對數(shù)學的再認識
邱崇光
不少同學對數(shù)學總這有一點畏懼感，對數(shù)學好的人有一種敬佩感。自己對數(shù)學總有一點信心不足，拿到一個新課本，一
翻，十分慶幸，好在數(shù)學公式不多，如果拿到一本書，中間數(shù)學推導公式多，就十分沮喪，甚至想回避。
大家都不是搞數(shù)學專業(yè)的，為什么非要講一講對數(shù)學的再認識、反復強調(diào)要學好數(shù)學？如何提高數(shù)學素養(yǎng)呢？我想，作為一個現(xiàn)代
大學生，數(shù)學是回避不了的。華羅庚在五十年代就說過：“宇宙之大、粒子之微、光箭之速、生物之迷、日用之繁，無處不用數(shù)學”。到了今天這個信息時代，可以
說每一項高新技術(shù)的背后都有著極其抽象的數(shù)學，高新技術(shù)本質(zhì)上就是數(shù)學技術(shù)。我們想有所作為，要想取得突出的成就，必要的數(shù)學知識，較好的數(shù)學素養(yǎng)，較高
的數(shù)學思維是必須的，請注意我這里用了三個不同的定語，要求是逐步升高的。而且你們已不再是中學生，不是爸爸媽媽要送你讀書了，你們已進入人生悟性期，自
覺的理解意識正在升起，有的同學甚至對科研、創(chuàng)造、創(chuàng)新已躍躍欲試了，這很好。從課堂和書本里學來的只能是知識，是外來信息，人們最終需要開發(fā)和建立的是
自己的意識和悟性，當然知識也可以促進意識和悟性的迅速提高。在這個人生的春天季節(jié)里，我來和你們一起對數(shù)學整體性地溫習一次，鳥瞰一次，相信對你們是大
有好處的。
一、 從數(shù)學與其它學科的關(guān)系來看數(shù)學
就從數(shù)學的外部來論說這個問題。
1、
數(shù)學是一種語言，是一種科學的共同語言，若沒有數(shù)學語言，宇宙就是不可描述的，因而也就是永遠是無法理解的。任何一門科學只有使用了數(shù)學，才成其為一門科
學，否則就是不完善與不成熟的。社會在進步，它的數(shù)學化程度也正在不斷提高，數(shù)學語言已成為人類社會中交流和貯存信息的重要手段，宇宙和人類社會就是用數(shù)
學語言寫成的一本大書。
2、
培根（Ｂａｃｏｎ）說：“數(shù)學是打開科學大門的鑰匙”。忽視數(shù)學必將傷害所有的知識，因為忽視數(shù)學的人是無法了解任何其他科學乃至世界上任何其他事物的。
幾千年來，凡是有意義的科學理論與實踐成就，無一例外地借助于數(shù)學的力量。例如，沒有微積分就談不上力學和現(xiàn)代科學技術(shù)，沒有麥克斯威爾方程就沒有電波理
論，倫琴因發(fā)現(xiàn)X射線于1901成為諾貝爾的第一位獲獎人，記者問他需要什么時，他回答：“第一是數(shù)學，第二是數(shù)學，第三還是數(shù)學。”
3、
數(shù)學是一種工具，一種思維的工具。自然哲學認為：任何事物都是量和質(zhì)的統(tǒng)一體，數(shù)學就是研究量的科學，它不斷地發(fā)現(xiàn)、總結(jié)和積累了很多人類對量的方面的規(guī)
律，這些都是人們認識世界的有力工具。這里舉兩個例子：一個是自然科學的，一個是社會科學的。我們企圖找到一個不經(jīng)手術(shù)就可以準確確定人體內(nèi)的器官位置、
密度和三維形狀的方法，可惜借助X射線只能繪出二維信息圖。這個問題難倒了工程師很多年，后來遇到數(shù)學家的工作，即Radon變換，考爾麥克把X射線從許
