一般仿射變換

3x3矩陣僅能表達3D中的線性變換，不能包含平移。經過4x4矩陣的武裝后，現在我們可以構造包含平移在內的一般仿射變換矩陣了。例如：

（1）繞不通過原點的軸旋轉。

（2）沿不穿過原點的平面縮放。

（3）沿不穿過原點的平面鏡像。

（4）向不穿過原點的平面正交投影。

它們的基本思想是將變換的"中心點"平移到原點，接著進行線性變換，然后再將"中心點"平移回原來的位置。開始使用平移矩陣T將點P移到原點，接著用線性變換矩陣R進行線性變換，最終的仿射變換矩陣M等于矩陣的積，即：TRT-1。T-1是平移矩陣，執行和T相反的變換。

觀察這種矩陣的一般形式，它非常有趣。讓我們先用 "分塊"形式寫出前面用到的T、R、T-1。

可以看出，仿射變換中增加的平移部分僅僅改變了4x4矩陣的最后一行，并沒有影響到上面所包含的線性變換的3x3部分。

 

透視投影

學習透視投影最好的方法是將它和平行投影相比較。正交投影也稱作平行投影，因為投影線都是平行的（投影線是指從原空間中的點到投影點的連線）。正交投影中的平行線如圖9.3所示：

3D中的透視投影仍然是投影到2D平面上，但是投影線不再平行，實際上，它們相交于一點，該點稱作投影中心。如圖9.4所示：

因為投影中心在投影平面前面，投影線到達平面之前已經相交，所以投影平面上的圖像是翻轉的。當物體遠離投影中心時，正交投影仍保持不變，但透視投影變小了。如圖9.5所示：

圖9.5中，右邊的茶壺離投影平面更遠，所以它的投影比離投影平面較近的那個茶壺小。這是一種非常重要的視覺現象，稱作透視縮略。

 

小孔成像

透視投影在圖形學中非常重要，因為它是人類視覺系統的模型。實際上，人類視覺系統遠比這復雜，因為我們有兩只眼睛，而且對于每只眼睛，投影表面（視網膜）不是一個平面。所以，讓我們來看一個簡單些的例子----小孔成像。小孔成像系統就是一個盒子，一側上有小孔，光線穿過小孔照射到另一側的背面，那里就是投影平面。如圖9.6所示：

圖9.6中，盒子左面和右面是透明的，以使你能看見盒子內部。注意盒子內部的投影是倒著的，這是因為光線（投影線）已經在小孔處（投影中心）相交了。

讓我們探索小孔成像背后的幾何原理。設想一個3D坐標系，它的原點在投影中心，z軸垂直于投影平面，x和y軸平行于投影平面。如圖9.7所示：

讓我們看看能否計算出任意點p通過小孔投影到投影平面上的坐標p'。首先，需要知道小孔到投影平面的距離，設為d。因此，投影平面為z=-d。現在，從另一個角度來看問題，求出新的y。如圖9.8所示。

由相似三角形得到：

注意小孔成像顛倒了圖像，py和py'的符號相反。px'的值可通過類似的方法求得：

所有投影點的z值都是相同的：-d。因此，點p通過原點向平面z=-d投影的結果如公式9.11所示：

在實際應用中，負號會帶來不必要的復雜性。所以將投影平面移到投影的前面（也就是說，平面z=d），如圖 9.9所示：

當然，這對于實際的小孔成像是不可能的。因為設置小孔的目的就是使光線只能通過小孔，但在計算機數學世界中，可以不理會這些規定。如你所愿，將投影平面移到投影中心前面，煩人的負號消失了，如公式9.12所示：

 

使用4x4矩陣進行透視投影

從4D到3D的變換就意味著除法運算，因此我們可以利用4x4階矩陣來編寫代碼，以實現透視投影。基本思想是提出一個關于p'的公式，其中的x、y、z有公分母，然后構造一個4x4矩陣，使w與這個公分母相等。這里我們假設初始點處有w=1。

先對3D形式表達的p'公式變形，可以得到：

將4D齊次向量變換到3D時，要用4D向量除以w，反推可知p'的4D形式為：

[x  y   z  z/d]

因此我們需要一個4x4矩陣，它可接收一個奇異的齊次向量。該向量的形式為[x, y, z, 1]，然后將其變換為上述形式。這樣的矩陣如公式9.13所示：

這樣就得到了一個4x4投影矩陣，有幾個需要注意的地方：

（1）乘以這個矩陣并沒有進行實際的透視投影變換，它只是計算出合適的分母。投影實際發生在從4D向3D變換時。

（2）存在多種變換。例如，將投影平面放在z=0處而投影中心在[0, 0, -d]，這將導致一個不同的公式。

（3）這里看起來比較復雜，似乎只需要簡單地除以z，不必勞煩矩陣。那么為什么要使用齊次矩陣呢？第一，4x4矩陣提供了一個方法將投影表達為變換，這樣就能和其他變換相連接；第二，使得投影到不平行于坐標軸的平面變得可行。實際上，我們不需要齊次坐標做任何運算，但4x4矩陣提供了一種簡潔的方法表達和操縱投影變換。

（4）實際的圖形幾何管道中的投影矩陣不像這里導出的那樣，還有許多重要的細節需要考慮。如用以上矩陣對向量進行變換后，z值實際上被舍棄了，而很多圖形系統的z緩沖用到了該值。