原文轉(zhuǎn)自：
http://www.gesoftfactory.com/developer/Transform.htm
(提示：原文有圖片。)
三維變換
在使用三維圖形的應(yīng)用程序中，可以用變換做以下事情：
- 描述一個物體相對于另一個物體的位置。
- 旋轉(zhuǎn)并改變物體的大小。
- 改變觀察的位置、方向和視角。
可以用一個4 x 4矩陣將任意點（x，y，z）變換為另一個點（x'，y'，z'）。
對（x，y，z）和矩陣執(zhí)行以下操作產(chǎn)生點（x'，y'，z'）。
最常見的變換是平移、旋轉(zhuǎn)和縮放。可以將產(chǎn)生這些效果的矩陣合并成單個矩陣，這樣就可以一次計算多種變換。例如，可以構(gòu)造單個矩陣，對一系列的點進行平移和旋轉(zhuǎn)。更多信息，請參閱矩陣串接。
矩陣以行列順序書寫。一個沿每根軸均勻縮放頂點的矩陣，也稱為統(tǒng)一縮放，用如下數(shù)學(xué)符號表示。
在C++應(yīng)用程序中，Microsoft® Direct3D®使用D3DMATRIX結(jié)構(gòu)，將矩陣聲明為一個二維數(shù)組。以下示例代碼顯示了如何初始化一個D3DMATRIX結(jié)構(gòu)，使之成為一個統(tǒng)一縮放矩陣。
// 本例中，s為浮點類型的變量
D3DMATRIX scale = {
s, 0.0f, 0.0f, 0.0f,
0.0f, s, 0.0f, 0.0f,
0.0f, 0.0f, s, 0.0f,
0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f
};
平移
以下變換將點（x，y，z）平移到一個新的點（x'，y'，z'）。
可以在C++應(yīng)用程序中手工創(chuàng)建一個平移矩陣。以下示例代碼顯示了的一個函數(shù)的源碼，該函數(shù)創(chuàng)建一個矩陣用于平移頂點。
D3DXMATRIX Translate(const float dx, const float dy, const float dz) { D3DXMATRIX ret;
D3DXMatrixIdentity(&ret); // 由Direct3DX實現(xiàn)
ret(3, 0) = dx;
ret(3, 1) = dy;
ret(3, 2) = dz;
return ret;
} // 平移結(jié)束
為了方便，Direct3DX工具庫提供了D3DXMatrixTranslation函數(shù)。
縮放
以下變換用指定值縮放點（x，y，z）的x-，y-和z-方向，產(chǎn)生新的點（x'，y'，z'）。
旋轉(zhuǎn)
這里描述的變換是基于左手坐標(biāo)系的，也許和別處見到的變換矩陣不同。更多信息，請參閱三維坐標(biāo)系。
以下變換將點（x，y，z）圍繞x軸旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生新的點（x'，y'，z'）。
以下變換將點圍繞y軸旋轉(zhuǎn)。
以下變換將點圍繞z軸旋轉(zhuǎn)。
在這些示例矩陣中，希臘字母（θ）表示旋轉(zhuǎn)的角度，以弧度為單位。當(dāng)沿著旋轉(zhuǎn)軸朝原點看時，角度以順時針方向計量。
C++應(yīng)用程序可以用Direct3D擴展（D3DX）工具庫提供的D3DXMatrixRotationX，D3DXMatrixRotationX和D3DXMatrixRotationX函數(shù)創(chuàng)建旋轉(zhuǎn)矩陣。以下示例是D3DXMatrixRotationX函數(shù)的源碼。
D3DXMATRIX* WINAPI D3DXMatrixRotationX
( D3DXMATRIX *pOut, float angle )
{#if DBG
if(!pOut)
return NULL;
#endif
float sin, cos;
sincosf(angle, &sin, &cos); // 計算角度的正弦和余弦值。
pOut->_11 = 1.0f; pOut->_12 = 0.0f; pOut->_13 = 0.0f; pOut->_14 = 0.0f;
pOut->_21 = 0.0f; pOut->_22 = cos; pOut->_23 = sin; pOut->_24 = 0.0f;
pOut->_31 = 0.0f; pOut->_32 = -sin; pOut->_33 = cos; pOut->_34 = 0.0f;
pOut->_41 = 0.0f; pOut->_42 = 0.0f; pOut->_43 = 0.0f; pOut->_44 = 1.0f;
return pOut;
}
( D3DXMATRIX *pOut, float angle )
if(!pOut)
return NULL;
float sin, cos;
sincosf(angle, &sin, &cos); // Determine sin and cos of angle.