多不同角度照射人體，再運用計算機進行數(shù)學變換，導致CT數(shù)據(jù)透視儀的誕生，獲得了1979年的諾貝爾醫(yī)學獎。現(xiàn)在這一方法進一步推廣到核磁共振領(lǐng)域，使
圖像分辨率更高。從本質(zhì)上說，這兩項技術(shù)只不過是，先大量測量一維的物理量，再用數(shù)學技巧來重構(gòu)三維圖像而已。
另一個例子：現(xiàn)代經(jīng)濟學家使
數(shù)學進入了經(jīng)濟學領(lǐng)域，構(gòu)建了平衡模型，可以預言自由市場的經(jīng)濟行為，這方面的工作使阿洛（Arrow）獲得了諾貝爾經(jīng)濟學獎，他的哈佛大學的同事看了這
篇得獎論文說，這些應用在數(shù)學中是很基本的，很多哈佛大學一年級學生就可以完成。可見掌握數(shù)學工具后，在其它領(lǐng)域中進行應用，并不是一件困難的事，而且有
時甚至是一個很大的成就。
4、
數(shù)學是一門藝術(shù)，一門創(chuàng)造性藝術(shù)。美是藝術(shù)的一種追求，美也是數(shù)學中一種公認的評價標準。數(shù)學的美體現(xiàn)在和諧性、對稱性、簡潔性，這三性上。數(shù)學家不斷地
追求美好的新概念、新方法、新結(jié)論，因此數(shù)學是創(chuàng)造性藝術(shù)。人們掌握了數(shù)學，可以陶冶人的美感，培養(yǎng)理性的審美能力，一個人數(shù)學造詣越深，越是擁有一種直
覺力，這種直覺力實際就是理性的洞察力、由美感驅(qū)動的選擇力，最終成為創(chuàng)造美好新世界的驅(qū)動力。
這里突出地談一談簡潔性。
A、數(shù)學問題提得簡潔。這是因為數(shù)學突出了本質(zhì)的因素，必然是簡潔的。例如尺規(guī)作圖三分角問題。
B、數(shù)學語言是精煉的。例如歐拉公式：ｅix
=ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ．把實數(shù)域中看不出有任何聯(lián)系的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在復數(shù)域中巧妙地聯(lián)系在一起。
其特例：ｅｉπ＋１＝０把0、1、ｉ、e、π五個重要常數(shù)簡單而巧妙的結(jié)合在一
起，太神奇了。
又如，愛因斯坦把茫茫宇宙中的質(zhì)能關(guān)系，用Ｅ＝ＭＣ２
簡單地表達出來，簡單得令人拍案叫絕。
C、數(shù)學概念是簡潔的。數(shù)學概念的內(nèi)涵歷經(jīng)滄桑，千錘百煉，每一次變化都使概念更加清晰和更具一般性。例如函數(shù)概念：1673年，萊布尼茲定義：函數(shù)
就象曲線上的點的坐標那樣隨點的變化而變動。1821年，柯西定義：對于X的每個值，如果Y有完全確定的值與之對應，則Y叫做X的函數(shù)。近代定義：設有
A、B是非空的集合，Ｆ是A到B的一個對應法則，則A到B的Ｆ映射：A→B稱為A到B上的函數(shù)。一步一步更簡潔、更具一般性。
D、數(shù)學證明是簡潔的。數(shù)學的目的就是盡可能用簡單而基本的詞匯盡可能地解釋世界。因此，如果我們積累的經(jīng)驗要一代一代傳下去的話，就必須不斷地努力
把它們加以簡化和統(tǒng)一。
二、 從數(shù)學自身的研究對象來看數(shù)學
就是從數(shù)學內(nèi)部來看數(shù)學。
恩格斯說：數(shù)學是現(xiàn)實世界中的空間形式與數(shù)量關(guān)系。數(shù)學就是研究數(shù)量、形狀和他們之間關(guān)系的科學，這是數(shù)學的三大領(lǐng)域。當前數(shù)學還在發(fā)展，目前已經(jīng)發(fā)
