迭代公式具體為Xn+1=(Xn+a/xn)/2  (n=0,1,2,3….;X0=a/2)，這是我的一次作業。

#include<iostream.h>

#include<math.h>

void main()

{

float a,m,n;

cout<<"please input a positive integer"<<endl;

cout<<"a="<<endl;

cin>>a;

n=a/2;

m=(n+a/n)/2;

while(fabs(n-m)>1e-6)

{n=m;

m=(n+a/n)/2;

}
cout<<"The square root of a is"<<m<<endl;
}

 

呵呵，關于牛頓迭代法，眾人研究甚多。
TIP₁:
牛頓迭代法（Newton's method）又稱為牛頓-拉夫遜方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和復數域上近似求解方程的方法。多數方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。方法使用函數f(x)的泰勒級數的前面幾項來尋找方程f(x) = 0的根。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優點是在方程f(x) = 0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根。

設r是f(x) = 0的根，選取x0作為r初始近似值，過點（x0,f(x0)）做曲線y = f(x)的切線L，L的方程為y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L與x軸交點的橫坐標 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，稱x1為r的一次近似值。過點（x1,f(x1)）做曲線y = f(x)的切線，并求該切線與x軸的橫坐標 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，稱x2為r的二次近似值。重復以上過程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，稱為r的n+1次近似值，上式稱為牛頓迭代公式。

解非線性方程f(x)=0的牛頓法是把非線性方程線性化的一種近似方法。把f(x)在x0點附近展開成泰勒級數 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其線性部分，作為非線性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展開的前兩項，則有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=f(x)=0 設f'(x0)≠0則其解為x1=x0－f(x0)/f'(x0) 這樣，得到牛頓法的一個迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。

TIP₂:

相關：迭代算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重復性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重復執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變量的原值推出它的一個新值。
例如，當我們要解決一個相關遞增問題時，利用計算機的優勢可以設計出相關的程序來快速求得解。
如題， 一個飼養場引進一只剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問到第 12 個月時，該飼養場共有兔子多少只？
呵呵，又是兔子問題，這是個思路比較清楚，解法比較簡單的一道題！
這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設第 1 個月時兔子的只數為 u1 ，第2個月時兔子的只數為u2,第3個月時兔子的只數為u3，……根據題意，“這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一只兔子”，則有
U1＝1,U 2＝U1＋U1×1＝2,U3＝U2+U2×1＝4,……
根據這個規律，可以歸納出下面的遞推公式： 
U n ＝ U (n-1)× 2 (n ≥ 2) ,對應 Un 和 U n － 1 ，定義兩個迭代變量 y 和 x ，可將上面的遞推公式轉換成如下迭代關系：
y=x*2
x=y
讓計算機對這個迭代關系重復執行 11 次，就可以算出第 12 個月時的兔子數。