pOut->_11 = 1.0f; pOut->_12 = 0.0f; pOut->_13 = 0.0f; pOut->_14 = 0.0f;
pOut->_21 = 0.0f; pOut->_22 = cos; pOut->_23 = sin; pOut->_24 = 0.0f;
pOut->_31 = 0.0f; pOut->_32 = -sin; pOut->_33 = cos; pOut->_34 = 0.0f;
pOut->_41 = 0.0f; pOut->_42 = 0.0f; pOut->_43 = 0.0f; pOut->_44 = 1.0f;
return pOut;
矩陣串接
使用矩陣的一個優(yōu)勢就是可以通過把兩個以上的矩陣相乘，將它們的效果合并在一起。這意味著，要先旋轉(zhuǎn)一個建模然后把它平移到某個位置，無需使用兩個矩陣，只要把旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣相乘，產(chǎn)生一個包含了所有效果的合成矩陣。這個過程被稱為矩陣串接，可以寫成以下公式。
在這個公式中，C是將被創(chuàng)建的合成矩陣，M1到Mn是矩陣C包含的單個矩陣。雖然大多數(shù)情況下，只需要串接兩三個矩陣，但實際上并沒有數(shù)量上的限制。
可以使用D3DXMatrixMultiply函數(shù)進行矩陣乘法。
進行矩陣乘法時先后次序是至關(guān)重要的。前面的公式反映了矩陣串接從左到右的規(guī)則。也就是說，用來創(chuàng)建合成矩陣的每個矩陣產(chǎn)生的直觀效果會按從左到右的次序出現(xiàn)。下面顯示了一個典型的世界變換矩陣。想象一下給一個旋轉(zhuǎn)飛行的碟子創(chuàng)建世界變換矩陣。應(yīng)用程序也許想讓飛行的碟子繞它的中心——建模空間中的y軸——旋轉(zhuǎn)，然后把它平移到場景中的另一個位置。要實現(xiàn)這樣的效果，首先創(chuàng)建一個旋轉(zhuǎn)矩陣，然后將它與平移矩陣相乘，如以下公式所示。
在這個公式中，Ry是繞y軸的旋轉(zhuǎn)矩陣，Tw是平移到世界坐標(biāo)中某個位置的矩陣。
矩陣相乘的順序很重要，因為矩陣乘法是不可交換的，這和兩個標(biāo)量相乘不同。將矩陣以相反的順序相乘會產(chǎn)生這樣的直觀效果：先把飛行中的碟子平移到世界空間中的某個位置，然后將它圍繞世界坐標(biāo)的原點旋轉(zhuǎn)。
無論創(chuàng)建何種類型的矩陣，都要記住從左到右的規(guī)則，這樣才能保證得到想要的效果。
世界變換
對世界變換的討論介紹了基本概念，并提供了如何在Microsoft® Direct3D®應(yīng)用程序中設(shè)置世界變換矩陣的細節(jié)。
什么是世界變換
世界變換將坐標(biāo)從建模空間，在這個空間中的頂點相對于建模的局部原點定義，轉(zhuǎn)變到世界空間，在這個空間中的頂點相對于場景中所有物體共有的原點定義。本質(zhì)上，世界變換將一個建模放到世界中，并由此而得名。下圖描繪了世界坐標(biāo)系統(tǒng)和建模的局部坐標(biāo)系統(tǒng)間的關(guān)系。
世界變換可以包含任意數(shù)量的平移、旋轉(zhuǎn)和縮放的合并。有關(guān)對變換的數(shù)學(xué)討論，請參閱三維變換。
設(shè)置世界矩陣
同任何其它變換一樣，通過將一系列變換矩陣串接成單個矩陣，應(yīng)用程序可以創(chuàng)建包含這些矩陣全部效果的世界矩陣。最簡單的情況下，建模在世界的原點并且它的局部坐標(biāo)軸與世界空間的方向相同，這時世界矩陣就是單位矩陣。更通常的情況下，世界矩陣是一系列矩陣的合成，包含一個平移矩陣，并且根據(jù)需要可能有一個以上的旋轉(zhuǎn)矩陣。
以下示例，來自一個用C++編寫的假想三維建模類，使用Direct3D擴展（D3DX）工具庫提供的幫助函數(shù)創(chuàng)建了一個世界矩陣，這個世界矩陣包含了三個旋轉(zhuǎn)矩陣，用于調(diào)整三維建模的方向，以及一個平移矩陣，用來根據(jù)建模在世界空間中的相對坐標(biāo)重新確定它的位置。
/*
* 根據(jù)本示例的目的，假設(shè)以下變量都是有效的并經(jīng)過初始化。
*
* 變量m_xPos，m_yPos，m_zPos包含了建模在世界坐標(biāo)中的位置。
*
* 變量m_fPitch，m_fYaw和m_fRoll為浮點數(shù)，包含了建模的方向，
* 用pitch，yaw和roll旋轉(zhuǎn)角表示，以弧度為單位。
*/
void C3DModel::MakeWorldMatrix( D3DXMATRIX* pMatWorld )
{ D3DXMATRIX MatTemp; // 用于旋轉(zhuǎn)的臨時矩陣
D3DXMATRIX MatRot; // 最終的旋轉(zhuǎn)矩陣，應(yīng)用于pMatWorld.