展成為包括一百多個分枝的龐大系統(tǒng)。數(shù)學已經(jīng)不是原來人們頭腦中僅僅是數(shù)和形，僅僅是陳景潤的概念了。隨著計算機的發(fā)明和技術(shù)迅速提高，數(shù)學學科也進入了
新的黃金時代。數(shù)學包括三個方面，模式、結(jié)構(gòu)和模擬現(xiàn)實世界。它不光是理論，也是能力，是文化，是素質(zhì)。
１、 數(shù)學發(fā)生圖
數(shù)學可分為五大學科：純粹（基礎(chǔ)）數(shù)學、應用數(shù)學、計算數(shù)學、運籌與控制、概率論與數(shù)理統(tǒng)計。
應用數(shù)學則以以上數(shù)學為綜合理論基礎(chǔ)，可分為：價值數(shù)學、運籌學、數(shù)理統(tǒng)計學、系統(tǒng)科學、決策論等。目前又發(fā)展出混沌、小波變換、分形幾何等。
２、 算術(shù)
人類逐步有了數(shù)的概念，由自然數(shù)開始。由于人有十個手指，所以多數(shù)民族建立了十進位制的自然數(shù)表示方法。二十個一組的太多太大，不能一目了然，還要用
上腳趾，五個一組又太少，使組數(shù)太多，十個一組是比較會讓人喜愛的折衷方法。有古巴比侖記數(shù)法、希臘記數(shù)法、羅馬記數(shù)法、中國記數(shù)法，發(fā)展進步了5000
年后，印度人第一次發(fā)明了零，零加自然數(shù)稱為為整數(shù)，傳入伊斯蘭世界形成目前通用的阿拉伯數(shù)字。計算機的出現(xiàn)又需要二進位制，就是近幾十年的事了。
算術(shù)運算起步只需要有加法的概念，乘是多次加的簡化運算，減是加的逆運算，除是乘的逆運算，這就是四則運算。除法很快導致了分數(shù)的出現(xiàn)，以十、百等為分母
的除法，簡化表達就是小數(shù)和循環(huán)小數(shù)。不是擁有錢而是欠人的錢如何表示，這就出現(xiàn)了負數(shù)，以上這些數(shù)放在一起，就是有理數(shù)，可以表示在一個數(shù)軸上。
人們曾經(jīng)很長時間以為數(shù)軸上的數(shù)都是有理數(shù)，后來有人發(fā)現(xiàn)，正方形的邊是1，它的對角線長度就無法用有理數(shù)表示，用園規(guī)在數(shù)軸上找到那個對應點就是無理數(shù)
的點，這是第一次數(shù)學危機。1761年德國物理學家和數(shù)學家蘭伯盧格嚴格證明了π也是一個無理數(shù)，這樣把無理數(shù)包入之后，有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，數(shù)軸
也稱之為實數(shù)軸。后來人們發(fā)現(xiàn)，如果在實數(shù)軸上隨機的抽取，得到有理數(shù)的概率幾乎是零，得到無理數(shù)的概率幾乎是１，無理數(shù)比有理數(shù)多得多。為什么會如此，
因為我們生活的這個客觀世界，本來就是無理的多過有理的。
為了解決負數(shù)的開平方是什么，16世紀出了虛數(shù)ｉ，虛軸與實軸垂直交叉形成一個復平面，數(shù)也發(fā)展成為由虛部和實部組成的復數(shù)。數(shù)的概念會不會繼續(xù)發(fā)展，我
們試目以待。
3、代數(shù)
對實數(shù)的運算進入代數(shù)學階段，有“加、減、乘、除、乘方、開方、指數(shù)、對數(shù)”八則，用符號代表數(shù)，列出方程，求解方程成了比算術(shù)更有力的武器。這個時期稱
