對數學的再認識
邱崇光
不少同學對數學總這有一點畏懼感，對數學好的人有一種敬佩感。自己對數學總有一點信心不足，拿到一個新課本，一
翻，十分慶幸，好在數學公式不多，如果拿到一本書，中間數學推導公式多，就十分沮喪，甚至想回避。
大家都不是搞數學專業的，為什么非要講一講對數學的再認識、反復強調要學好數學？如何提高數學素養呢？我想，作為一個現代
大學生，數學是回避不了的。華羅庚在五十年代就說過：“宇宙之大、粒子之微、光箭之速、生物之迷、日用之繁，無處不用數學”。到了今天這個信息時代，可以
說每一項高新技術的背后都有著極其抽象的數學，高新技術本質上就是數學技術。我們想有所作為，要想取得突出的成就，必要的數學知識，較好的數學素養，較高
的數學思維是必須的，請注意我這里用了三個不同的定語，要求是逐步升高的。而且你們已不再是中學生，不是爸爸媽媽要送你讀書了，你們已進入人生悟性期，自
覺的理解意識正在升起，有的同學甚至對科研、創造、創新已躍躍欲試了，這很好。從課堂和書本里學來的只能是知識，是外來信息，人們最終需要開發和建立的是
自己的意識和悟性，當然知識也可以促進意識和悟性的迅速提高。在這個人生的春天季節里，我來和你們一起對數學整體性地溫習一次，鳥瞰一次，相信對你們是大
有好處的。
一、 從數學與其它學科的關系來看數學
就從數學的外部來論說這個問題。
1、
數學是一種語言，是一種科學的共同語言，若沒有數學語言，宇宙就是不可描述的，因而也就是永遠是無法理解的。任何一門科學只有使用了數學，才成其為一門科
學，否則就是不完善與不成熟的。社會在進步，它的數學化程度也正在不斷提高，數學語言已成為人類社會中交流和貯存信息的重要手段，宇宙和人類社會就是用數
學語言寫成的一本大書。
2、
培根（Ｂａｃｏｎ）說：“數學是打開科學大門的鑰匙”。忽視數學必將傷害所有的知識，因為忽視數學的人是無法了解任何其他科學乃至世界上任何其他事物的。
幾千年來，凡是有意義的科學理論與實踐成就，無一例外地借助于數學的力量。例如，沒有微積分就談不上力學和現代科學技術，沒有麥克斯威爾方程就沒有電波理
論，倫琴因發現X射線于1901成為諾貝爾的第一位獲獎人，記者問他需要什么時，他回答：“第一是數學，第二是數學，第三還是數學。”
3、
數學是一種工具，一種思維的工具。自然哲學認為：任何事物都是量和質的統一體，數學就是研究量的科學，它不斷地發現、總結和積累了很多人類對量的方面的規
律，這些都是人們認識世界的有力工具。這里舉兩個例子：一個是自然科學的，一個是社會科學的。我們企圖找到一個不經手術就可以準確確定人體內的器官位置、
密度和三維形狀的方法，可惜借助X射線只能繪出二維信息圖。這個問題難倒了工程師很多年，后來遇到數學家的工作，即Radon變換，考爾麥克把X射線從許
多不同角度照射人體，再運用計算機進行數學變換，導致CT數據透視儀的誕生，獲得了1979年的諾貝爾醫學獎。現在這一方法進一步推廣到核磁共振領域，使
圖像分辨率更高。從本質上說，這兩項技術只不過是，先大量測量一維的物理量，再用數學技巧來重構三維圖像而已。
另一個例子：現代經濟學家使
數學進入了經濟學領域，構建了平衡模型，可以預言自由市場的經濟行為，這方面的工作使阿洛（Arrow）獲得了諾貝爾經濟學獎，他的哈佛大學的同事看了這
篇得獎論文說，這些應用在數學中是很基本的，很多哈佛大學一年級學生就可以完成。可見掌握數學工具后，在其它領域中進行應用，并不是一件困難的事，而且有
時甚至是一個很大的成就。
4、
數學是一門藝術，一門創造性藝術。美是藝術的一種追求，美也是數學中一種公認的評價標準。數學的美體現在和諧性、對稱性、簡潔性，這三性上。數學家不斷地
追求美好的新概念、新方法、新結論，因此數學是創造性藝術。人們掌握了數學，可以陶冶人的美感，培養理性的審美能力，一個人數學造詣越深，越是擁有一種直
覺力，這種直覺力實際就是理性的洞察力、由美感驅動的選擇力，最終成為創造美好新世界的驅動力。
