我看了不少插值的方法，有的方法講得莫名其妙，一個程序，一些系數，為什么這個系數是1，而不是0.5從來不講，讓人很懷疑其可用性。

后來做刀光的時候，采集的刀光的點不夠圓滑，需要用到插值——想想自己的高數還沒有完全忘光，干脆自己推導一個得了。

首先我們要明白什么叫做光滑的曲線，可以這么認為，這個曲線是一個運動物體，在時間[0，1]內運動的軌跡。而要求的光滑的曲線，就是要求物體運動 過程中沒有速度的突變。且要求不同的曲線段之間，速度也不能有突變。據此，我們可以大約知道插值一段曲線，需要指導曲線其實點的位置和速度，結束點的位置 和速度。由于有四個已知變量，顯然，用一個四次方程來描述這個曲線是再合適不過了。

方程如下：

f(t) = a * t ^ 3 + b * t ^ 2 + c * t + d               [0 <= t <= 1]

對f(t)求導，得到速度方程：

f'(t) = 3 * a * t ^ 2 + 2 * b * t + c              [0 <= t <= 1]

所以
f(0) = d = x0(起始點位置)
f(1) = a + b + c + d = x1(結束點位置)
f'(0) = c = y0(起始點速度)
f'(1) = 3 * a + 2 * b + c = y1(結束點速度)

聯合上面四個式子可解得

a = 2 * x0 - 2 * x1 + y0 + y1
b = 3 * x1 - 3 * x0 - y1 - 2 * y0
c = y0
d = x0

再利用

f(t) = a * t ^ 3 + b * t ^ 2 + c * t + d               [0 <= t <= 1]

就可以插值這斷曲線了

當然，事情還沒有完，通常情況下，我們得到的數據只有各個采樣點的位置，沒有速度。這個時候，速度怎么辦？我的解決辦法是，在有3個采樣點的時候(p0,p1,p2)，計算出p1采樣點的速度，另外，再假設采樣時間間隔是均勻的，因此：

v1 = (p2 - p0) * 0.5

在有N個采樣的時候，特殊處理起始點和結束點的速度

v0 = p1 - p0;

vn = pn - p(n-1)

這樣得到的曲線完全滿足平滑的要求，缺點是，曲線開始插值的時候要延遲一個采樣點的時間，有的時候，v0 速度很快，因此，會出現一條有縫隙刀光。針對當前項目，我在第一次采樣的時候，將時間稍微往后加了0.001秒，按照當前的運動趨勢多采樣了一次，從而消 除了這個縫隙。因為預測的運動時間很短，即使預測錯誤，也不影響刀光的外觀。