為初等數(shù)學，從５世紀一直到17世紀，大約持續(xù)了一千多年。初等數(shù)學是常數(shù)的數(shù)學。對一組數(shù)群體性質(zhì)的研究就導致線性代數(shù)。
4、幾何
以上是研究數(shù)的，在研究形方面也平行的發(fā)展著，古希臘的歐幾里得用公理化的方法，構(gòu)建了幾何學是最輝煌的成就。二千多年前的平面幾何成就已經(jīng)與目前中
學幾何教科書幾乎一樣了。他們還了解了眾多曲線的性質(zhì)，在計算復雜圖形的面積時，接近了高等數(shù)學。還初步了解到三角函數(shù)的值。在幾何學方面，后來進一步發(fā)
展出非歐幾何，包括羅巴切夫幾何、黎曼幾何、圖論和拓撲學等分支。
直到17世紀，笛卡爾的工作終于把平行發(fā)展的代數(shù)與幾何聯(lián)系起來，除建立了平面坐標系之外，還完善了目前通行的符號運算系統(tǒng)。
5、變量數(shù)學
變化著的量以及它們間的依賴關(guān)系，產(chǎn)生了變量與函數(shù)的概念，研究函數(shù)的領(lǐng)域叫數(shù)學分析，其主要內(nèi)容是微積分，牛頓由物理力學推動了微積分的產(chǎn)生，萊布尼茲
從數(shù)學中求曲線多邊形的面積出發(fā)推動了微積分的發(fā)現(xiàn)，兩人的工作殊途同歸，目前的微積分符號的記法，都是萊布尼茲最先采用的。他們都運用了極限的概念和無
窮小的分析方法。
有了微積分，一系列分支出現(xiàn)了，如級數(shù)理論、微分方程、偏微分方程、微分幾何等等。級數(shù)是無窮項數(shù)列的求和問題，微分方程是另一類方程，它們的解不是數(shù)而
是函數(shù)，多元的情況下就出現(xiàn)了偏微分概念和偏微分方程。微分幾何是關(guān)于曲線和曲面的一般理論，將實數(shù)分析的方法推廣到復數(shù)域中就產(chǎn)生了復變函數(shù)論。
6、概率論和數(shù)理統(tǒng)計
前面涉及的數(shù)量，無論是常量還是變量都是確定的量，但自然界中存在大量的隨機現(xiàn)象，其中存在很多不確定的、不可預測
的量、是具有偶然性的量，這就由賭博中產(chǎn)生了概率論及其統(tǒng)計學等相關(guān)分枝。
７、模糊數(shù)學
前面涉及的數(shù)量，無論是常量還是變量都是“準確”的量，但自然界中存在大量的不準確現(xiàn)象，人為地準確化只能使我們對客觀世界的描述變得不準確。“乏晰
數(shù)學”Ｆｕｚｚｙ就是以這種思想觀點和方法研究問題的數(shù)學。
三、什么是數(shù)學素養(yǎng)
數(shù)學素養(yǎng)屬于認識論和方法論的綜合性思維形式,它具有概念化、抽象化、模式化的認識特征。具有數(shù)學素養(yǎng)的人善于把數(shù)學中的概念結(jié)論和處理方法推廣應用
于認識一切客觀事物，具有這樣的哲學高度和認識特征。具體說，一個具有“數(shù)學素養(yǎng)”的人在他的認識世界和改造世界的活動中，常常表現(xiàn)出以下特點：
１、 在討論問題時，習慣于強調(diào)定義（界定概念），強調(diào)問題存在的條件；
２、 在觀察問題時，習慣于抓住其中的（函數(shù)）關(guān)系，在微觀（局部）認識基礎(chǔ)上進一步做出多因素的全局性（全空間）考慮；
３、
在認識問題時，習慣于將已有的嚴格的數(shù)學概念如對偶、相關(guān)、隨機、泛涵、非線性、周期性、混沌等等概念廣義化，用于認識現(xiàn)實中的問題。比如可以看出價格是
商品的對偶，效益是公司的泛涵等等。
