邱崇?nbsp;
不少同学Ҏ学总这有一点畏惧感Q对数学好的人有一U敬佩感。自己对数学L一点信心不I拿到一个新课本Q一 ,十分庆幸Q好在数学公式不多,如果拿到一本书Q中间数学推导公式多Q就十分沮Q甚x回避?nbsp;
大家都不是搞数学专业的,Z么非要讲一讲对数学的再认识、反复强调要学好数学Q如何提高数学素dQ我惻I作ؓ一个现?
大学生,数学是回避不了的。华|庚在五十年代就说过Q?#8220;宇宙之大、粒子之微、光之速、生物之q日用之J,无处不用数学”。到了今天这个信息时代,可以
说每一w新技术的背后都有着极其抽象的数学,高新技术本质上是数学技术。我们想有所作ؓQ要惛_得突出的成就Q必要的数学知识Q较好的数学素养Q较?
的数学思维是必ȝQ请注意我这里用了三个不同的定语Q要求是逐步升高的。而且你们已不再是中学生,不是爸爸妈妈要送你M了,你们已进入h生悟性期Q自
觉的理解意识正在升vQ有的同学甚臛_U研、创造、创新已跃跃Ʋ试了,q很好。从译֠和书本里学来的只能是知识Q是外来信息Qh们最l需要开发和建立的是
自己的意识和悟性,当然知识也可以促q意识和悟性的q速提高。在q个人生的春天季节里Q我来和你们一起对数学整体性地温习一ơ,鸟瞰一ơ,怿对你们是?
有好处的?nbsp; 2?
ҎQaconQ说Q?#8220;数学是打开U学大门的钥?#8221;。忽视数学必伤x有的知识Q因为忽视数学的人是无法了解M其他U学乃至世界上Q何其他事物的?
几千q来Q凡是有意义的科学理Z实践成就Q无一例外地借助于数学的力量。例如,没有微积分就谈不上力学和CU学技术,没有麦克斯威方E就没有甉|L?
论,伦琴因发现X线?901成ؓ的W一位获奖hQ记者问他需要什么时Q他回答Q?#8220;W一是数学,W二是数学,W三q是数学?#8221; 3?
数学是一U工P一U思维的工兗自然哲学认为:M事物都是量和质的l一体,数学是研究量的U学Q它不断地发现、ȝ和积累了很多人类寚w的方面的?
律,q些都是Z认识世界的有力工兗这里D两个例子Q一个是自然U学的,一个是C会U学的。我们企图找C个不l手术就可以准确定Z内的器官位置?
密度和三lŞ状的ҎQ可惜借助X线只能l出二维信息图。这个问题难倒了工程师很多年Q后来遇到数学家的工作,即Radon变换Q考尔麦克把X线从许
多不同角度照h体,再运用计机q行数学变换Q导致CT数据透视仪的诞生Q获得了1979q的医学奖。现在这一Ҏq一步推q到核磁共振领域Q
囑փ分L率更高。从本质上说Q这两项技术只不过是,先大量测量一l的物理量,再用数学技巧来重构三维囑փ而已?/p>
另一个例子:Cl济学家?
数学q入了经学领域Q构Zq模型Q可以预a自由市场的经行为,q方面的工作佉Kz(ArrowQ获得了经学奖,他的哈佛大学的同事看了这
得奖论文说Q这些应用在数学中是很基本的Q很多哈佛大学一q学生可以完成。可见掌握数学工具后Q在其它领域中进行应用,q不是一件困隄事,而且?
时甚x一个很大的成就?br>
q里H出地谈一谈简z性?/p>
A、数学问题提得简z。这是因为数学突Z本质的因素,必然是简z的。例如尺规作图三分角问题?br>
B、数学语a是精炼的。例如欧拉公式:?sup>ix
=cosxQisinxQ把实数域中看不出有M联系的指数函数和三角函数在复数域中y妙地联系在一赗?
其特例:?sup>?#960;Q1Q0??、i、e?#960;五个重要常数单而y妙的l合在一
P太神奇了?
又如Q爱因斯坦把茫茫宇宙中的质能关系Q用Q=QEQ?/sup>
单地表达出来Q简单得令h拍案叫绝?br>
Q?数学发生?
数学可分Z大学U:UaQ基Q数学、应用数学、计数学、运{与控制、概率论与数理统计?nbsp; Q?术
术q算h只需要有加法的概念,乘是多次加的化运,减是加的逆运,除是乘的逆运,q就是四则运。除法很快导致了分数的出玎ͼ以十、百{ؓ分母
的除法,化表辑ְ是小数和循环数。不是拥有钱而是Ơh的钱如何表示Q这出C负数Q以上这些数攑֜一P是有理敎ͼ可以表示在一个数轴上?
