另一個(gè)數(shù)能被2整除，那么它們的積就能被12整除；

    （3）找出一個(gè)數(shù)能被4整除，另一個(gè)數(shù)能被3整除，那么它們的積能被12整除。

    容易判斷，這四個(gè)數(shù)都不能被12整除，所以第（1）種情況不存在。

    對(duì)于第（2）種情況，四個(gè)數(shù)中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶數(shù)，所以可以選76554和76550，76554和76552。

    對(duì)于第（3）種情況，四個(gè)數(shù)中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以選76552和76551，76552和76554。

    綜合以上分析，去掉相同的，可知兩個(gè)數(shù)的乘積能被12整除的有以下三組數(shù)：76550和76554， 76552和76554， 76551和 7655

   【例4】在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能夠被11整除的數(shù)有哪些？

分析與解：從題設(shè)的條件分析，對(duì)所求五位數(shù)有兩個(gè)要求：

    ①各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43；

    ②能被11整除。

    因?yàn)槟鼙?1整除的五位數(shù)很多，而各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43的五位數(shù)較少，所以應(yīng)選擇①為突破口。有兩種情況：

    （1）五位數(shù)由一個(gè)7和四個(gè)9組成；

    （2）五位數(shù)由兩個(gè)8和三個(gè)9組成。

    上面兩種情況中的五位數(shù)能不能被11整除？9，8，7如何擺放呢？根據(jù)被11整除的數(shù)的特征，如果奇數(shù)位數(shù)字之和是27，偶數(shù)位數(shù)字之和是16，那么差是11，就能被11整除。滿足這些要求的五位數(shù)是： 97999，99979， 98989。

    【例5】能不能將從1到10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之和都能被3整除？

分析與解：10個(gè)數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗(yàn)顯然行不通。我們采用反證法。

假設(shè)題目的要求能實(shí)現(xiàn)。那么由題意，從前到后每?jī)蓚€(gè)數(shù)一組共有5組，每組的兩數(shù)之和都能被3整除，推知1～10的和也應(yīng)能被3整除。實(shí)際上，1～10的和等于55，不能被3整除。這個(gè)矛盾說(shuō)明假設(shè)不成立，所以題目的要求不能實(shí)現(xiàn)。

練習(xí)

1.已知4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？

2.如果兩個(gè)數(shù)的和是64，這兩個(gè)數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個(gè)數(shù)的差是多少？

3.173□是個(gè)四位數(shù)。數(shù)學(xué)老師說(shuō)：“我在這個(gè)□中先后填入3個(gè)數(shù)字，所得到的 3個(gè)四位數(shù)，依次可以被9，11，6整除。”問(wèn)：數(shù)學(xué)老師先后填入的3個(gè)數(shù)字之和是多少？班有多少名學(xué)生？6.能不能將從1到9的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個(gè)數(shù)之和都能被3整除？