這里突出地談一談簡潔性。
A、數學問題提得簡潔。這是因為數學突出了本質的因素，必然是簡潔的。例如尺規作圖三分角問題。
B、數學語言是精煉的。例如歐拉公式：ｅix
=ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ．把實數域中看不出有任何聯系的指數函數和三角函數在復數域中巧妙地聯系在一起。
其特例：ｅｉπ＋１＝０把0、1、ｉ、e、π五個重要常數簡單而巧妙的結合在一
起，太神奇了。
又如，愛因斯坦把茫茫宇宙中的質能關系，用Ｅ＝ＭＣ２
簡單地表達出來，簡單得令人拍案叫絕。
C、數學概念是簡潔的。數學概念的內涵歷經滄桑，千錘百煉，每一次變化都使概念更加清晰和更具一般性。例如函數概念：1673年，萊布尼茲定義：函數
就象曲線上的點的坐標那樣隨點的變化而變動。1821年，柯西定義：對于X的每個值，如果Y有完全確定的值與之對應，則Y叫做X的函數。近代定義：設有
A、B是非空的集合，Ｆ是A到B的一個對應法則，則A到B的Ｆ映射：A→B稱為A到B上的函數。一步一步更簡潔、更具一般性。
D、數學證明是簡潔的。數學的目的就是盡可能用簡單而基本的詞匯盡可能地解釋世界。因此，如果我們積累的經驗要一代一代傳下去的話，就必須不斷地努力
把它們加以簡化和統一。
二、 從數學自身的研究對象來看數學
就是從數學內部來看數學。
恩格斯說：數學是現實世界中的空間形式與數量關系。數學就是研究數量、形狀和他們之間關系的科學，這是數學的三大領域。當前數學還在發展，目前已經發
展成為包括一百多個分枝的龐大系統。數學已經不是原來人們頭腦中僅僅是數和形，僅僅是陳景潤的概念了。隨著計算機的發明和技術迅速提高，數學學科也進入了
新的黃金時代。數學包括三個方面，模式、結構和模擬現實世界。它不光是理論，也是能力，是文化，是素質。
１、 數學發生圖
數學可分為五大學科：純粹（基礎）數學、應用數學、計算數學、運籌與控制、概率論與數理統計。
應用數學則以以上數學為綜合理論基礎，可分為：價值數學、運籌學、數理統計學、系統科學、決策論等。目前又發展出混沌、小波變換、分形幾何等。
２、 算術
人類逐步有了數的概念，由自然數開始。由于人有十個手指，所以多數民族建立了十進位制的自然數表示方法。二十個一組的太多太大，不能一目了然，還要用
上腳趾，五個一組又太少，使組數太多，十個一組是比較會讓人喜愛的折衷方法。有古巴比侖記數法、希臘記數法、羅馬記數法、中國記數法，發展進步了5000
年后，印度人第一次發明了零，零加自然數稱為為整數，傳入伊斯蘭世界形成目前通用的阿拉伯數字。計算機的出現又需要二進位制，就是近幾十年的事了。
算術運算起步只需要有加法的概念，乘是多次加的簡化運算，減是加的逆運算，除是乘的逆運算，這就是四則運算。除法很快導致了分數的出現，以十、百等為分母
的除法，簡化表達就是小數和循環小數。不是擁有錢而是欠人的錢如何表示，這就出現了負數，以上這些數放在一起，就是有理數，可以表示在一個數軸上。
人們曾經很長時間以為數軸上的數都是有理數，后來有人發現，正方形的邊是1，它的對角線長度就無法用有理數表示，用園規在數軸上找到那個對應點就是無理數
的點，這是第一次數學危機。1761年德國物理學家和數學家蘭伯盧格嚴格證明了π也是一個無理數，這樣把無理數包入之后，有理數與無理數統稱為實數，數軸
也稱之為實數軸。后來人們發現，如果在實數軸上隨機的抽取，得到有理數的概率幾乎是零，得到無理數的概率幾乎是１，無理數比有理數多得多。為什么會如此，
因為我們生活的這個客觀世界，本來就是無理的多過有理的。
為了解決負數的開平方是什么，16世紀出了虛數ｉ，虛軸與實軸垂直交叉形成一個復平面，數也發展成為由虛部和實部組成的復數。數的概念會不會繼續發展，我
們試目以待。
3、代數
對實數的運算進入代數學階段，有“加、減、乘、除、乘方、開方、指數、對數”八則，用符號代表數，列出方程，求解方程成了比算術更有力的武器。這個時期稱
