以下兩個(gè)故事出自
zhiqiang的blog
OK，問題閱讀完畢，現(xiàn)在我們開始思考這個(gè)trick；
問題可以大致歸納如下：一個(gè)零和游戲中，博弈雙方的數(shù)學(xué)期望都是正的。
歸納之后，就很容易看出問題的所在了：制造悖論的人，故意將數(shù)學(xué)期望最大值同最優(yōu)博弈策略混淆開來：
這里我可以舉一個(gè)例子，以解釋數(shù)學(xué)期望的最大并不等于博弈策略的最佳：
如果你手頭有一億美金，然后有人拉你去參加一次賭博，這個(gè)賭博有這樣的特征：
1） 你只有參加一次的機(jī)會(huì)
2）你必須壓上你所有的金錢
3）你獲勝的幾率是一億分之一
4）賠率是一賠十億
請(qǐng)問你參加不參加？
是的，這個(gè)賭博的特征，與上邊悖論中的大致類似；我猜想只要精神正常的人，大概都會(huì)拒絕。
那么，如果你的手頭只有一美金（或者一美分）呢？你會(huì)不會(huì)參加？我不知道你怎么想，反正我會(huì)去碰碰運(yùn)氣的：）
其實(shí)，在這中賭博中，手頭金錢越多的人，越趨向于拒絕參加，表現(xiàn)為風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的特征；
而手頭拮據(jù)的人，即使勝率再低一點(diǎn)，也會(huì)躍躍欲試的－－－－想必你已經(jīng)想到為什么歷史上揭竿而起的，多是窮苦大眾，
而富足人家，大多對(duì)謀朝篡位之類的避之不迭，當(dāng)然，呂不韋是一個(gè)異類，無視他好了。
上邊是一個(gè)定性的分析，下邊給出對(duì)第一個(gè)悖論數(shù)學(xué)模型的定量計(jì)算：
1. 相同數(shù)量的金錢，在擁有不同數(shù)量身家的人眼里，分量是不一樣的，如：
對(duì)于街邊乞討的人和百萬富豪來說，一元錢的分量截然不同－－－－據(jù)說比爾
大門就是把時(shí)間用來數(shù)百元大鈔，也是虧本的。
2.如承認(rèn)1. 的假設(shè)，那么，上邊的"酷斃"與"帥呆"，因?yàn)樗麄兎值玫慕疱X數(shù)量不
同，也就是身家不同，其決策也應(yīng)當(dāng)受到影響，如：
"酷斃"獲得金錢為2，"帥呆"獲得金錢為1，
那么，引入一個(gè)金錢分量函數(shù)F(x)，刻畫不同身家對(duì)個(gè)體貪婪程度的影響。
可以假設(shè)
"酷斃"的金錢分量函數(shù)為 F1(x) = ln(x-1) －－－－分量函數(shù)隨著金
錢增長而增長，不過緩慢
"帥呆"的金錢分量函數(shù)為 F2(x) = x-1 －－－－分量函數(shù)隨金錢
增長而增長，快速
（注：因?yàn)樗麄兌挤值昧私饚哦恢缹?duì)方分得多少，讓他們對(duì)當(dāng)前金錢的滿意度
一樣，都為0）
（再注：金錢分量函數(shù)，刻畫的是對(duì)金錢的追求的貪婪程度－－－－同等數(shù)量的金
錢，個(gè)體越貪婪，其分量函數(shù)越大－－比爾大門對(duì)一元錢的貪婪程度，遠(yuǎn)遠(yuǎn)遜色于
一個(gè)乞丐：））
這種假設(shè)下，如果"酷斃"接受交換，那么交換后，他的身家分量的數(shù)學(xué)期望為：
_f1 = 0.5*ln(1-1) + 0.5*ln(4-1) = -inf < 0
因此，同意交換是他的最差策略；
如果"帥呆"接受交換，那么交換之后，他的身家的數(shù)學(xué)期望為：
-f2 = 0.5*(0.5-1) + 0.5*(2-1) = 0.25 >0
此時(shí)，同意交換是他的優(yōu)勢(shì)策略。
結(jié)論如下：
兩人是否做出交換的決定，受手里拿到錢的數(shù)量的影響，拿到錢愈多的人，愈傾向
于不交換。
原題推理的錯(cuò)誤，在于認(rèn)為同樣數(shù)量的金錢，對(duì)不同的人影響程度一樣，
即純粹的由數(shù)學(xué)期望大小出發(fā)做出的策略，不一定是最優(yōu)策略，風(fēng)險(xiǎn)必須被考慮在內(nèi)；
因此，原悖論的產(chǎn)生，是因?yàn)椴呗宰罴训母拍畋粩?shù)學(xué)期望最大偷換了。
posted on 2008-11-24 20:15
Wang Feng 閱讀(2294)
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