Z曄很长旉以ؓ数u上的数都是有理数Q后来有人发玎ͼ正方形的Ҏ1Q它的对角线长度无法用有理数表C,用园规在数u上找到那个对应点是无理?
的点Q这是第一ơ数学危机?761qd国物理学家和数学家兰伯卢gD明了π也是一个无理数Q这h无理数包入之后,有理C无理数统UCؓ实数Q数?
也称之ؓ实数轴。后来h们发玎ͼ如果在实数u上随机的抽取Q得到有理数的概率几乎是Ӟ得到无理数的概率几乎是1Q无理数比有理数多得多。ؓ什么会如此Q?
因ؓ我们生活的这个客观世界,本来是无理的多q有理的?
Z解决负数的开qx是什么,16世纪Z虚数i,虚u与实轴垂直交叉Ş成一个复q面Q数也发展成为由虚部和实部组成的复数。数的概念会不会l箋发展Q我
们试目以待?
3、代?/strong>
对实数的q算q入代数学阶D,?#8220;加、减、乘、除、乘斏V开斏V指数、对?#8221;八则Q用W号代表敎ͼ列出方程Q求解方E成了比术更有力的武器。这个时期称
为初{数学,从5世纪一直到17世纪Q大U持l了一千多q。初{数学是常数的数学。对一l数体性质的研I就DU性代数?
4、几?/strong> 5、变量数?/strong>
变化着的量以及它们间的依赖关系Q生了变量与函数的概念Q研I函数的领域叫数学分析,其主要内Ҏ微积分,牛顿q理力学推动了微积分的产生Q莱布尼?
从数学中求曲U多边Ş的面U出发推动了微积分的发现Q两人的工作D途同归,目前的微U分W号的记法,都是莱布兹最先采用的。他们都q用了极限的概念和无
I小的分析方法?
有了微积分,一pd分支出现了,如数理论、微分方E、偏微分方程、微分几何等{。数是无穷Ҏ列的求和问题Q微分方E是另一cLE,它们的解不是数?
是函敎ͼ多元的情况下出C偏微分概念和偏微分方E。微分几何是关于曲线和曲面的一般理论,实数分析的Ҏ推广到复数域中就产生了复变函数论?
6、概率论和数理统?br>
前面涉及的数量,无论是常量还是变量都是确定的量,但自然界中存在大量的随机现象Q其中存在很多不定的、不可预?
的量、是h偶然性的量,q就p博中产生了概率论及其l计学等相关分枝?
Q、模p数?/strong> 更通俗地说Q数学素d是数学家的一U职业习惯,“三句话不L?#8221;Q我们希望把我们的专业搞得更好,更精密更?
|有些q种优秀的职业习惯当然是好事。h的所有修养,有意识的修养比无意识地、仅凭自然增长地修养来得快得多。只要有q样强烈的要求、愿望和意识Q坚?
下去Zh都可以Ş成较高的数学素养?
一位名家说Q真正的数学家应能把他的东西讲给M人听得懂。因ZQ何数学Ş式再复杂QL它简单的思想实质Q因?
掌握q种数学思想LҎ的,q一点在大家学习数学时一定要明确。在CU学中数学能力、数学思维十分重要Q这U能力不是表现在死记背Q不光表现在计算
能力Q在计算机时代特别表现在建模能力Q徏模能力的基础是数学素养。思想比公式更重要Q徏模比计算更重要。学数学Q用数学Q对它始l有兴趣Q是培养数学
素养的好条g、好Ҏ、好场所。希望同学们消除Ҏ学的畏惧感,培养Ҏ学的兴趣Q增q学好数学的信心Q了解更多的C数学的概念和思想、提高数学悟性和
数学意识、培L学思维的习惯?
h意,我们往往只注意到数学的思想Ҏ中严格推理的一面,它属?#8220;演绎”的范_其实Q数学修M也有对偶的一
面―?#8220;归纳”Q称之ؓ“合情推理”?#8220;常识推理”Q它要求我们培养和运用灵zR猜惛_z跃的思维习惯?