為初等數學，從５世紀一直到17世紀，大約持續了一千多年。初等數學是常數的數學。對一組數群體性質的研究就導致線性代數。
4、幾何
以上是研究數的，在研究形方面也平行的發展著，古希臘的歐幾里得用公理化的方法，構建了幾何學是最輝煌的成就。二千多年前的平面幾何成就已經與目前中
學幾何教科書幾乎一樣了。他們還了解了眾多曲線的性質，在計算復雜圖形的面積時，接近了高等數學。還初步了解到三角函數的值。在幾何學方面，后來進一步發
展出非歐幾何，包括羅巴切夫幾何、黎曼幾何、圖論和拓撲學等分支。
直到17世紀，笛卡爾的工作終于把平行發展的代數與幾何聯系起來，除建立了平面坐標系之外，還完善了目前通行的符號運算系統。
5、變量數學
變化著的量以及它們間的依賴關系，產生了變量與函數的概念，研究函數的領域叫數學分析，其主要內容是微積分，牛頓由物理力學推動了微積分的產生，萊布尼茲
從數學中求曲線多邊形的面積出發推動了微積分的發現，兩人的工作殊途同歸，目前的微積分符號的記法，都是萊布尼茲最先采用的。他們都運用了極限的概念和無
窮小的分析方法。
有了微積分，一系列分支出現了，如級數理論、微分方程、偏微分方程、微分幾何等等。級數是無窮項數列的求和問題，微分方程是另一類方程，它們的解不是數而
是函數，多元的情況下就出現了偏微分概念和偏微分方程。微分幾何是關于曲線和曲面的一般理論，將實數分析的方法推廣到復數域中就產生了復變函數論。
6、概率論和數理統計
前面涉及的數量，無論是常量還是變量都是確定的量，但自然界中存在大量的隨機現象，其中存在很多不確定的、不可預測
的量、是具有偶然性的量，這就由賭博中產生了概率論及其統計學等相關分枝。
７、模糊數學
前面涉及的數量，無論是常量還是變量都是“準確”的量，但自然界中存在大量的不準確現象，人為地準確化只能使我們對客觀世界的描述變得不準確。“乏晰
數學”Ｆｕｚｚｙ就是以這種思想觀點和方法研究問題的數學。
三、什么是數學素養
數學素養屬于認識論和方法論的綜合性思維形式,它具有概念化、抽象化、模式化的認識特征。具有數學素養的人善于把數學中的概念結論和處理方法推廣應用
于認識一切客觀事物，具有這樣的哲學高度和認識特征。具體說，一個具有“數學素養”的人在他的認識世界和改造世界的活動中，常常表現出以下特點：
１、 在討論問題時，習慣于強調定義（界定概念），強調問題存在的條件；
２、 在觀察問題時，習慣于抓住其中的（函數）關系，在微觀（局部）認識基礎上進一步做出多因素的全局性（全空間）考慮；
３、
在認識問題時，習慣于將已有的嚴格的數學概念如對偶、相關、隨機、泛涵、非線性、周期性、混沌等等概念廣義化，用于認識現實中的問題。比如可以看出價格是
商品的對偶，效益是公司的泛涵等等。
更通俗地說，數學素養就是數學家的一種職業習慣，“三句話不離本行”，我們希望把我們的專業搞得更好，更精密更嚴
格，有些這種優秀的職業習慣當然是好事。人的所有修養，有意識的修養比無意識地、僅憑自然增長地修養來得快得多。只要有這樣強烈的要求、愿望和意識，堅持
下去人人都可以形成較高的數學素養。
一位名家說：真正的數學家應能把他的東西講給任何人聽得懂。因為任何數學形式再復雜，總有它簡單的思想實質，因而
掌握這種數學思想總是容易的，這一點在大家學習數學時一定要明確。在現代科學中數學能力、數學思維十分重要，這種能力不是表現在死記硬背，不光表現在計算
能力，在計算機時代特別表現在建模能力，建模能力的基礎就是數學素養。思想比公式更重要，建模比計算更重要。學數學，用數學，對它始終有興趣，是培養數學
素養的好條件、好方法、好場所。希望同學們消除對數學的畏懼感，培養對數學的興趣，增進學好數學的信心，了解更多的現代數學的概念和思想、提高數學悟性和
數學意識、培養數學思維的習慣。
請注意，我們往往只注意到數學的思想方法中嚴格推理的一面，它屬于“演繹”的范疇，其實，數學修養中也有對偶的一
