原文地址：
http://www.gamedev.net/reference/articles/article2003.asp
概述
雖然掌握了
A*
算法的人認為它容易，但是對于初學者來說，
A*
算法還是很復雜的。
搜索區(qū)域(The Search Area)
我們假設(shè)某人要從
A
點移動到
B
點，但是這兩點之間被一堵墻隔開。如圖
1
，綠色是
A
，紅色是
B
，中間藍色是墻。
圖
1
你應(yīng)該注意到了，我們把要搜尋的區(qū)域劃分成了正方形的格子。這是尋路的第一步，簡化搜索區(qū)域，就像我們這里做的一樣。這個特殊的方法把我們的搜索區(qū)域簡化為了
2
維數(shù)組。數(shù)組的每一項代表一個格子，它的狀態(tài)就是可走
(walkalbe)
和不可走
(unwalkable)
。通過計算出從
A
到
B
需要走過哪些方格，就找到了路徑。一旦路徑找到了，人物便從一個方格的中心移動到另一個方格的中心，直至到達目的地。
方格的中心點我們成為“節(jié)點
(nodes)
”。如果你讀過其他關(guān)于
A*
尋路算法的文章，你會發(fā)現(xiàn)人們常常都在討論節(jié)點。為什么不直接描述為方格呢？因為我們有可能把搜索區(qū)域劃為為其他多變形而不是正方形，例如可以是六邊形，矩形，甚至可以是任意多變形。而節(jié)點可以放在任意多邊形里面，可以放在多變形的中心，也可以放在多邊形的邊上。我們使用這個系統(tǒng)，因為它最簡單。
開始搜索(Starting the Search)
一旦我們把搜尋區(qū)域簡化為一組可以量化的節(jié)點后，就像上面做的一樣，我們下一步要做的便是查找最短路徑。在
A*
中，我們從起點開始，檢查其相鄰的方格，然后向四周擴展，直至找到目標。
我們這樣開始我們的尋路旅途：
1.??????
從起點
A
開始，并把它就加入到一個由方格組成的
open list(
開放列表
)
中。這個
open list
有點像是一個購物單。當然現(xiàn)在
open list
里只有一項，它就是起點
A
，后面會慢慢加入更多的項。
Open list
里的格子是路徑可能會是沿途經(jīng)過的，也有可能不經(jīng)過。基本上
open list
是一個待檢查的方格列表。
2.??????
查看與起點
A
相鄰的方格
(
忽略其中墻壁所占領(lǐng)的方格，河流所占領(lǐng)的方格及其他非法地形占領(lǐng)的方格
)
，把其中可走的
(walkable)
或可到達的
(reachable)
方格也加入到
open list
中。把起點
A
設(shè)置為這些方格的父親
(parent node
或
parent square)
。當我們在追蹤路徑時，這些父節(jié)點的內(nèi)容是很重要的。稍后解釋。
3.??????
把
A
從
open list
中移除，加入到
close list(
封閉列表
)
中，
close list
中的每個方格都是現(xiàn)在不需要再關(guān)注的。
如下圖所示，深綠色的方格為起點，它的外框是亮藍色，表示該方格被加入到了
close list
。與它相鄰的黑色方格是需要被檢查的，他們的外框是亮綠色。每個黑方格都有一個灰色的指針指向他們的父節(jié)點，這里是起點
A
。
圖
2
。
下一步，我們需要從
open list
中選一個與起點
A
相鄰的方格，按下面描述的一樣或多或少的重復前面的步驟。但是到底選擇哪個方格好呢？具有最小
F
值的那個。
?
