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      想來編程也有一段時間，什么都很明白就是對于坐標變換不是很理解，總是在關鍵的時候迷亂不已，胡亂的寫一些變換代碼，得到的結果當然讓自己云里霧里。仔細的看了一下好幾本書關于3D變換的篇章，總結了一下，希望對大家有幫助。末了聲明以下，可能我說得也有錯誤的地方，敬請局內人明鑒指正，我只是一個在校學生沒有實際的工作經驗。懇請大家提出寶貴的意見，打造一個Matrix Bible，讓更多的初學者不要走彎路。謝謝大家。

        矩陣變換是個相當重要的要點，難度應該僅次于數據結構部分。倒不是因為本身掌握知識對能力的要求有多么高，而是因為從來沒有人說明白過在實際情況中如何應用。

        在現代游戲的制作過程中，肯定是先由美工制作好要用到的模型，比如人物車輛地形等等，我們稱之為基本模型。而諸如3dsmax maya等等建模工具產生的二進制文件是Application特有的格式，所以一般需要導出，各大論壇上無數人曾經提問過如何載入3ds模型。成熟的3D引擎都有自己的一套Util工具用來把模型導出為引擎特有的數據格式，比如Doom3引擎開源論壇上就提供3dsmax maya等使用的導出插件，用來輸出為MD5格式的模型文件。其中會用到一種叫做Data Chunk的概念，不再多說。

        當美工制作模型的時候，肯定以建模工具提供的那個坐標系為基本坐標系進行建模。模型的頂點都是相對于各自基本的坐標系，我們稱之為Local坐標系統或者Object坐標系。

        美工把這些數據交給程序員。程序員需要在場景中安放這些模型，比如在地圖上放置建筑車輛人物等等。可是程序員面對的這些模型的坐標，數字可能是一樣的，因為都是相對于Local坐標系統，就這樣一股腦的載入，肯定都是在“世界”的中心位置進行繪制，根本不可能分開。于是我們需要對各個物體，也就是各個獨立的坐標系統進行Transform（包括Translate Rotate Scale操作）。

        這里我們以GL為概念。當我們輸入glutSolidCube(4)的時候，它會產生這樣的數據：glVertex3f(2,2,2)，glVertex3f(-2,-2,-2)等等，也就是長度為4的一個立方體。注意我們畫的這個立方體的位置，肯定是出現在“世界”的中心位置。如果我們希望它移動到其他的位置呢？只能先glTranslatef()，再glutSolidCube。這個glTranslatef作用在MODELVIEW_MATRIX上，具體的形式請到OpenGL Wiki上看，那里連載了RedBook。

        比如我們輸入glTranslatef(1.0,0,0);glutSolidCube(4)，其實它產生的“真正頂點”是，(3,2,2)，(-1,-2,-2)，統統向x方向移動了一個位置。如果你在自己的范例程序里看不到是因為perspective中的far near planes沒有設置好。這樣我們就仿佛實現了平移以及旋轉等等操作，注意，是仿佛。

        我們把變換頂點的矩陣一般稱為MV（Model View）矩陣，把和在一起一步到位的矩陣稱為MVP矩陣，在GLSL中就有gl_ModelViewMatirx和gl_ModelViewProjectionMatrix這兩個Uniform Matirx。我們輸入一個頂點，希望把它放到這個世界的正確位置上，就需要乘以適合它自己的MV，因為不一樣的模型當然需要不一樣的世界位置。矩陣乘法就可以完成這項神奇的工作。可是向量的概念則很大不同。

        一個正方體，只要它在我們的映像中從頭到尾都是方方正正的立在場景中，它的向量，無論朝上朝下都應該是相同的，比如(1,0,0)左邊的面，只要我們不旋轉這個正方體，它在Local坐標系還是變換后也應該是(1,0,0)，這個時候我們用哪個矩陣呢？用MV顯然不同，就需要用MV的Inverse Transpose。在線性代數中，求一個矩陣的Inverse然后Transpose，與先求Transpose再求Inverse，這兩邊是完全相等的。在GLSL中，其實gl_Normal*gl_NormalMatrix等同于gl_Normal*gl_ModelViewInverseTransposeMatrix。REDBOOK是這樣說的：

                         In other words, normal vectors are transformed by the inverse transpose of the transformation that transforms points.