更通俗地說，數(shù)學素養(yǎng)就是數(shù)學家的一種職業(yè)習慣，“三句話不離本行”，我們希望把我們的專業(yè)搞得更好，更精密更嚴
格，有些這種優(yōu)秀的職業(yè)習慣當然是好事。人的所有修養(yǎng)，有意識的修養(yǎng)比無意識地、僅憑自然增長地修養(yǎng)來得快得多。只要有這樣強烈的要求、愿望和意識，堅持
下去人人都可以形成較高的數(shù)學素養(yǎng)。
一位名家說：真正的數(shù)學家應能把他的東西講給任何人聽得懂。因為任何數(shù)學形式再復雜，總有它簡單的思想實質(zhì)，因而
掌握這種數(shù)學思想總是容易的，這一點在大家學習數(shù)學時一定要明確。在現(xiàn)代科學中數(shù)學能力、數(shù)學思維十分重要，這種能力不是表現(xiàn)在死記硬背，不光表現(xiàn)在計算
能力，在計算機時代特別表現(xiàn)在建模能力，建模能力的基礎(chǔ)就是數(shù)學素養(yǎng)。思想比公式更重要，建模比計算更重要。學數(shù)學，用數(shù)學，對它始終有興趣，是培養(yǎng)數(shù)學
素養(yǎng)的好條件、好方法、好場所。希望同學們消除對數(shù)學的畏懼感，培養(yǎng)對數(shù)學的興趣，增進學好數(shù)學的信心，了解更多的現(xiàn)代數(shù)學的概念和思想、提高數(shù)學悟性和
數(shù)學意識、培養(yǎng)數(shù)學思維的習慣。
請注意，我們往往只注意到數(shù)學的思想方法中嚴格推理的一面，它屬于“演繹”的范疇，其實，數(shù)學修養(yǎng)中也有對偶的一
面――“歸納”，稱之為“合情推理”或“常識推理”，它要求我們培養(yǎng)和運用靈活、猜想和活躍的思維習慣。
下面舉一個例子，看看數(shù)學素養(yǎng)在其中如何發(fā)揮作用。１８世紀德國哥德堡有一條河，河中有兩個島，兩岸于兩島間架有
七座橋。問題是：一個人怎樣走才可以不重復的走遍七座橋而回到原地。這個問題好像與數(shù)學關(guān)系不大，它是幾何問題，但不是關(guān)于長度、角度的歐氏幾何。很多人
都失敗了，歐拉以敏銳的數(shù)學家眼光，猜想這個問題可能無解（這是合情推理）。然后他以高度的抽象能力，把問題變成了一個“一筆畫”問題，建模如下：能否從
一個點出發(fā)不離開紙面地畫出所有的連線，使筆仍回到原來出發(fā)的地方。
以下開始演繹分析，一筆畫的要求使得圖形有這樣的特征：除起點與終點外，一筆畫問題中線路的交岔點處，有一條線進
就一定有一條線出，故在交岔點處匯合的曲線必為偶數(shù)條。七橋問題中，有四個交叉點處都交匯了奇數(shù)條曲線，故此問題不可解。歐拉還進一步證明了：一個連通的
無向圖，具有通過這個圖中的每一條邊一次且僅一次的路，當且僅當它的奇數(shù)次頂點的個數(shù)為０或為２。這是他為數(shù)學的一個新分枝――圖論所作的奠基性工作，后
人稱此為歐拉定理。
這個例子是使用數(shù)學思維解決了現(xiàn)實問題，另一個例子“正電子”的發(fā)現(xiàn)正好相反，是先有數(shù)學解，預言了現(xiàn)實問題。1928年英國物理學家狄拉克在研究量
子力學時得到了一個描述電子運動的Dirac方程，由于開平方，得到了正負兩個完全相反的解，也就是說，這個方程除了可以描述已知的帶負電的電子的運動，
還描述了除了電荷是正的以外，其他結(jié)構(gòu)、性質(zhì)與電子一樣的反粒子的運動。1932年物理學家安德森在宇宙射線中得到了正電子，并于1936年獲得諾貝爾物