面――“歸納”，稱之為“合情推理”或“常識推理”，它要求我們培養和運用靈活、猜想和活躍的思維習慣。
下面舉一個例子，看看數學素養在其中如何發揮作用。１８世紀德國哥德堡有一條河，河中有兩個島，兩岸于兩島間架有
七座橋。問題是：一個人怎樣走才可以不重復的走遍七座橋而回到原地。這個問題好像與數學關系不大，它是幾何問題，但不是關于長度、角度的歐氏幾何。很多人
都失敗了，歐拉以敏銳的數學家眼光，猜想這個問題可能無解（這是合情推理）。然后他以高度的抽象能力，把問題變成了一個“一筆畫”問題，建模如下：能否從
一個點出發不離開紙面地畫出所有的連線，使筆仍回到原來出發的地方。
以下開始演繹分析，一筆畫的要求使得圖形有這樣的特征：除起點與終點外，一筆畫問題中線路的交岔點處，有一條線進
就一定有一條線出，故在交岔點處匯合的曲線必為偶數條。七橋問題中，有四個交叉點處都交匯了奇數條曲線，故此問題不可解。歐拉還進一步證明了：一個連通的
無向圖，具有通過這個圖中的每一條邊一次且僅一次的路，當且僅當它的奇數次頂點的個數為０或為２。這是他為數學的一個新分枝――圖論所作的奠基性工作，后
人稱此為歐拉定理。
這個例子是使用數學思維解決了現實問題，另一個例子“正電子”的發現正好相反，是先有數學解，預言了現實問題。1928年英國物理學家狄拉克在研究量
子力學時得到了一個描述電子運動的Dirac方程，由于開平方，得到了正負兩個完全相反的解，也就是說，這個方程除了可以描述已知的帶負電的電子的運動，
還描述了除了電荷是正的以外，其他結構、性質與電子一樣的反粒子的運動。1932年物理學家安德森在宇宙射線中得到了正電子，并于1936年獲得諾貝爾物
理學獎。我國物理學家趙忠堯1930年正在加州理工學院讀研究生，他的試驗結果一出來，安德森在他的辦公室隔壁辦公，他受啟發，立刻意識到試驗結果表明：
一種尚未認知的物質出現了，進一步做工作獲得成功，趙忠堯與諾貝爾獎擦肩而過。
四、如何提高數學修養
要講這個題目確實很困難，要提高數學素養只有自己去探索、去總結，世界上沒有一種萬能的學習方法對所有人都適用，
可是回避這個問題，又十分遺憾。我們還是用一個折衷的辦法：介紹數學中一個人和一件事，相信青年朋友們能從其中得到許多力量和啟迪。
１、讀讀歐拉
1707年4月15日，歐拉Euler ( 1707-1783)
出生于瑞士，在大學時受到著名教授伯努利及其家族的影響，閱讀了不少數學家的原著，17歲獲得碩士學位，18歲開始發表數學論文，26歲成為數學教授、科
學院院士。
他一生論著數量巨大，涉獵面廣，開創性成果多，發表論文和著作500多篇（部），加上生前未及出版和發表的手稿共
886篇（部）之多。在數學的各領域，及物理學、天文學工程學中留下了舉不勝數的數學公式、數學定理。如歐拉常數、歐拉恒等式、歐拉級數、歐拉積分、歐拉
微分方程、歐拉準則、歐拉變換、歐拉坐標、歐拉求積公式、歐拉方程、歐拉剛體運動方程，歐拉流體力學方程等。
歐拉有堅忍的毅力和勤奮刻苦的拼搏精神。他28歲時，為計算彗星的軌跡，奮戰三天三夜，因過度勞累，患了眼疾，使
右眼失明，又不顧眼病回到嚴冷的俄國彼得堡工作，左眼也很快視力減退，他深知自己將會完全失明，沒有消沉和倒下，他抓緊時間在黑板上疾書他發現的公式，或
口述其內容，讓人筆錄。雙目失明后，他的寢室失火，燒毀了所有的專著和手搞，后來妻子又病故了，他在所有這些不幸面前不僅沒有退縮，而是以非凡的毅力繼續
拼搏，他以罕見的記憶力和心算能力，繼續研究，讓人筆錄，直到生命的最后一刻。在雙目失明的17年中，他口授論文達400篇和幾本書，包括經典名著《積分
學原理》，《代數基礎》。
歐拉學識淵博品德高尚，非常注重培養與選拔人才，當時19歲的拉格朗日把自己對“等周問題”的研究成果寄給他，他
發現其解決問題的方法解題與自己的不同，立即熱情的給予贊揚，并決定暫不發表自己的成果，使年輕的拉格朗日先后兩次榮獲巴黎科學院的科學獎，后來他又推薦
