Posted on 2011-01-18 13:43
Tommy Liang 閱讀(1860)
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數學
1.矩陣乘以向量即為使用向量的分量對矩陣的列進行線性組合；
2.每個消元步驟都可以用矩陣乘法表達；由此導出求逆的辦法：
E[A I]表明對 [A I]分塊矩陣進行消元，消元的步驟歸結為 E,則得到 [EA E]，EA最終變成I，那么E就是A-,其值由[EA E](即[I E])的右邊分塊給出。
3.矩陣乘法可以改變組合順序（重新組合括號），但不可交換；
4.矩陣在左邊的時候，用行變換，在右邊的時候，用列變換；
5.行操作的步驟：選擇左邊矩陣每行的分量作為組合因子，對右邊矩陣的各行進行線性組合，產生對應的各行；
6.列操作的步驟：選擇右邊矩陣每列（向量）的分量作為組合因子，對左邊矩陣的各列進行線性組合，產生對應的各列；
7.置換矩陣：行交換后的單位矩陣；
8.置換矩陣的特點：總是可逆的，并且其轉置恰好等于其逆；
9.PA=LU， 矩陣總可做LU分解，P是置換矩陣(Permutation)；
10.對稱矩陣：轉置后等于自身的矩陣；
11.矩陣乘上其轉置可以產生一個對稱矩陣；
12.向量空間：即若干向量的線性組合；
線性無關：如果向量無論如何組合（除了零組合）都得不到零向量，那么這些向量就是線性無關的，反之就是線性相關的，簡言之，如果 Ax = 0 無解（零解除外），則A的列向量線性無關。
（矩陣的）零空間（NA)：使得Ax=0的所有x，總是包括零向量,零空間告訴我們矩陣的列向量是如何組合使得他們線性相關的；
13.Ax=b的可解性分析：首先b必須在C(A)（A的列空間）中，第二是如果A的行的某個線性組合產生了零行，那么b的同樣的線性組合必須也給出零；
14.如何找到Ax=b的全解集：
（1）找到一個特解：首先將所有的自由變量設置為零，然后為解Ax=0得到主元，比如R4中，x1,x3是主元，解出特解為 [x1,0,x3,0]T；
（2）解x的零空間(null space)；
現在，全解的表達式就是 特解 + 零空間中x的任意線性組合；
15.矩陣的秩(Rank)：消元后有主元的列數；
16.m x n 矩陣的秩r與Ax=b的解集的關系：
（1）r = m = n
其 rref (reduced row echelon form:矩陣的化簡行階梯形式) 是單位矩陣I，Ax=b有唯一解；
（2）r = n < m
其 rref 形如 [I 0]T 零解或一個解,當b的下面的對應rref的零塊的分量不是0的話，就是零解；
（3）r = m < n
其 rref 形如 [IF],F是自由變量，有無窮多個解；
（4）r < m，r < n
其 rref 形如 [IF 00]T ，有零或無窮解；
17.如果矩陣的零空間只有零向量，那么矩陣的向量線性無關 (independent)，可以理解為：除了零，沒有其他線性組合使得矩陣的向量回到原點，則向量線性無關；
18.張成(Span)：矩陣列向量的所有線性組合；
19.空間的基(Basis):{ 空間中的向量集 | 線性無關且可張成空間本身 },某個空間的所有基都有相同個數的向量數，這個數稱為空間的維(Dimension),
其中，DimC(A)=r， DimN(A) = n - r
20.矩陣的四個子空間：
（1）C(A) 列空間，在 Rm，向量有m個分量,Dim(C(A)) = r;
（2）N(A) 零空間，在 Rn,Dim(N(A)) = n-r
（3）C(AT) 行空間，在 Rn,Dim(C(AT)) = r，即矩陣轉置后，列空間的維度不變;這是一個很重要的結論。
（4）N(AT) 轉置的零空間，在 Rm,Dim(N(AT)) = m-r
今天到西麗考第一科目，100分過關！特此慶祝！