// 使用從左到右的矩陣串接順序，在旋轉(zhuǎn)之前對物體在世界空間中
// 的位置進行平移。
D3DXMatrixTranslation(pMatWorld, m_xPos, m_yPos, m_zPos);
D3DXMatrixIdentity(&MatRot);
// 現(xiàn)在將方向變量應(yīng)用于世界矩陣
if(m_fPitch || m_fYaw || m_fRoll) { // 產(chǎn)生并合成旋轉(zhuǎn)矩陣。
D3DXMatrixRotationX(&MatTemp, m_fPitch); // Pitch
D3DXMatrixMultiply(&MatRot, &MatRot, &MatTemp);
D3DXMatrixRotationY(&MatTemp, m_fYaw); // Yaw
D3DXMatrixMultiply(&MatRot, &MatRot, &MatTemp);
D3DXMatrixRotationZ(&MatTemp, m_fRoll); // Roll
D3DXMatrixMultiply(&MatRot, &MatRot, &MatTemp);
// 應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矩陣，得到最后的世界矩陣。
D3DXMatrixMultiply(pMatWorld, &MatRot, pMatWorld);
}
}
當(dāng)準(zhǔn)備好世界變換矩陣后，應(yīng)該調(diào)用IDirect3DDevice9::SetTransform方法設(shè)置它，并把第一個參數(shù)指定D3DTS_WORLD宏。
注意 Direct3D使用應(yīng)用程序設(shè)置的世界和觀察矩陣配置許多內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。應(yīng)用程序每次設(shè)置新的世界或觀察矩陣時，系統(tǒng)都要重新計算相關(guān)的內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。頻繁地設(shè)置這些矩陣——例如，每幀上千次——是計算量很大的。通過將世界矩陣和觀察矩陣串接成一個世界/觀察矩陣，并將該矩陣設(shè)置為世界矩陣，然后將觀察矩陣設(shè)置為單位矩陣，應(yīng)用程序可以將所需的計算次數(shù)減到最少。最好保存一份單獨的世界矩陣和觀察矩陣的副本在高速緩存中，這樣就可以根據(jù)需要修改、串接及重置世界矩陣。為清晰起見，本文檔中的Direct3D示例很少使用這項優(yōu)化。
觀察變換
本節(jié)介紹觀察變換的基本概念，并提供有關(guān)如何在Microsoft® Direct3D®應(yīng)用程序中設(shè)置觀察矩陣的細節(jié)。信息被分為以下主題。
什么是觀察變換？
觀察變換根據(jù)觀察者在世界空間中的位置，把頂點變換到攝像機空間。在攝像機空間中，攝像機，或觀察者，位于原點，朝sz軸的正向看去。再次提醒一下，因為Direct3D使用左手坐標(biāo)系，所以z軸的正向是朝著場景的。觀察矩陣根據(jù)攝像機的位置——攝像機空間的原點——和方向重定位世界中的所有物體。
有兩方法可以創(chuàng)建觀察矩陣。所有情況下，攝像機在世界空間中的邏輯位置和方向會被用作起始點來創(chuàng)建觀察矩陣，得到的觀察矩陣會被應(yīng)用于場景中的三維建模。觀察矩陣平移并旋轉(zhuǎn)物體，將它們放入攝像機空間中，攝像機位于原點。創(chuàng)建觀察矩陣的一種方法是把平移矩陣和圍繞每根坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)矩陣合并。這種方法使用了以下通用矩陣公式。
在這個公式中，V是要創(chuàng)建的觀察矩陣，T是在世界中重定位物體的平移矩陣，Rx到Rz分別是繞x軸，y軸和z軸旋轉(zhuǎn)物體的旋轉(zhuǎn)矩陣。平移和旋轉(zhuǎn)矩陣基于攝像機在世界空間中邏輯位置和方向。因此，如果攝像機在世界中的邏輯位置是<10，20，100>，那么平移矩陣的目的是沿x軸移動物體-10單位，沿y軸移動-20單位，沿z軸移動-100單位。公式中的旋轉(zhuǎn)矩陣基于攝像機的方向，根據(jù)攝像機空間的坐標(biāo)軸與世界空間的坐標(biāo)軸間的夾角決定。例如，如果前面提到的攝像機是垂直向下放的，那么它的z軸與世界空間的z軸有90度夾角，如下圖所示。