    　為什么有這樣的變化呢？我們用V(x,y,z,w)代表頂點，P(a,b,c,d)代表一個平面。相應的平面方程可以寫作，PV = 0，也就是ax + by + cz = 0，有個向量垂直于頂點所在的那個面。

    　這是個萬用公式么？還早呢？如果我們要把這個模型的位置改變掉，我們就一定需要把頂點乘以ModelView矩陣，為了方便我就用M代表MV。這里寫作：

                   PMV = ?

    　可是這個式子右邊等于什么呢？我也不知道。為了這個式子依舊讓右邊等于0，符合基本的幾何代數式，我們需要再給左邊乘以M-1，就是M的逆矩陣。

                  P M-1 M V = 0

    　有一個向量垂直于這個平面。于是引入n一個我們真正意義上的面向量，和平面內的任意一個向量都應該是正交的。那個任意向量如何獲得呢？最簡單的就是，那個頂點和原點構成的向量 —— 因為在我們最初的式子里面，默認這個平面就是通過原點的。我們想讓等式依舊成立，式子變成：

                 N T V = 0

    　注意上式的T。如果單純的N矩陣乘以V，得到的結果還是一個向量而不是數字，所以需要一個Transpose變換。綜合后，式子變換為：
                 N T  M-1 M V = 0

                 （如果我沒有理解錯的話，V應該隱含著用了2次）

    　好的，我們開始用矩陣運算法則去分解上述的式子。MV不變，剩下的也就是(M-1)T N，也就是需要ModelView矩陣的Inverse Transpose矩陣乘以向量。

    　只要這些明白了，高級變換也就沒有什么難得了。

Use Case
    古老的bump mapping

    　在BumpMapping里面有個很重要的過程，就是把光源位置轉換到以每個頂點處的向量為Z軸的空間中去，求向量的方法我不多說，為什么這樣做也沒有必要講，最關鍵的就是可能很多人不明白為什么要乘以以N B T為元素的矩陣。

    　其實這里很多書籍要么沒有解釋，要么一筆帶過。我來嘗試的解釋通透，可能有錯誤，希望大家指正。
    　GL的Matrix是Column-Major的形勢。我們以N B T為元素的矩陣為例。

        Nx Bx Tx
        Ny By Ty
        Nz Bz Tz

    　這里隱含的意思是：把頂點變換到以N B T為3個坐標軸的空間中，無論這個坐標系是不是和世界坐標系統“傾斜”的。

    　再次寫成4x4的形式：

        Nx Bx Tx 0
        Ny By Ty 0
        Nz Bz Tz  0
        0    0   0   1

    　注意第四列的連續三個0。代表的意義是：每個頂點變換到以這個N B T為坐標軸的坐標系后，需要Translate到的位置。因為在Bump Mapping中我們不需要對頂點的位置變換，所以隱含著寫成3x3的Matrix就足夠了。
　
    　這里的這個3x3矩陣，其實就是對于每個頂點來說的MV矩陣，轉換的就是那個LightPosition。可是這里又有一個問題，如果轉換的不止一個LightPosition，還有Normal怎么辦？因為這是個“斜”的坐標系，原來的(1,0,0)可不是變換后的(1,0,0)。記起來了么？Inverse Transpose！我們只要把原來的向量乘以這個以NBT為正交坐標軸向量的MV的Inverse Transpose，就可以得到正確的結果了。（我說得對么？）其實，因為這個矩陣3個向量都已經normalized，它的Inverse = Transpose，所以這個NBT矩陣的IT矩陣就是它自己！

    　微軟DirectX SDK Oct里面有個Shadow Mapping的Sample，代碼中有一部分詳細的說明了這個過程。它需要變換光源的向量，如果當我們把光源綁定到車上，就需要更改矩陣中w行的元素的。有興趣的朋友可以看看。

    　gl_LightPosition提供的光源參數是針對Eye Space，也就是所有的頂點已經經過MV變換的空間中的那個點。如果你有自己的光源安排一定要在空間中互相轉換，頭疼。GLSL用Uniform3f自己指定變換后空間中光源位置，比較方便，適合完成以場景為單位的光照計算。

