寫完密碼約瑟夫就想到原來看到約瑟夫問題的一個(gè)數(shù)學(xué)解法?? 很巧妙很簡單 不過只能推出最后一個(gè)出列的人
無論是用鏈表實(shí)現(xiàn)還是用數(shù)組實(shí)現(xiàn)都有一個(gè)共同點(diǎn)：要模擬整個(gè)游戲過程，不僅程序?qū)懫饋肀容^煩，而且時(shí)間復(fù)雜度高達(dá)O(nm)，當(dāng)n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時(shí)候，幾乎是沒有辦法在短時(shí)間內(nèi)出結(jié)果的。我們注意到原問題僅僅是要求出最后的勝利者的序號(hào)，而不是要讀者模擬整個(gè)過程。因此如果要追求效率，就要打破常規(guī)，實(shí)施一點(diǎn)數(shù)學(xué)策略。
為了討論方便，先把問題稍微改變一下，并不影響原意：
問題描述：n個(gè)人（編號(hào)0~(n-1))，從0開始報(bào)數(shù)，報(bào)到(m-1)的退出，剩下的人繼續(xù)從0開始報(bào)數(shù)。求勝利者的編號(hào)。
我們知道第一個(gè)人(編號(hào)一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1個(gè)人組成了一個(gè)新的約瑟夫環(huán)（以編號(hào)為k=m%n的人開始）:
? k? k+1? k+2? ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且從k開始報(bào)0。
現(xiàn)在我們把他們的編號(hào)做一下轉(zhuǎn)換：
k???? --> 0
k+1?? --> 1
k+2?? --> 2
...
...
k-2?? --> n-2
k-1?? --> n-1
變換后就完完全全成為了(n-1)個(gè)人報(bào)數(shù)的子問題，假如我們知道這個(gè)子問題的解：例如x是最終的勝利者，那么根據(jù)上面這個(gè)表把這個(gè)x變回去不剛好就是n個(gè)人情況的解嗎？??！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)個(gè)人報(bào)數(shù)的問題的解？對(duì)，只要知道(n-2)個(gè)人的解就行了。(n-2)個(gè)人的解呢？當(dāng)然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是一個(gè)倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：
令f[i]表示i個(gè)人玩游戲報(bào)m退出最后勝利者的編號(hào)，最后的結(jié)果自然是f[n]
遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;? (i>1)
有了這個(gè)公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數(shù)值，最后結(jié)果是f[n]。因?yàn)閷?shí)際生活中編號(hào)總是從1開始，我們輸出f[n]+1
由于是逐級(jí)遞推，不需要保存每個(gè)f[i]，程序也是異常簡單：
#include <stdio.h>
int main()
{
? int n, m, i, s=0;
? printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
? for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
? printf ("The winner is %d\n", s+1);
}
這個(gè)算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(n)，相對(duì)于模擬算法已經(jīng)有了很大的提高。算n，m等于一百萬，一千萬的情況不是問題了。可見，適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)策略，不僅可以讓編程變得簡單，而且往往會(huì)成倍地提高算法執(zhí)行效率。