路徑排序(Path Sorting)
計算出組成路徑的方格的關(guān)鍵是下面這個等式：
F = G + H
這里，
G =
從起點
A
移動到指定方格的移動代價，沿著到達該方格而生成的路徑。
H =
從指定的方格移動到終點
B
的估算成本。這個通常被稱為試探法，有點讓人混淆。為什么這么叫呢，因為這是個猜測。直到我們找到了路徑我們才會知道真正的距離，因為途中有各種各樣的東西
(
比如墻壁，水等
)
。本教程將教你一種計算
H
的方法，你也可以在網(wǎng)上找到其他方法。
我們的路徑是這么產(chǎn)生的：反復遍歷
open list
，選擇
F
值最小的方格。這個過程稍后詳細描述。我們還是先看看怎么去計算上面的等式。
如上所述，
G
是從起點Ａ移動到指定方格的移動代價。在本例中，橫向和縱向的移動代價為
10
，對角線的移動代價為
14
。之所以使用這些數(shù)據(jù)，是因為實際的對角移動距離是
2
的平方根，或者是近似的
1.414
倍的橫向或縱向移動代價。使用
10
和
14
就是為了簡單起見。比例是對的，我們避免了開放和小數(shù)的計算。這并不是我們沒有這個能力或是不喜歡數(shù)學。使用這些數(shù)字也可以使計算機更快。稍后你便會發(fā)現(xiàn)，如果不使用這些技巧，尋路算法將很慢。
?
既然我們是沿著到達指定方格的路徑來計算
G
值，那么計算出該方格的
G
值的方法就是找出其父親的
G
值，然后按父親是直線方向還是斜線方向加上
10
或
14
。隨著我們離開起點而得到更多的方格，這個方法會變得更加明朗。
?
有很多方法可以估算
H
值。這里我們使用
Manhattan
方法，計算從當前方格橫向或縱向移動到達目標所經(jīng)過的方格數(shù)，忽略對角移動，然后把總數(shù)乘以
10
。之所以叫做
Manhattan
方法，是因為這很像統(tǒng)計從一個地點到另一個地點所穿過的街區(qū)數(shù)，而你不能斜向穿過街區(qū)。重要的是，計算
H
是，要忽略路徑中的障礙物。這是對剩余距離的估算值，而不是實際值，因此才稱為試探法。
?
把
G
和
H
相加便得到
F
。我們第一步的結(jié)果如下圖所示。每個方格都標上了
F
，
G
，
H
的值，就像起點右邊的方格那樣，左上角是
F
，左下角是
G
，右下角是
H
。
圖
3
好，現(xiàn)在讓我們看看其中的一些方格。在標有字母的方格，
G = 10
。這是因為水平方向從起點到那里只有一個方格的距離。與起點直接相鄰的上方，下方，左方的方格的
G
值都是
10
，對角線的方格
G
值都是
14
。
?
H
值通過估算起點于終點
(
紅色方格
)
的
Manhattan
距離得到，僅作橫向和縱向移動，并且忽略沿途的墻壁。使用這種方式，起點右邊的方格到終點有
3
個方格的距離，因此
H = 30
。這個方格上方的方格到終點有
4
個方格的距離
(
注意只計算橫向和縱向距離
)
，因此
H = 40
。對于其他的方格，你可以用同樣的方法知道
H
值是如何得來的。
?
每個方格的
F
值，再說一次，直接把
G
值和
H
值相加就可以了。
?
繼續(xù)搜索(Continuing the Search)
為了繼續(xù)搜索，我們從
open list
中選擇
F
值最小的
(
方格
)
節(jié)點，然后對所選擇的方格作如下操作：
4.??????
把它從
open list
里取出，放到
close list
中。
5.??????
檢查所有與它相鄰的方格，忽略其中在
close list
中或是不可走
(unwalkable)
的方格
(
比如墻，水，或是其他非法地形
)
，如果方格不在
open lsit
中，則把它們加入到
open list
中。
把我們選定的方格設(shè)置為這些新加入的方格的父親。
6.??????