        不再新潮的Shadow Mapping

 　Shadow mapping，包括后來的Variance SM，PCF等，有個關鍵的步驟，就是把場景轉換到以光源為攝像機的空間LightCamera中，獲得深度。這里，場景中所有的頂點需要變換到以LightCamera的NBT為坐標軸的坐標系中，向量的正確變換則需要乘以NBT的Inverse Transpose矩陣。（我推測的，希望大家指正）。接下來的事情么，在Shader中愛做什么做什么。

    　那么如何傳入所需要的矩陣呢？其實相當簡單。功夫厲害的，直接把數組通過glUniform4fmatrix()，或者cgSetParameter傳入。功夫弱一些的，老老實實的gl_MatrixModel(GL_MODELVIEW);glLoadIndentity();glMultMatrix();//乘以需要的矩陣到單位矩陣上，然后后再傳入Shader。

    　有的時候我們需要自己獨立求逆矩陣，如何辦到呢？這可不是紙上的線性代數考試可以用初等變換計算。
        
    　矩陣的變換和逆變換就那么3種，Translate，Rotate，Scale。
    　我們知道MV =  T * R。（T R代表為了實現Translate和Rotate相應的矩陣）
    　則Inv(MV) = Inv(T) * Inv(R)
        
    　也就是說，假設MV是
        ( R R R P)
        ( R R R P)
        ( R R R P)
        ( 0001)
    　則它所代表的 R T矩陣就是
       ( R R R 0)
       (R R R 0)
       ( R R R 0)
       ( 0001)
    　和
      ( 100 P)
      ( 010 P)
      ( 001 P)
       ( 0001)
    　計算相應子矩陣的逆矩陣，Inv(T)就是
       ( 100 -P)
       ( 010 -P)
       ( 001 -P)
       ( 000  1)
    　逆旋轉矩陣可能復雜一些，不過依舊可以計算出來，也就是它的Transpose。然后乘一下，逆矩陣就出來了。

    　目前我所想到的關鍵就這么多，更多的懇請大家添加，謝謝。

解析 NVIDIA中的HW Shadow Mapping Demo
       　既然是SM的DEMO，在LightSpace和CameraSpace之間進行變換肯定是少不了的。當然，也應用到了多通道的思想。

    quad.new_list(GL_COMPILE);
    glPushMatrix();
    glRotatef(-90, 1, 0, 0);
    glScalef(4,4,4);
    glBegin(GL_QUADS);
    glNormal3f(0, 0, 1);
    glVertex2f(-1, -1);
    glVertex2f(-1,  1);
    glVertex2f( 1,  1);
    glVertex2f( 1, -1);
    glEnd();
    glPopMatrix();
    quad.end_list();

    wirecube.new_list(GL_COMPILE);
    glutWireCube(2); 
    wirecube.end_list();
    
    geometry.new_list(GL_COMPILE);
    glPushMatrix();
    glTranslatef(0, .4f, 0);
    glutSolidTeapot(.5f);
    glPopMatrix();
    geometry.end_list();

   
    首選我們新建了3個顯示列表，可以看出，quad的意義是，處在世界平面的x z平面的尺寸為4x4的一個平面（先畫xy平面內的點，不過又旋轉了90度）。geometry么，就是那個著名的nurbs茶壺，我們想象為在世界平面y向上的0.4f處。注意每次繪制前都會調用glPushMatrix把MV矩陣推入Stack，這個步驟相當重要，因為我們還不知道前面的坐標系，究竟在哪里，不過后面我們又看到了如何解決這個問題。

void render_scene(glut_simple_mouse_interactor & view)
{
    glColor3f(1,1,1);
    glPushMatrix();
    view.apply_inverse_transform();

    glPushMatrix();
    object.apply_transform();

    render_quad();

    glEnable(GL_LIGHTING);
    geometry.call_list();
    glDisable(GL_LIGHTING);

    glPopMatrix();
    glPopMatrix();
}

    通篇代碼閱讀完畢，發現這個函數最重要。參數view，我的理解是，它是View變換矩陣，也就是儲存了3個正交單位向量，有可能包括眼睛的位置（注意是有可能），無論這個眼睛是攝像機，還是光源。

    不過這個view.apply_inverse_transform()，它究竟代表了哪些操作呢？讓我們在nvidia自己寫的glh文件里面探尋一下吧。

    void apply_transform()
    {
      translator.apply_transform();
      trackball.apply_transform();
    }

    void apply_inverse_transform()
    {
      trackball.apply_inverse_transform();
      translator.apply_inverse_transform();
    }