理學獎。我國物理學家趙忠堯1930年正在加州理工學院讀研究生，他的試驗結(jié)果一出來，安德森在他的辦公室隔壁辦公，他受啟發(fā)，立刻意識到試驗結(jié)果表明：
一種尚未認知的物質(zhì)出現(xiàn)了，進一步做工作獲得成功，趙忠堯與諾貝爾獎擦肩而過。
四、如何提高數(shù)學修養(yǎng)
要講這個題目確實很困難，要提高數(shù)學素養(yǎng)只有自己去探索、去總結(jié)，世界上沒有一種萬能的學習方法對所有人都適用，
可是回避這個問題，又十分遺憾。我們還是用一個折衷的辦法：介紹數(shù)學中一個人和一件事，相信青年朋友們能從其中得到許多力量和啟迪。
１、讀讀歐拉
1707年4月15日，歐拉Euler ( 1707-1783)
出生于瑞士，在大學時受到著名教授伯努利及其家族的影響，閱讀了不少數(shù)學家的原著，17歲獲得碩士學位，18歲開始發(fā)表數(shù)學論文，26歲成為數(shù)學教授、科
學院院士。
他一生論著數(shù)量巨大，涉獵面廣，開創(chuàng)性成果多，發(fā)表論文和著作500多篇（部），加上生前未及出版和發(fā)表的手稿共
886篇（部）之多。在數(shù)學的各領(lǐng)域，及物理學、天文學工程學中留下了舉不勝數(shù)的數(shù)學公式、數(shù)學定理。如歐拉常數(shù)、歐拉恒等式、歐拉級數(shù)、歐拉積分、歐拉
微分方程、歐拉準則、歐拉變換、歐拉坐標、歐拉求積公式、歐拉方程、歐拉剛體運動方程，歐拉流體力學方程等。
歐拉有堅忍的毅力和勤奮刻苦的拼搏精神。他28歲時，為計算彗星的軌跡，奮戰(zhàn)三天三夜，因過度勞累，患了眼疾，使
右眼失明，又不顧眼病回到嚴冷的俄國彼得堡工作，左眼也很快視力減退，他深知自己將會完全失明，沒有消沉和倒下，他抓緊時間在黑板上疾書他發(fā)現(xiàn)的公式，或
口述其內(nèi)容，讓人筆錄。雙目失明后，他的寢室失火，燒毀了所有的專著和手搞，后來妻子又病故了，他在所有這些不幸面前不僅沒有退縮，而是以非凡的毅力繼續(xù)
拼搏，他以罕見的記憶力和心算能力，繼續(xù)研究，讓人筆錄，直到生命的最后一刻。在雙目失明的17年中，他口授論文達400篇和幾本書，包括經(jīng)典名著《積分
學原理》，《代數(shù)基礎(chǔ)》。
歐拉學識淵博品德高尚，非常注重培養(yǎng)與選拔人才，當時19歲的拉格朗日把自己對“等周問題”的研究成果寄給他，他
發(fā)現(xiàn)其解決問題的方法解題與自己的不同，立即熱情的給予贊揚，并決定暫不發(fā)表自己的成果，使年輕的拉格朗日先后兩次榮獲巴黎科學院的科學獎，后來他又推薦
30歲的拉格朗日代替自己任科學院物理數(shù)學所所長，他的品德贏得了全世界的尊敬。他晚年的時候，全世界的大數(shù)學家都尊稱他為“我的老師”。法國著名的數(shù)學
家、天文學家拉普拉斯曾多次深情地說：“ 讀讀歐拉，他是大家的老師”，他不愧為“數(shù)學家之英雄”，他這種精神境界至今仍是年輕人學習的榜樣。
2、關(guān)于費馬（Fermat，1601－1665）大定理的證明
法國業(yè)余數(shù)學家費馬猜想：Xｎ ＋ Yｎ ＝Zｎ
，對于大于2的整數(shù)，不存在x，y，z的非零整數(shù)解。他在一本算術(shù)書的頁邊空白處寫著“我對此有一種奇妙的證明，只是此處空白太小寫不下”。后人稱此為費
馬大定理，人們曾查遍他的手稿和用過的書籍，始終未能得到這個證明。后來的事實證明，這是難于上青天的事。萊布尼茲、高斯、歐拉、柯西