如果某個相鄰的方格已經(jīng)在
open list
中，則檢查這條路徑是否更優(yōu)，也就是說經(jīng)由當前方格
(
我們選中的方格
)
到達那個方格是否具有更小的
G
值。如果沒有，不做任何操作。
相反，如果
G
值更小，則把那個方格的父親設(shè)為當前方格
(
我們選中的方格
)
，然后重新計算那個方格的
F
值和
G
值。如果你還是很混淆，請參考下圖。
圖
4
Ok
，讓我們看看它是怎么工作的。在我們最初的
9
個方格中，還有
8
個在
open list
中，起點被放入了
close list
中。在這些方格中，起點右邊的格子的
F
值
40
最小，因此我們選擇這個方格作為下一個要處理的方格。它的外框用藍線打亮。
?
首先，我們把它從
open list
移到
close list
中
(
這就是為什么用藍線打亮的原因了
)
。然后我們檢查與它相鄰的方格。它右邊的方格是墻壁，我們忽略。它左邊的方格是起點，在
close list
中，我們也忽略。其他
4
個相鄰的方格均在
open list
中，我們需要檢查經(jīng)由這個方格到達那里的路徑是否更好，使用
G
值來判定。讓我們看看上面的方格。它現(xiàn)在的
G
值為
14
。如果我們經(jīng)由當前方格到達那里，
G
值將會為
20(
其中
10
為到達當前方格的
G
值，此外還要加上從當前方格縱向移動到上面方格的
G
值
10)
。顯然
20
比
14
大，因此這不是最優(yōu)的路徑。如果你看圖你就會明白。直接從起點沿對角線移動到那個方格比先橫向移動再縱向移動要好。
?
當把
4
個已經(jīng)在
open list
中的相鄰方格都檢查后，沒有發(fā)現(xiàn)經(jīng)由當前方格的更好路徑，因此我們不做任何改變。現(xiàn)在我們已經(jīng)檢查了當前方格的所有相鄰的方格，并也對他們作了處理，是時候選擇下一個待處理的方格了。
?
因此再次遍歷我們的
open list
，現(xiàn)在它只有
7
個方格了，我們需要選擇
F
值最小的那個。有趣的是，這次有兩個方格的
F
值都
54
，選哪個呢？沒什么關(guān)系。從速度上考慮，選擇最后加入
open list
的方格更快。這導致了在尋路過程中，當靠近目標時，優(yōu)先使用新找到的方格的偏好。但是這并不重要。
(
對相同數(shù)據(jù)的不同對待，導致兩中版本的
A*
找到等長的不同路徑
)
。
?
我們選擇起點右下方的方格，如下圖所示。
圖
5
?
這次，當我們檢查相鄰的方格時，我們發(fā)現(xiàn)它右邊的方格是墻，忽略之。上面的也一樣。
我們把墻下面的一格也忽略掉。為什么？因為如果不穿越墻角的話，你不能直接從當前方格移動到那個方格。你需要先往下走，然后再移動到那個方格，這樣來繞過墻角。
(
注意：穿越墻角的規(guī)則是可選的，依賴于你的節(jié)點是怎么放置的
)
?
這樣還剩下
5
個相鄰的方格。當前方格下面的
2
個方格還沒有加入
open list
，所以把它們加入，同時把當前方格設(shè)為他們的父親。在剩下的
3
個方格中，有
2
個已經(jīng)在
close list
中
(
一個是起點，一個是當前方格上面的方格，外框被加亮的
)
，我們忽略它們。最后一個方格，也就是當前方格左邊的方格，我們檢查經(jīng)由當前方格到達那里是否具有更小的
G
值。沒有。因此我們準備從
open list
中選擇下一個待處理的方格。
?
不斷重復這個過程，直到把終點也加入到了
open list
中，此時如下圖所示。
圖
6
?
注意，在起點下面
2
格的方格的父親已經(jīng)與前面不同了。之前它的
G
值是
28
并且指向它右上方的方格。現(xiàn)在它的
G
值為
20
，并且指向它正上方的方格。這在尋路過程中的某處發(fā)生，使用新路徑時
G
值經(jīng)過檢查并且變得更低，因此父節(jié)點被重新設(shè)置，
G
和
F
值被重新計算。盡管這一變化在本例中并不重要，但是在很多場合中，這種變化會導致尋路結(jié)果的巨大變化。
?