    如果要調用apply_transform()進行坐標變換，那么是先位移，再旋轉。如果要返回到最初的坐標系，那么就應該是先旋轉回來，再位移回去。知道為什么么？
   
    我們默認的位移其實應該是相對于World Coordinate，也就是說，我們意義上的向xyz方向移動幾個單位其實是在那個最初的平面世界中的，而不是應該在攝像機空間中的位移 —— 因為最初世界坐標系里面的三個正交方向向量其實也已經旋轉過了，也就是說，如果我們先旋轉再位移，得到的軌跡相對于我們腦海中的世界坐標系是一條斜直線 —— 雖然說它對于攝像機坐標系來說是坐標軸直線。
    如果用線性代數的性質也很好解釋，本來正確的transform順序（原因在上面）就是I*T*R，如果要回到I，就必須I*T*R*R-1*T-1 = I。OpenGL的matrix操作是右結合的。

    這里的 view.apply_inverse_transform()就好理解了。不管我渲染什么，我總是要先把坐標系放回到世界坐標系中的原點處，保存好當前矩陣，然后再調用顯示列表。不過我們又發現那個render_quad()，好，我們再把它揪出來。

void  render_scene_from_camera_view()
{
     //  place light
    glPushMatrix();
    glLoadIdentity();
    camera.apply_inverse_transform();
    spotlight.apply_transform();
    glLightfv(GL_LIGHT0, GL_POSITION,  &  vec4f( 0 , 0 , 0 , 1 )[ 0 ]);
    glPopMatrix();

     //  spot image
    glActiveTextureARB(GL_TEXTURE1_ARB);

    glPushMatrix();
    camera.apply_inverse_transform();
    eye_linear_texgen();    
    texgen( true );
    glPopMatrix();

    glMatrixMode(GL_TEXTURE);
    glLoadIdentity();
    glTranslatef(.5f, .5f, .5f);
    glScalef(.5f, .5f, .5f);
    gluPerspective(lightshaper.fovy,  1 , lightshaper.zNear, lightshaper.zFar);
    spotlight.apply_inverse_transform();
    glMatrixMode(GL_MODELVIEW);

    light_image.bind();
    light_image.enable();
    glTexEnvi(GL_TEXTURE_ENV, GL_TEXTURE_ENV_MODE, GL_MODULATE);

    glActiveTextureARB(GL_TEXTURE0_ARB);
    reshaper.apply();
    render_scene(camera);

    glActiveTextureARB(GL_TEXTURE1_ARB);
    light_image.disable();
    glActiveTextureARB(GL_TEXTURE0_ARB);

    render_light_frustum();
}

看哪，天梯！
 　　說了這么多的東西，貼了這么多代碼，我們究竟應該把握住哪些東西呢？
    1、計算出自己需要的View變換矩陣，從此告別gluLookAt或者D3DXMatrixLookAtLH
    首先選擇Eye所在世界中的位置，比如說在(4,4,4)處。選擇目光所看的點，比如原點O(0,0,0)，或者一個方向向量 D(-4,-4,-4)。
    選擇一個世界坐標系中Up向量，在GL中就是UpTmp(0,1,0)。
    得到一個新向量C = cross(D,UpTmp)。注意是D叉乘UpTmp。
    仍掉那個UpTmp。U（Up）= cross(C,D)。
   
    完成了大半工作了！讓我們繼續。

    D.normalize();C.normalize();D.normalize();把向量縮放為單位長度。
    構造這個矩陣。你可以理解為一個定義在原點的旋轉矩陣：
    matrix4f v( c[0],c[1],c[2],0,
                u[0],u[1],u[2],0,
                -d[0],-d[1],-d[2],0,
                0,0,0,1
        );
    再次引用Eye的位置（4,4,4），構造一個translate矩陣：
    matrix4f t(1,0,0,-4,
                0,1,0,-4,
                0,0,1,-4,
                0,0,0,1
        );//注意是負的，因為這是用center - eyepos得到的
    有了這兩個矩陣，一切就都好辦了。我們就可以得到一個View Transform的完整矩陣：
    matrix4f ViewTransformMatrix = v.mult_right(t);注意是右乘，它的效果等同于：

    glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
    glLoadIndentity();
    glMultMatrixf(v);//這里只是比喻一下
    glTranslatef(-4,-4,-4);

