我看了不少插值的方法，有的方法講得莫名其妙，一個(gè)程序，一些系數(shù)，為什么這個(gè)系數(shù)是1，而不是0.5從來不講，讓人很懷疑其可用性。
后來做刀光的時(shí)候，采集的刀光的點(diǎn)不夠圓滑，需要用到插值——想想自己的高數(shù)還沒有完全忘光，干脆自己推導(dǎo)一個(gè)得了。
首先我們要明白什么叫做光滑的曲線，可以這么認(rèn)為，這個(gè)曲線是一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體，在時(shí)間[0，1]內(nèi)運(yùn)動(dòng)的軌跡。而要求的光滑的曲線，就是要求物體運(yùn)動(dòng) 過程中沒有速度的突變。且要求不同的曲線段之間，速度也不能有突變。據(jù)此，我們可以大約知道插值一段曲線，需要指導(dǎo)曲線其實(shí)點(diǎn)的位置和速度，結(jié)束點(diǎn)的位置 和速度。由于有四個(gè)已知變量，顯然，用一個(gè)四次方程來描述這個(gè)曲線是再合適不過了。
方程如下：
f(t) = a * t ^ 3 + b * t ^ 2 + c * t + d [0 <= t <= 1]
對(duì)f(t)求導(dǎo)，得到速度方程：
f'(t) = 3 * a * t ^ 2 + 2 * b * t + c [0 <= t <= 1]
所以
f(0) = d = x0(起始點(diǎn)位置)
f(1) = a + b + c + d = x1(結(jié)束點(diǎn)位置)
f'(0) = c = y0(起始點(diǎn)速度)
f'(1) = 3 * a + 2 * b + c = y1(結(jié)束點(diǎn)速度)
聯(lián)合上面四個(gè)式子可解得
a = 2 * x0 - 2 * x1 + y0 + y1
b = 3 * x1 - 3 * x0 - y1 - 2 * y0
c = y0
d = x0
再利用
f(t) = a * t ^ 3 + b * t ^ 2 + c * t + d [0 <= t <= 1]
就可以插值這斷曲線了
當(dāng)然，事情還沒有完，通常情況下，我們得到的數(shù)據(jù)只有各個(gè)采樣點(diǎn)的位置，沒有速度。這個(gè)時(shí)候，速度怎么辦？我的解決辦法是，在有3個(gè)采樣點(diǎn)的時(shí)候(p0,p1,p2)，計(jì)算出p1采樣點(diǎn)的速度，另外，再假設(shè)采樣時(shí)間間隔是均勻的，因此：
v1 = (p2 - p0) * 0.5
在有N個(gè)采樣的時(shí)候，特殊處理起始點(diǎn)和結(jié)束點(diǎn)的速度
v0 = p1 - p0;
vn = pn - p(n-1)
這樣得到的曲線完全滿足平滑的要求，缺點(diǎn)是，曲線開始插值的時(shí)候要延遲一個(gè)采樣點(diǎn)的時(shí)間，有的時(shí)候，v0 速度很快，因此，會(huì)出現(xiàn)一條有縫隙刀光。針對(duì)當(dāng)前項(xiàng)目，我在第一次采樣的時(shí)候，將時(shí)間稍微往后加了0.001秒，按照當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)多采樣了一次，從而消 除了這個(gè)縫隙。因?yàn)轭A(yù)測(cè)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間很短，即使預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，也不影響刀光的外觀。