下面举一个例子,看看数学素养在其中如何发挥作用。1Q世Ud国哥德堡有一条河Q河中有两个岛,两岸于两岛间架有
七桥。问题是Q一个h怎样走才可以不重复的走遍七桥而回到原地。这个问题好像与数学关系不大Q它是几何问题,但不是关于长度、角度的Ƨ氏几何。很多h
都失败了Q欧拉以敏锐的数学家眼光Q猜惌个问题可能无解(q是合情推理Q。然后他以高度的抽象能力Q把问题变成了一?#8220;一W画”问题Q徏模如下:能否?
一个点出发不离开UR地画出所有的q线QɽW仍回到原来出发的地斏V?
以下开始演l分析,一W画的要求得图形有q样的特征:除v点与l点外,一W画问题中线路的交岔点处Q有一条线q?
׃定有一条线出,故在交岔点处汇合的曲U必为偶数条。七桥问题中Q有四个交叉点处都交汇了奇数条曲U,故此问题不可解。欧拉还q一步证明了Q一个连通的
无向图,h通过q个图中的每一条边一ơ且仅一ơ的路,当且仅当它的奇数ơ顶点的个数为0或ؓQ。这是他为数学的一个新分枝――图论所作的奠基性工作,?
人称此ؓƧ拉定理?br>
要讲q个题目实很困难,要提高数学素d有自己去探烦、去ȝQ世界上没有一U万能的学习ҎҎ有h都适用Q?
可是回避q个问题Q又十分遗憾。我们还是用一个折L办法Q介l数学中一个h和一件事Q相信青q朋友们能从其中得到许多力量和启q?
1707q??5日,Ƨ拉Euler ( 1707-1783)
出生于瑞士,在大学时受到著名教授伯努利及其家族的影响Q阅M不少数学家的原著Q?7岁获得硕士学位,18岁开始发表数学论文,26岁成为数学教授、科
学院院士?
他一生论著数量巨大,涉猎面广Q开创性成果多Q发表论文和著作500多篇Q部Q,加上生前未及出版和发表的手稿?
886(部)之多。在数学的各领域Q及物理学、天文学工程学中留下了D不胜数的数学公式、数学定理。如Ƨ拉常数、欧拉恒{式、欧拉数、欧拉积分、欧?
微分方程、欧拉准则、欧拉变换、欧拉坐标、欧拉求U公式、欧拉方E、欧拉刚体运动方E,Ƨ拉体力学方程{?
Ƨ拉有坚忍的毅力和勤奋刻苦的拼搏_。他28岁时Qؓ计算彗星的轨q,奋战三天三夜Q因q度劳篏Q患了眼疾,?
右眼失明Q又不顾眼病回到严冷的俄国彼得堡工作Q左g很快视力减退Q他q自己会完全失明Q没有消沉和倒下Q他抓紧旉在黑板上疾书他发现的公式Q或
口述其内容,让hW录。双目失明后Q他的寝室失火,烧毁了所有的专著和手搞,后来d又病故了Q他在所有这些不qR前不仅没有退~,而是以非凡的毅力l箋
拼搏Q他以罕见的记忆力和心算能力Ql研IӞ让hW录Q直到生命的最后一刅R在双目失明?7q中Q他口授论文?00和几本书,包括l典名著《积?
学原理》,《代数基》?
Ƨ拉学识渊博品d高尚Q非常注重培M选拔人才Q当?9岁的拉格朗日把自己对“{周问题”的研I成果寄l他Q他
发现其解决问题的Ҏ解题与自q不同Q立即热情的l予赞扬Qƈ军_暂不发表自己的成果,使年ȝ拉格朗日先后两次荣获巴黎U学院的U学奖,后来他又推荐
30岁的拉格朗日代替自己ȝ学院物理数学所所长,他的品d赢得了全世界的尊敬。他晚年的时候,全世界的大数学家都尊UC?#8220;我的老师”。法国著名的数学
家、天文学家拉普拉斯曾多次深情地说Q?#8220; 读读Ƨ拉Q他是大家的老师”Q他不愧?#8220;数学家之英雄”Q他q种_境界至今仍是q轻人学习的榜样?
韦尔斯(
Wiles)1953q生于英国剑桥,1977q在剑桥大学获博士学位,1982q成为普林斯大学数学教授,他在10岁时p贚w大定理迷住了Q立志要
证明它?986q他开始下军_要征服这个难题。当教授必须每年发表论文Q否则媄响职务和前途,q个N不知道何时才能征服,是否能成文都很难_?
想了个两全之{,他将其它目中的成果写成几篇论文Q留着以后慢慢发表。他q必须q用最q的数学成果和创造出新的Ҏ才能解决q个问题。ؓ了避免干扎ͼ
他闭门谢客,只有d知道此事Q七q后Q他完成了证明的论文?993q??1日他应邀在剑桥大学的国际数学会议上宣读论文。当时无虚席,他的论文?