    有了這個變換矩陣后，我們還需要它的逆矩陣。
    matrix4f ViewTransformInverseMatrix = ViewTransformMatrix.inverse();
   
    接下來把數據放到2個數組中去。

   
    注意，OpenGL的矩陣是Colunm - Major的順序，所以載入數組的時候需要把i j位置替換下。

   
    是不是覺得我多此一舉？為什么要乘來乘去的，不就是回到單位矩陣么？事實上我曾經調試了很多次，通過比較輸出gluLookAt(4,4,4,0,0,0,0,1,0)生成的矩陣和自己生成的矩陣是否相同，結果正確的變換到了LightView空間。

對光源位置的轉換
　　這個問題討論已久，仿佛久久沒有標準，總是有初學者不斷提問，而我們回答的也總是一個子集，治標不治本。

　　在上文中，我們已經生成了用于轉換Object Space Coordinates的2個MV矩陣以及相應的逆矩陣。我們先從固定管線的Phone光照模型的GL入手，看看如何正確的轉換光源。我們先看看gl manual怎么定義那個GL_POSITION的。

　　意思是，我們指定的坐標是Object Space空間的坐標，然后被MV轉換。W是作為齊次縮放系數使用的，0代表無限遠好象太陽光束。
　　我們上面已經提到光源的位置在(-2,4,2)。這里我們寫成無限遠的（-2,4,2,0）。為了測試起見，我的顯示函數寫成了切換視點的模式。

　　注意看switch開關。如果我切換到Camera，我將看到這樣。

如果切換到光源視圖，是這樣的。

　　下面讓我們來看看為什么，還有注釋掉的矩陣乘法代碼。
　　第一個case：我們用載入ViewTransformMatrix，下面聲明LightPosition，是（-2,4,2,0），這個坐標是Object Space的坐標，在我們的想象中，就是相對于世界坐標系的位置，也就是每次我繪制一個Sphere所產生的位置。
　　第二個case：載入LightViewTransformMatrix，依舊傳入（-2,4,2,0），得到的結果依舊正確。
　　最好自己向自己復述一遍，注意一定要聯系我們上面計算矩陣的算式。

　　然后我們把case0代碼改一下。

　　我們要好好剖析第二個PushMatrix，LoadIndentity后的那兩個連續的矩陣乘法，還有為什么光源成了（0,0,0,1）。NVIDIA的那個render_scene_from_camera也是這樣放置光源的。讓我們看看為什么。
　　這個V（0,0,0,1）是Object Space中的點。我們先用Mvt代表ViewTransformMatrix，再用Mlvti代表LightViewTransformInverseMatrix。寫成完整的算式應該是

　　　　Mvt（Mlvti * V）

　　想起來了么？矩陣乘法的結合形式，意思是，“ vertex V under transformed by Matrix Mlvt”。這里產生光源的過程如下：

　　　　Object Space中的（0,0,0,1）被Mlvti轉換到Object空間，是多少呢？（-2,4,2,1），就是光源的相對于世界的位置。其實你也可以通過vec4f new = LightViewTransformInverseMatrix.mult_matrix_vec(vec4f(0,0,0,1))自己驗證。
　　　　由于轉換到LightView空間后，產生的是，世界空間和模型空間中的（-2,4,2,1） —— GL沒有世界坐標，而且我們一般認為Object Space是和世界空間重合的。即使在D3D中，一般情況下初始化世界矩陣也都是載入單位矩陣。
　　　　（-2,4,2,1)再乘以Mlvt，又被轉換到了 —— 其實我不知道它在哪里！相對于轉換后的CAMERA坐標系，它的位置我可以手動求出來，得到的是光柵化坐標。但是它的位置的確是正確的，效果等同于直接在glLightv中傳入（-2,4,2,1）

總結：
　　對于一個成熟的3D引擎來說，矩陣都是自己計算出來的，絕非調用API自己的指令。在NVIDIA SDK的DEMO中包含了大量成熟的基礎代碼，在不侵犯原作者權益的情況下應該合理的采用，省下諸多開發調試時間。我引用的HEADER文件和代碼。