問題:
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3687思路:
這題理解起來就很困難，等理解透了也還是不會(huì)
參考:
http://hi.baidu.com/archersfate/blog/item/30e66f76734a0c12b051b9ab.html總結(jié):
逆向的拓?fù)渑判颍韧趯?duì)轉(zhuǎn)置圖進(jìn)行正向的拓?fù)渑判颍ㄆ鋵?shí)就是入度與出度的區(qū)別）
DFS實(shí)現(xiàn)拓?fù)渑判蜻m合于求出所有可能的解
BFS實(shí)現(xiàn)拓?fù)渑判蜻m合于求出滿足特定要求的解
代碼:
1 /* cpp: priority_queue */
2 #include<iostream>
3 #include<queue>
4 #include<vector>
5 #include<functional>
6 #include<cstdio>
7 #include<cstring>
8 using namespace std;
9
10 #define MAX_N 201
11 int n, m;
12 int adj[MAX_N][MAX_N];
13 int out_degree[MAX_N], topo[MAX_N], ans[MAX_N];
14
15 void
16 init()
17 {
18 int i, pre, suc;
19 memset(adj, 0, sizeof(adj));
20 memset(out_degree, 0, sizeof(out_degree));
21 scanf("%d %d", &n, &m);
22 for(i=0; i<m; i++) {
23 scanf("%d %d", &pre, &suc);
24 if(!adj[pre][suc]) { /* avoid duplicates */
25 adj[pre][suc] = 1;
26 ++out_degree[pre];
27 }
28 }
29 }
30
31 void
32 reverse_topo_sort()
33 {
34 int i, tmp, count = 0;
35 priority_queue<int, vector<int>, less<int> > Q;
36 for(i=1; i<=n; i++)
37 if(out_degree[i] == 0)
38 Q.push(i);
39 while(!Q.empty()) { /* BFS */
40 tmp = Q.top();
41 Q.pop();
42 topo[++count] = tmp;
43 for(i=1; i<=n; i++)
44 if(adj[i][tmp]) {
45 --out_degree[i];
46 if(!out_degree[i])
47 Q.push(i);
48 }
49 }
50 if(count != n) { /* not DAG */
51 printf("-1\n");
52 return;
53 }
54 for(i=1; i<=n; i++)
55 ans[topo[n-i+1]] = i;
56 for(i=1; i<=n; i++)
57 printf("%d ", ans[i]);
58 printf("\n");
59 }
60
61 int
62 main(int argc, char **argv)
63 {
64 int tests;
65 scanf("%d", &tests);
66 while(tests--) {
67 init();
68 reverse_topo_sort();
69 }
70 }
轉(zhuǎn)載:
PKU 3687 在基本的拓?fù)渑判虻幕A(chǔ)上又增加了一個(gè)要求：編號(hào)最小的節(jié)點(diǎn)要盡量排在前面；在滿足上一個(gè)條件的基礎(chǔ)上，編號(hào)第二小的節(jié)點(diǎn)要盡量排在前面；在滿足前兩個(gè)條件的基礎(chǔ)上，編號(hào)第三小的節(jié)點(diǎn)要盡量排在前面……依此類推。（注意，這和字典序是兩回事，不可以混淆。）
如圖 1 所示，滿足要求的拓?fù)湫驊?yīng)該是：6 4 1 3 9 2 5 7 8 0。
圖 1 一個(gè)拓?fù)渑判虻睦?/div>
一般來說，在一個(gè)有向無環(huán)圖中，用 BFS 進(jìn)行拓?fù)渑判蚴潜容^常見的
做法
做法，如
算法 1 所示。但是它不一定能得到本題要求的拓?fù)湫颉?br style="line-height: normal; ">
1. 把所有入度為 0 的節(jié)點(diǎn)放進(jìn)隊(duì)列 Q
2. WHILE： Q 不是空隊(duì)列
3. 從 Q 中取出隊(duì)列首元素 a，把 a 添加到答案的尾部。
4. FOR：所有從 a 出發(fā)的邊 a → b
5. 把 b 的入度減 1。如果 b 的入度變?yōu)?0，則把 b 放進(jìn)隊(duì)列 Q。 |
算法 1 用 BFS 進(jìn)行拓?fù)渑判?/div>