M3天,黑板上写了擦Q擦了又写,几万名听众急于惛_到结果。到6?3日快l束Ӟ他最l在黑板上写Z贚w大定理,然后转nq来Q谦逊地_我想?
到此为止了,大厅响v热烈的掌壎ͼ消息立刻传遍了世界。韦斯?#8220;人物”QpeopleQ杂志列Z克林ѝ黛安娜王妃齐名的本q最有魅力h物?
一?从数学与其它学科的关pL看数?/strong>
׃数学的外部来q个问题?br>
1?
数学是一U语aQ是一U科学的共同语言Q若没有数学语言Q宇宙就是不可描q的Q因而也是永远是无法理解的。Q何一门科学只有用了数学Q才成其Z门科
学,否则是不完善与不成熟的。社会在q步Q它的数学化E度也正在不断提高,数学语言已成Zhcȝ会中交流和贮存信息的重要手段Q宇宙和人类C会是用数
学语a写成的一本大书?/p>
4?
数学是一门艺术,一门创造性艺术。美是艺术的一U追求,也是数学中一U公认的评h标准。数学的体现在和谐性、对U性、简z性,q三性上。数学家不断?
q求好的新概念、新Ҏ、新l论Q因此数学是创造性艺术。h们掌握了数学Q可以陶冶h的美感,培养理性的审美能力Q一个h数学造诣深Q越是拥有一U直
觉力Q这U直觉力实际是理性的z察力、由感驱动的选择力,最l成为创造美好新世界的驱动力?/p>
C、数学概忉|z的。数学概늚内涵历经沧桑Q千锤百|每一ơ变化都使概忉|加清晰和更具一般性。例如函数概念:1673q_莱布兹定义Q函?
p曲线上的点的坐标那样随点的变化而变动?821q_柯西定义Q对于X的每个|如果Y有完全确定的g之对应,则Y叫做X的函数。近代定义:设有
A、B是非I的集合Qu是A到B的一个对应法则,则A到B的u映射QA→BUCؓA到B上的函数。一步一步更z、更具一般性?br>
D、数学证明是z的。数学的目的是可能用单而基本的词汇可能地解释世界。因此,如果我们U篏的经验要一代一代传下去的话Q就必须不断地努?
把它们加以简化和l一?br>
二?从数学自w的研究对象来看数学
是从数学内部来看数学?br>
恩格斯说Q数学是现实世界中的I间形式与数量关pR数学就是研I数量、Ş状和他们之间关系的科学,q是数学的三大领域。当前数学还在发展,目前已经?
展成为包括一癑֤个分枝的庞大pȝ。数学已l不是原来h们头脑中仅仅是数和ŞQ仅仅是陈景润的概念了。随着计算机的发明和技术迅速提高,数学学科也进入了
新的黄金时代。数学包括三个方面,模式、结构和模拟现实世界。它不光是理论,也是能力Q是文化Q是素质?nbsp;
应用数学则以以上数学为综合理论基Q可分ؓQh值数学、运{学、数理统计学、系l科学、决{论{。目前又发展出沌、小波变换、分形几何等?
人类逐步有了数的概念Q由自然数开始。由于h有十个手指,所以多数民族徏立了十进位制的自然数表示Ҏ。二十个一l的太多太大Q不能一目了Ӟq要?
上脚,五个一l又太少Qɾl数太多Q十个一l是比较会让人喜q折衷Ҏ。有古巴比仑记数法、希腊记数法、罗马记数法、中国记数法Q发展进步了5000
q后Q印度hW一ơ发明了Ӟ零加自然数称Zؓ整数Q传入伊斯兰世界形成目前通用的阿拉伯数字。计机的出现又需要二q位Ӟ是q几十年的事了?
以上是研I数的,在研IŞ斚w也^行的发展着Q古希腊的欧几里得用公理化的ҎQ构Z几何学是最辉煌的成。二千多q前的^面几何成已l与目前?
学几何教U书几乎一样了。他们还了解了众多曲U的性质Q在计算复杂囑Ş的面U时Q接q了高等数学。还初步了解C角函数的倹{在几何学方面,后来q一步发
展出非欧几何Q包括罗巴切夫几何、黎曼几何、图论和拓扑学等分支?br>
直到17世纪Q笛卡尔的工作终于把q发展的代C几何联系hQ除建立了^面坐标系之外Q还完善了目前通行的符可系l?