那么我們怎么樣去確定實際路徑呢？很簡單，從終點開始，按著箭頭向父節(jié)點移動，這樣你就被帶回到了起點，這就是你的路徑。如下圖所示。從起點
A
移動到終點
B
就是簡單從路徑上的一個方格的中心移動到另一個方格的中心，直至目標。就是這么簡單！
圖
7
?
A*算法總結(jié)(Summary of the A* Method)
Ok
，現(xiàn)在你已經(jīng)看完了整個的介紹，現(xiàn)在我們把所有步驟放在一起：
1.????????
把起點加入
open list
。
2.????????
重復如下過程：
a.????????
遍歷
open list
，查找
F
值最小的節(jié)點，把它作為當前要處理的節(jié)點。
b.????????
把這個節(jié)點移到
close list
。
c.????????
對當前方格的
8
個相鄰方格的每一個方格？
◆????
如果它是不可抵達的或者它在
close list
中，忽略它。否則，做如下操作。
◆????
如果它不在
open list
中，把它加入
open list
，并且把當前方格設(shè)置為它的父親，記錄該方格的
F
，
G
和
H
值。
◆????
如果它已經(jīng)在
open list
中，檢查這條路徑
(
即經(jīng)由當前方格到達它那里
)
是否更好，用
G
值作參考。更小的
G
值表示這是更好的路徑。如果是這樣，把它的父親設(shè)置為當前方格，并重新計算它的
G
和
F
值。如果你的
open list
是按
F
值排序的話，改變后你可能需要重新排序。
d.????????
停止，當你
◆????
把終點加入到了
open list
中，此時路徑已經(jīng)找到了，或者
◆????
查找終點失敗，并且
open list
是空的，此時沒有路徑。
3.????????
保存路徑。從終點開始，每個方格沿著父節(jié)點移動直至起點，這就是你的路徑。
?
?
題外話(Small Rant)
請原諒我的離題，當你在網(wǎng)上或論壇上看到各種關(guān)于
A*
算法的討論時，你偶爾會發(fā)現(xiàn)一些
A*
的代碼，實際上他們不是。要使用
A*
，你必須包含上面討論的所有元素
----
尤其是
open list
，
close list
和路徑代價
G
，
H
和
F
。也有很多其他的尋路算法，這些算法并不是
A*
算法，
A*
被認為是最好的。在本文末尾引用的一些文章中
Bryan Stout
討論了他們的一部分，包括他們的優(yōu)缺點。在某些時候你可以二中擇一，但你必須明白自己在做什么。
Ok
，不廢話了。回到文章。
?
實現(xiàn)的注解(Notes on Implemetation)
現(xiàn)在你已經(jīng)明白了基本方法，這里是你在寫自己的程序是需要考慮的一些額外的東西。下面的材料引用了一些我用
C++
和
Basic
寫的程序，但是對其他語言同樣有效。
?
1.???
維護
Open List
：這是
A*
中最重要的部分。每次你訪問
Open list
，你都要找出具有最小
?? F
值的方格。有幾種做法可以做到這個。你可以隨意保存路徑元素，當你需要找到具
???
有最小
F
值的方格時，遍歷整個
open list
。這個很簡單，但對于很長的路徑會很慢。這個方法可以通過維護一個排好序的表來改進，每次當你需要找到具有最小
F
值的方格時，僅取出表的第一項即可。我寫程序時，這是我用的第一個方法。
??????
??????
對于小地圖，這可以很好的工作，但這不是最快的方案。追求速度的
A*
程序員使用了叫做二叉堆的東西，我的程序里也用了這個。以我的經(jīng)驗，這種方法在多數(shù)場合下會快
2—3
倍，對于更長的路徑速度成幾何級數(shù)增長
(10
倍甚至更快
)
。如果你想更多的了解二叉堆，請閱讀
Using Binary Heaps in A* Pathfinding
。
2.??????