為了解決本問題，下面讓我來探究一下拓?fù)湫虻囊恍┬再|(zhì)。以
圖 1 為例，節(jié)點(diǎn) 0 毫無疑問排在最后。除了節(jié)點(diǎn) 0 以外，有三條互相平行的路徑：
6 →
4 →
1、
3→
9 →
2 和
5 →
7 →
8。一條路徑上的各個(gè)節(jié)點(diǎn)的先后關(guān)系都是不能改變的，比如路徑
6 →
4 →
1 上的三個(gè)節(jié)點(diǎn)在拓?fù)湫蛑校欢ㄊ?nbsp;
6 在最前，
1 在最后。但是，互相平行的各條路徑，在總的拓?fù)湫蛑?strong style="line-height: normal; ">任意交錯(cuò)都是合法的。比如，以下都是
圖 1 的合法拓?fù)湫颍?br style="line-height: normal; ">
6 4 1 3 9 2 5 7 8 0、
3 6 9 4 5 1 7 8 2 0、
5 6 4 7 3 8 1 9 2 0、
3 5 6 4 1 7 9 2 8 0、
6 5 7 8 4 3 9 2 1 0。
怎么才能找出題目要求的拓?fù)湫蚰兀吭谶@里，我想用
字典序最先的拓?fù)湫騺硪鲞@個(gè)算法。
算法 2 可以求出字典序最先的拓?fù)湫颉?br style="line-height: normal; ">
1. 把所有入度為 0 的節(jié)點(diǎn)放進(jìn)優(yōu)先隊(duì)列 PQ
2. WHILE： PQ 不是空隊(duì)列
3. 從 PQ 中取出編號(hào)最小的元素 a，把 a 添加到答案的尾部。
4. FOR：所有從 a 出發(fā)的邊 a → b
5. 把 b 的入度減 1。如果 b 的入度變?yōu)?0，則把 b 放進(jìn)優(yōu)先隊(duì)列 PQ。 |
算法 2 求出字典序最先的拓?fù)湫?/div>
可見，
算法 2 和
算法 1 基本一樣，只是把隊(duì)列改成了優(yōu)先隊(duì)列。用它求出的
圖 1 的字典序最先的拓?fù)湫驗(yàn)椋?font color="#339900" style="line-height: normal; ">
3 5 6 4 1 7 8 9 2 0。但是這顯然不是本題要求的答案，因?yàn)楣?jié)點(diǎn) 1 的位置還不夠靠前。
算法 2 可以算是一個(gè)貪心算法，每一步都找編號(hào)最小的節(jié)點(diǎn)。但是對(duì)于
圖 1 中的三條路徑，頭的編號(hào)比較小的，不一定要先出隊(duì)列。正確的步驟應(yīng)該如下：
- 節(jié)點(diǎn) 0 的位置是鐵定在最后的，不用考慮。只考慮剩下的三條路徑。
- 先找編號(hào)最小的，節(jié)點(diǎn) 1。把它和它所在的路徑中位于它前面的節(jié)點(diǎn)全部拿出來。目前的答案是 6 4 1，這樣， 節(jié)點(diǎn) 1 就盡量靠前了。
- 再找剩下的節(jié)點(diǎn)中編號(hào)最小的，節(jié)點(diǎn) 2。把它和它所在的路徑中位于它前面的節(jié)點(diǎn)全部拿出來。目前的答案是 6 4 1 3 9 2 ，這樣，節(jié)點(diǎn) 2 就盡量靠前了。
- 只剩下一條路徑了，只能依次把其中的節(jié)點(diǎn)拿出來。最后答案就是 6 4 1 3 9 2 5 7 8 0。
顯然，
算法 2 的貪心策略對(duì)于這個(gè)問題是不可行的。不能著眼于每條路徑的頭，而是要找編號(hào)最小的節(jié)點(diǎn)在哪條路徑上，優(yōu)先把這條路徑拿出來。但問題在于，在 BFS 的過程中，我們只能看到每條路徑的頭，看不到后面的節(jié)點(diǎn)，這該怎么辦呢？
讓我們換個(gè)角度想一想，節(jié)點(diǎn) 3 和 6，應(yīng)該是 6 先出隊(duì)列，因?yàn)楣?jié)點(diǎn) 1 在 6 的后面。這和節(jié)點(diǎn) 3 和 6 的編號(hào)大小沒有任何關(guān)系。但是，再看另外兩條路徑的尾部，節(jié)點(diǎn) 2 和 8，可以肯定地說，2
一定先出隊(duì)列，因?yàn)樗鼈兒竺娑紱]有別的節(jié)點(diǎn)了，這個(gè)時(shí)候完全以這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)本身的編號(hào)大小決定順序。歸納起來就是說，對(duì)于若干條平行的路徑，
小的頭部不一定排在前面，但是
大的尾部一定排在后面。于是，就有了
算法 3。
1. 把所有出度為 0 的節(jié)點(diǎn)放進(jìn)優(yōu)先隊(duì)列 PQ
2. WHILE： PQ 不是空隊(duì)列
3. 從 PQ 中取出編號(hào)最大的元素 a，把 a 添加到答案的頭部。
4. FOR：所有指向 a 的邊 b → a
5. 把 b 的出度減 1。如果 b 的出度變?yōu)?0，則把 b 放進(jìn)優(yōu)先隊(duì)列 PQ。 |
算法 3 求出本題目要求的拓?fù)湫?/div>
我覺得這道題目確實(shí)挺奧妙的，我搞了很久才想通
算法 3 為什么是正確的，特地在此寫一下。