旋轉(zhuǎn)矩陣將角度相同但方向相反的旋轉(zhuǎn)量應(yīng)用于場景中的建模。這個攝像機的觀察矩陣包含了一個繞x軸-90度的旋轉(zhuǎn)。旋轉(zhuǎn)矩陣與平移矩陣合并生成觀察矩陣，觀察矩陣調(diào)整物體在場景中的位置和方向，使它們的頂部朝著攝像機，看起來就好像攝像機在建模的上方一樣。
設(shè)置觀察矩陣
D3DXMatrixLookAtLH和D3DXMatrixLookAtRH輔助函數(shù)根據(jù)攝像機的位置和被觀察點創(chuàng)建一個觀察矩陣。
以下示例代碼創(chuàng)建了一個用于右手系的觀察矩陣。
D3DXMATRIX out;
D3DXVECTOR3 eye(2,3,3);
D3DXVECTOR3 at(0,0,0);
D3DXVECTOR3 up(0,1,0);
D3DXMatrixLookAtRH(&out, &eye, &at, &up);
Direct3D使用應(yīng)用程序設(shè)置的世界矩陣和觀察矩陣配置許多內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。每次應(yīng)用程序設(shè)置一個新的世界矩陣或觀察矩陣，系統(tǒng)都要重新計算相關(guān)的內(nèi)部數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。頻繁地設(shè)置這些矩陣——例如，每幀20,000次——計算量非常大。通過將世界矩陣和觀察矩陣串接成一個世界/觀察矩陣，并將之設(shè)置為世界矩陣，然后將觀察矩陣設(shè)為單位矩陣，應(yīng)用程序可以將所需的計算量減到最小。最好保存一份單獨的世界矩陣和觀察矩陣的副本在高速緩存中，這樣就可以根據(jù)需要修改、串接及重置世界矩陣。為清晰起見，Direct3D示例很少使用這項優(yōu)化。
投影變換
可以認為投影變換是控制攝像機的內(nèi)部參數(shù)，這選擇攝像機的鏡頭有些相似。這是三種類型的變換中最為復(fù)雜的。對投影變換的討論被分為以下主題。
什么是投影變換？
典型的投影變換就是一個縮放和透視投影。投影變換將視棱錐轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€立方體。因為視棱錐的近端比遠端小，所以這就產(chǎn)生了離攝像機近的物體被放大的效果，這就是透視如何被應(yīng)用于場景的。
在視棱錐中，攝像機與觀察變換空間的原點之間的距離被定義為D，因此投影矩陣看起來是這樣：
通過在z方向平移-D，觀察矩陣將攝像機平移到原點。平移矩陣如下所示：
將平移矩陣與投影矩陣相乘（T*P），得到合成的投影矩陣。如下：
下圖描繪了透視投影如何將視棱錐轉(zhuǎn)變到新的坐標(biāo)空間。注意棱錐變成了立方體，同時原點從場景的右上角移到了中心。（譯注：應(yīng)該是從前裁剪平面的中心移到了原點）
在透視變換中，x和y方向的邊界值是-1和1。Z方向的邊界值分別是，0對應(yīng)于前平面，1對應(yīng)于后平面。
這個矩陣根據(jù)指定的從攝像機到近裁剪平面的距離，平移并縮放物體，但沒有考慮視角（fov），并且用它為遠處物體產(chǎn)生的z值可能幾乎相同，這使深度比較變得困難。以下矩陣解決了這些問題，并根據(jù)視區(qū)的縱橫比調(diào)整頂點，這使它成為透視投影的一個很好的選擇。
在這個矩陣中，Zn是近裁剪平面的z值。變量w，h和Q有以下含義。注意fovw和fovh表示視區(qū)在水平和垂直方向上的視角，以弧度為單位。
對應(yīng)用程序而言，使用視角的角度定義x和y的比例系數(shù)可能不如使用視區(qū)在水平和垂直方向上的大小（在攝像機空間中）方便。可以用數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得出下面兩個使用視區(qū)大小計算w和h的公式，它們與前面的公式是等價的。