其他單位：如果你碰巧很仔細的看了我的程序，你會注意到我完全忽略了其他單位。我的尋路者實際上可以互相穿越。這取決于游戲，也許可以，也許不可以。如果你想考慮其他單位，并想使他們移動時繞過彼此，我建議你的尋路程序忽略它們，再寫一些新的程序來判斷兩個單位是否會發(fā)生碰撞。如果發(fā)生碰撞，你可以產(chǎn)生一個新的路徑，或者是使用一些標準的運動法則（比如永遠向右移動，等等）直至障礙物不在途中，然后產(chǎn)生一個新的路徑。為什么在計算初始路徑是不包括其他單位呢？因為其他單位是可以動的，當你到達的時候它們可能不在自己的位置上。這可以產(chǎn)生一些怪異的結(jié)果，一個單位突然轉(zhuǎn)向來避免和一個已不存在的單位碰撞，在它的路徑計算出來后和穿越它路徑的那些單位碰撞了。
在尋路代碼中忽略其他單位，意味著你必須寫另一份代碼來處理碰撞。這是游戲的細節(jié)，所以我把解決方案留給你。本文末尾引用的
Bryan Stout's
的文章中的幾種解決方案非常值得了解。
3.??????
一些速度方面的提示：如果你在開發(fā)自己的
A*
程序或者是改編我寫的程序，最后你會發(fā)現(xiàn)尋路占用了大量的
CPU
時間，尤其是當你有相當多的尋路者和一塊很大的地圖時。如果你閱讀過網(wǎng)上的資料，你會發(fā)現(xiàn)就算是開發(fā)星際爭霸，帝國時代的專家也是這樣。如果你發(fā)現(xiàn)事情由于尋路而變慢了，這里有些主意很不錯：
◆????
使用小地圖或者更少的尋路者。
◆????
千萬不要同時給多個尋路者尋路。取而代之的是把它們放入隊列中，分散到幾個游戲周期中。如果你的游戲以每秒
40
周期的速度運行，沒人能察覺到。但是如果同時有大量的尋路者在尋路的話，他們會馬上就發(fā)現(xiàn)游戲慢下來了。
◆????
考慮在地圖中使用更大的方格。這減少了尋路時需要搜索的方格數(shù)量。如果你是有雄心的話，你可以設(shè)計多套尋路方案，根據(jù)路徑的長度而使用在不同場合。這也是專業(yè)人士的做法，對長路徑使用大方格，當你接近目標時使用小方格。如果你對這個有興趣，請看
Two-Tiered A* Pathfinding
。
◆????
對于很長的路徑，考慮使用路徑點系統(tǒng)，或者可以預(yù)先計算路徑并加入游戲中。
◆????
預(yù)先處理你的地圖，指出哪些區(qū)域是不可到達的。這些區(qū)域稱為“孤島”。實際上，他們可以是島嶼，或者是被墻壁等包圍而不可到達的任意區(qū)域。
A*
的下限是，你告訴他搜尋通往哪些區(qū)域的路徑時，他會搜索整個地圖，直到所有可以抵達的方格都通過
open list
或
close list
得到了處理。這會浪費大量的
CPU
時間。這可以通過預(yù)先設(shè)定不可到達的區(qū)域來解決。在某種數(shù)組中記錄這些信息，在尋路前檢查它。在我的
Blitz
版程序中，我寫了個地圖預(yù)處理程序來完成這個。它可以提前識別尋路算法會忽略的死路徑，這又進一步提高了速度。
4.???
不同的地形損耗：在這個教程和我的程序中，地形只有
2
種：可抵達的和不可抵達
??????
的。但是如果你有些可抵達的地形，移動代價會更高些，沼澤，山丘，地牢的樓梯
??????