前面涉及的数量,无论是常量还是变量都?#8220;准确”的量Q但自然界中存在大量的不准确现象Qh为地准确化只能我们对客观世界的描述变得不准?#8220;乏晰
数学”Quzzy就是以q种思想观点和方法研I题的数学?nbsp;
三、什么是数学素养
数学素养属于认识论和Ҏ论的l合性思维形式,它具有概念化、抽象化、模式化的认识特征。具有数学素ȝ人善于把数学中的概念l论和处理方法推q应?
于认识一切客观事物,hq样的哲学高度和认识特征。具体说Q一个具?#8220;数学素养”的h在他的认识世界和攚w世界的zd中,常常表现Z下特点:
Q?在讨论问题时Q习惯于定义Q界定概念)Q强调问题存在的条gQ?br>
Q?在观察问题时Q习惯于抓住其中的(函数Q关p,在微观(局部)认识基础上进一步做出多因素的全局性(全空_考虑Q?br>
Q?
在认识问题时Q习惯于已有的严格的数学概念如对偶、相兟뀁随机、泛c非U性、周期性、沌等{概念广义化Q用于认识现实中的问题。比如可以看Zh格是
商品的对Ӟ效益是公司的泛涵{等?
q个例子是用数学思维解决了现实问题,另一个例?#8220;正电?#8221;的发现正好相反,是先有数学解Q预a了现实问题?928q英国物理学家狄拉克在研I
子力学时得到了一个描q电子运动的Dirac方程Q由于开qxQ得C正负两个完全相反的解Q也是_q个方程除了可以描述已知的带负电的电子的q动Q?
q描qC除了电荷是正的以外,其他l构、性质与电子一L反粒子的q动?932q物理学家安h在宇宙射U中得到了正电子Qƈ?936q获得诺贝尔?
理学奖。我国物理学家n忠尧1930q正在加州理工学院读研究生,他的试验l果一出来Q安h在他的办公室隔壁办公Q他受启发,立刻意识到试验结果表明:
一U尚未认知的物质出现了,q一步做工作获得成功Qn忠尧与诺贝尔奖擦肩而过?
四、如何提高数学修?/strong>
Q、读L?/strong>
2、关于费马(FermatQ?601Q?665Q大定理的证?/strong>
法国业余数学家费马猜惻IX?/sup> Q?Y?/sup> QZ?/sup>
Q对于大?的整敎ͼ不存在xQyQz的非零整数解。他在一本算术书的页边空白处写着“我对此有一U奇妙的证明Q只是此处空白太写不下”。后人称此ؓ?
马大定理Qh们曾查遍他的手稿和用q的书籍Q始l未能得到这个证明。后来的事实证明Q这是难于上青天的事。莱布尼兏V高斯、欧拉、柯?
{大数学安p|了,仅在1909q到1911q这三年间就有一千多论文,提出各种证明都因Z严格而否定,几百q来有h废寝忘食Q有人神颠倒,甚至
于有人失败后自杀了?
1994q?月国际数学大会在苏黎世又召开大会Q他做了最后的报告Qh们热烈地鼓掌Q肯定了他们部分证明了预备定理的成W和数论方面的其它成果。又q了2
个月Q在1994q??9日的早晨Q他与泰勒讨论问题时Q突然有了新的想法,又经q一个月的努力终于取得了完全的证明?994q?0?5日,他们?
数学界的朋友发了另一个电子邮Ӟ ׃论文组成,W一是“模椭圆曲U与贚w最后定?#8221;Q作者韦斯 Q第二篇?#8220;某些Qooke代数环论的性质”
作者是泰勒和韦斯 。第一长文证明了贚w定理Q其中关键一步依赖于W二短文?nbsp;
q一ơh们十分}慎,直到1998q_四年以后Q在柏林举行的国际数学大会上Q第一ơ向45岁上的数学家颁发了一个费兹QFieldsQ特别奖Q正
式承认他们卓A献。证明过E中开辟了好多数学的新领域与用了很多新的ҎQ证明了很多新的猜想与得到许多新的定理,为数学的发展Q特别是在数论的重要
分支——代数数论和环论斚w做出了重要A献,上述前仆后、艰苦卓l的证明的现实意义也在于此?br>
讲到q里我觉得自qd差不多完成了Q让我们再一ơ回到这ơ讲话的初衷Q习惯优U才是真正的优UQ数学素L是高层次的素充R希望大家能够在今后?
学习中,重视数学评学习Q更要重视数学思维的培养,努力提高自己的数学素充R?br>
邱崇光先生,湖北武汉人,教授?
]]>