在這兩個公式中，Zn表示近裁剪平面的位置，Vw和Vh變量表示視區(qū)在攝像機空間的寬和高。
對于C++應(yīng)用程序而言，這兩個大小直接對應(yīng)于D3DVIEWPORT9結(jié)構(gòu)的Width和Height成員。（譯注：雖然直接對應(yīng)，但是不等價的，因為Vw和Vh位于攝像機空間，而Width和Height位于屏幕空間）
無論決定使用什么公式，非常重要的一點是要盡可能將Zn設(shè)得大，因為接近攝像機的z值變化不大。這使得用16位z緩存的深度比較變得有點復(fù)雜。
同世界變換和觀察變換一樣，應(yīng)用程序調(diào)用IDirect3DDevice9::SetTransform方法設(shè)置投影矩陣。
設(shè)置投影矩陣
以下ProjectionMatrix示例函數(shù)設(shè)置了前后裁剪平面，以及在水平和垂直方向上視角的角度。此處的代碼與什么是投影矩陣？主題中討論的方法相似。視角應(yīng)該小于弧度π。
D3DXMATRIX
ProjectionMatrix(const float near_plane, // 到近裁剪平面的距離
const float far_plane, // 到遠裁剪平面的距離
const float fov_horiz, // 水平視角，用弧度表示
const float fov_vert) // 垂直視角，用弧度表示
{ float h, w, Q;
w = (float)1/tan(fov_horiz*0.5); // 1/tan(x) == cot(x)
h = (float)1/tan(fov_vert*0.5); // 1/tan(x) == cot(x)
Q = far_plane/(far_plane - near_plane);
D3DXMATRIX ret;
ZeroMemory(&ret, sizeof(ret));
ret(0, 0) = w;
ret(1, 1) = h;
ret(2, 2) = Q;
ret(3, 2) = -Q*near_plane;
ret(2, 3) = 1;
return ret;
} // End of ProjectionMatrix
在創(chuàng)建矩陣之后，調(diào)用IDirect3DDevice9::SetTransform方法設(shè)置投影矩陣，要將第一個參數(shù)設(shè)為D3DTS_PROJECTION。
Direct3D擴展（D3DX）工具庫提供了以下函數(shù)，幫助應(yīng)用程序設(shè)置投影矩陣。
- D3DXMatrixPerspectiveLH
- D3DXMatrixPerspectiveRH
- D3DXMatrixPerspectiveFovLH
- D3DXMatrixPerspectiveFovRH
- D3DXMatrixPerspectiveOffCenterLH
- D3DXMatrixPerspectiveOffCenterRH
W友好投影矩陣
對于已經(jīng)用世界、觀察和投影矩陣變換過的頂點，Microsoft® Direct3D®使用頂點的W成員進行深度緩存中基于深度的計算或計算霧效果。類似這樣的計算要求應(yīng)用程序歸一化投影矩陣，使生成的W與世界空間中的Z相同。簡而言之，如果應(yīng)用程序的投影矩陣包含的（3，4）系數(shù)不為1，那么為了生成適用的矩陣，應(yīng)用程序必須用（3，4）系數(shù)的倒數(shù)縮放所有的系數(shù)。如果應(yīng)用程序不提供符合這樣要求的矩陣，那么會造成霧效果和深度緩存不正確。什么是投影矩陣？中推薦的矩陣符合基于w的計算的要求。
下圖顯示了不符合要求的投影矩陣，以及對同一個矩陣進行縮放，這樣就可以啟用基于視點的霧。
我們假設(shè)在前面的矩陣中，所有變量都不為零。更多有關(guān)相對于視點的霧的信息，請參閱基于視點的深度與基于Z的深度的比較。更多有關(guān)基于w的深度緩存，請參閱深度緩存。
注意 Direct3D在基于w的深度計算中使用當(dāng)前設(shè)置的投影矩陣。因此，即使應(yīng)用程序不使用Direct3D變換流水線，但是為了使用基于w的特性，應(yīng)用程序必須設(shè)置一個符合要求的投影矩陣。