30歲的拉格朗日代替自己任科學院物理數學所所長，他的品德贏得了全世界的尊敬。他晚年的時候，全世界的大數學家都尊稱他為“我的老師”。法國著名的數學
家、天文學家拉普拉斯曾多次深情地說：“ 讀讀歐拉，他是大家的老師”，他不愧為“數學家之英雄”，他這種精神境界至今仍是年輕人學習的榜樣。
2、關于費馬（Fermat，1601－1665）大定理的證明
法國業余數學家費馬猜想：Xｎ ＋ Yｎ ＝Zｎ
，對于大于2的整數，不存在x，y，z的非零整數解。他在一本算術書的頁邊空白處寫著“我對此有一種奇妙的證明，只是此處空白太小寫不下”。后人稱此為費
馬大定理，人們曾查遍他的手稿和用過的書籍，始終未能得到這個證明。后來的事實證明，這是難于上青天的事。萊布尼茲、高斯、歐拉、柯西
等大數學家都失敗了，僅在1909年到1911年這三年間就有一千多篇論文，提出各種證明都因為不嚴格而否定，幾百年來有人廢寢忘食，有人神魂顛倒，甚至
于有人失敗后自殺了。
韋爾斯（
Wｉｌeｓ）1953年生于英國劍橋，1977年在劍橋大學獲博士學位，1982年成為普林斯頓大學數學教授，他在10歲時就被費馬大定理迷住了，立志要
證明它。1986年他開始下決心要征服這個難題。當教授必須每年發表論文，否則影響職務和前途，這個難題不知道何時才能征服，是否能成為論文都很難說，他
想了個兩全之策，他將其它項目中的成果寫成幾篇論文，留著以后慢慢發表。他深知必須運用最近的數學成果和創造出新的方法才能解決這個問題。為了避免干擾，
他閉門謝客，只有妻子知道此事，七年后，他完成了證明的論文。1993年6月21日他應邀在劍橋大學的國際數學會議上宣讀論文。當時座無虛席，他的論文朗
讀了3天，黑板上寫了擦，擦了又寫，幾萬名聽眾急于想聽到結果。到6月23日快結束時，他最終在黑板上寫出了費馬大定理，然后轉身過來，謙遜地說，我想就
到此為止了，大廳響起熱烈的掌聲，消息立刻傳遍了世界。韋爾斯被“人物”（people）雜志列為與克林頓、黛安娜王妃齊名的本年最有魅力人物。
可惜高興得太早，不久后他自己給數學界同行發了一個電子郵件，信中說到他發現證明中有漏洞，這可不是小事，如果仍
舊解決不了，一環扣一環的證明將全部瓦解，七載心血將付諸東流，將不成熟的論文公開發表也是十分難堪的事情。但是他不灰心，在最艱難的日子里，他的好友薩
爾納克（Ｓａｒｎａｋ）不僅鼓勵他，并提議他找一位值得依靠的年輕幫手，經過考慮，他邀請他在英國的學生――劍橋大學講師泰勒（Ｔａｙｌｏｒ）一起工作，
又經過一年的功夫終于把漏洞部分補上了。
1994年8月國際數學大會在蘇黎世又召開大會，他做了最后的報告，人們熱烈地鼓掌，肯定了他們部分證明了預備定理的成績和數論方面的其它成果。又過了2
個月，在1994年9月19日的早晨，他與泰勒討論問題時，突然有了新的想法，又經過一個月的努力終于取得了完全的證明。1994年10月25日，他們向
數學界的朋友發了另一個電子郵件， 由兩篇論文組成，第一篇是“模橢圓曲線與費馬最后定理”，作者韋爾斯 ，第二篇是“某些Ｈｏｏｋｅ代數環論的性質”
作者是泰勒和韋爾斯 。第一篇長文證明了費馬定理，其中關鍵一步依賴于第二篇短文。
這一次人們十分謹慎，直到1998年（四年以后）在柏林舉行的國際數學大會上，第一次向45歲上的數學家頒發了一個費爾茲（Fields）特別獎，正
式承認他們卓越貢獻。證明過程中開辟了好多數學的新領域與使用了很多新的方法，證明了很多新的猜想與得到許多新的定理，為數學的發展，特別是在數論的重要
分支——代數數論和環論方面做出了重要貢獻，上述前仆后繼、艱苦卓絕的證明的現實意義也在于此。
講到這里我覺得自己的任務差不多完成了，讓我們再一次回到這次講話的初衷：習慣優秀才是真正的優秀，數學素養才是高層次的素養。希望大家能夠在今后的
學習中，重視數學課的學習，更要重視數學思維的培養，努力提高自己的數學素養。
邱崇光先生，湖北武漢人，教授。