等大數(shù)學家都失敗了，僅在1909年到1911年這三年間就有一千多篇論文，提出各種證明都因為不嚴格而否定，幾百年來有人廢寢忘食，有人神魂顛倒，甚至
于有人失敗后自殺了。
韋爾斯（
Wｉｌeｓ）1953年生于英國劍橋，1977年在劍橋大學獲博士學位，1982年成為普林斯頓大學數(shù)學教授，他在10歲時就被費馬大定理迷住了，立志要
證明它。1986年他開始下決心要征服這個難題。當教授必須每年發(fā)表論文，否則影響職務和前途，這個難題不知道何時才能征服，是否能成為論文都很難說，他
想了個兩全之策，他將其它項目中的成果寫成幾篇論文，留著以后慢慢發(fā)表。他深知必須運用最近的數(shù)學成果和創(chuàng)造出新的方法才能解決這個問題。為了避免干擾，
他閉門謝客，只有妻子知道此事，七年后，他完成了證明的論文。1993年6月21日他應邀在劍橋大學的國際數(shù)學會議上宣讀論文。當時座無虛席，他的論文朗
讀了3天，黑板上寫了擦，擦了又寫，幾萬名聽眾急于想聽到結(jié)果。到6月23日快結(jié)束時，他最終在黑板上寫出了費馬大定理，然后轉(zhuǎn)身過來，謙遜地說，我想就
到此為止了，大廳響起熱烈的掌聲，消息立刻傳遍了世界。韋爾斯被“人物”（people）雜志列為與克林頓、黛安娜王妃齊名的本年最有魅力人物。
可惜高興得太早，不久后他自己給數(shù)學界同行發(fā)了一個電子郵件，信中說到他發(fā)現(xiàn)證明中有漏洞，這可不是小事，如果仍
舊解決不了，一環(huán)扣一環(huán)的證明將全部瓦解，七載心血將付諸東流，將不成熟的論文公開發(fā)表也是十分難堪的事情。但是他不灰心，在最艱難的日子里，他的好友薩
爾納克（Ｓａｒｎａｋ）不僅鼓勵他，并提議他找一位值得依靠的年輕幫手，經(jīng)過考慮，他邀請他在英國的學生――劍橋大學講師泰勒（Ｔａｙｌｏｒ）一起工作，
又經(jīng)過一年的功夫終于把漏洞部分補上了。
1994年8月國際數(shù)學大會在蘇黎世又召開大會，他做了最后的報告，人們熱烈地鼓掌，肯定了他們部分證明了預備定理的成績和數(shù)論方面的其它成果。又過了2
個月，在1994年9月19日的早晨，他與泰勒討論問題時，突然有了新的想法，又經(jīng)過一個月的努力終于取得了完全的證明。1994年10月25日，他們向
數(shù)學界的朋友發(fā)了另一個電子郵件， 由兩篇論文組成，第一篇是“模橢圓曲線與費馬最后定理”，作者韋爾斯 ，第二篇是“某些Ｈｏｏｋｅ代數(shù)環(huán)論的性質(zhì)”
作者是泰勒和韋爾斯 。第一篇長文證明了費馬定理，其中關(guān)鍵一步依賴于第二篇短文。
這一次人們十分謹慎，直到1998年（四年以后）在柏林舉行的國際數(shù)學大會上，第一次向45歲上的數(shù)學家頒發(fā)了一個費爾茲（Fields）特別獎，正
式承認他們卓越貢獻。證明過程中開辟了好多數(shù)學的新領(lǐng)域與使用了很多新的方法，證明了很多新的猜想與得到許多新的定理，為數(shù)學的發(fā)展，特別是在數(shù)論的重要
分支——代數(shù)數(shù)論和環(huán)論方面做出了重要貢獻，上述前仆后繼、艱苦卓絕的證明的現(xiàn)實意義也在于此。
講到這里我覺得自己的任務差不多完成了，讓我們再一次回到這次講話的初衷：習慣優(yōu)秀才是真正的優(yōu)秀，數(shù)學素養(yǎng)才是高層次的素養(yǎng)。希望大家能夠在今后的
學習中，重視數(shù)學課的學習，更要重視數(shù)學思維的培養(yǎng)，努力提高自己的數(shù)學素養(yǎng)。
邱崇光先生，湖北武漢人，教授。