等都是可抵達的地形，但是移動代價比平地就要高。類似的，道路的移動代價就比
??????
它周圍的地形低。
在你計算給定方格的
G
值時加上地形的代價就很容易解決了這個問題。簡單的給這些方格加上一些額外的代價就可以了。
A*
算法用來查找代價最低的路徑，應(yīng)該很容易處理這些。在我的簡單例子中，地形只有可達和不可達兩種，
A*
會搜尋最短和最直接的路徑。但是在有地形代價的環(huán)境中，代價最低的的路徑可能會很長。
就像沿著公路繞過沼澤而不是直接穿越它。
另一個需要考慮的是專家所謂的“
influence Mapping
”，就像上面描述的可變成本地形一樣，你可以創(chuàng)建一個額外的計分系統(tǒng)，把它應(yīng)用到尋路的
AI
中。假設(shè)你有這樣一張地圖，地圖上由個通道穿過山丘，有大批的尋路者要通過這個通道，電腦每次產(chǎn)生一個通過那個通道的路徑都會變得很擁擠。如果需要，你可以產(chǎn)生一個
influence map
，它懲罰那些會發(fā)生大屠殺的方格。這會讓電腦選擇更安全的路徑，也可以幫助它避免因為路徑短（當然也更危險）而持續(xù)把隊伍或?qū)ぢ氛咚屯骋惶囟窂健?/span>
5.???
維護未探測的區(qū)域：你玩
PC
游戲的時候是否發(fā)現(xiàn)電腦總是能精確的選擇路徑，甚至地圖都未被探測。對于游戲來說，尋路過于精確反而不真實。幸運的是，這個問題很容易修正。答案就是為每個玩家和電腦（每個玩家，不是每個單位
---
那會浪費很多內(nèi)存）創(chuàng)建一個獨立的
knownWalkability
數(shù)組。每個數(shù)組包含了玩家已經(jīng)探測的區(qū)域的信息，和假設(shè)是可到達的其他區(qū)域，直到被證實。使用這種方法，單位會在路的死端徘徊，并會做出錯誤的選擇，直到在它周圍找到了路徑。地圖一旦被探測了，尋路又向平常一樣工作。
6.???
平滑路徑：
A*
自動給你花費最小的，最短的路徑，但它不會自動給你最平滑的路徑。看看我們的例子所找到的路徑（圖
7
）。在這條路徑上，第一步在起點的右下方，如果第一步在起點的正下方是不是路徑會更平滑呢？
??????
有幾個方法解決這個問題。在你計算路徑時，你可以懲罰那些改變方向的方格，把它的
G
值增加一個額外的開銷。另一種選擇是，你可以遍歷你生成的路徑，查找那些用相鄰的方格替代會使路徑更平滑的地方。要了解更多，請看
Toward More Realistic Pathfinding
。
7.???
非方形搜索區(qū)域：在我們的例子中，我們使用都是
2D
的方形的區(qū)域。你可以使用不規(guī)則的區(qū)域。想想冒險游戲中的那些國家，你可以設(shè)計一個像那樣的尋路關(guān)卡。你需要建立一張表格來保存國家相鄰關(guān)系，以及從一個國家移動到另一個國家的
G
值。你還需要一個方法了估算
H
值。其他的都可以向上面的例子一樣處理。當你向
open list
添加新項時，不是使用相鄰的方格，而是查看表里相鄰的國家。
類似的，你可以為一張固定地形的地圖的路徑建立路徑點系統(tǒng)。路徑點通常是道路或地牢通道的轉(zhuǎn)折點。作為游戲設(shè)計者，你可以預(yù)先設(shè)定路徑點。如果兩個路徑點的連線沒有障礙物的話它們被視為相鄰的。在冒險游戲的例子中，你可以保存這些相鄰信息在某種表中，當
open list
增加新項時使用。然后記錄
G
值（可能用兩個結(jié)點間的直線距離）和
H
值（可能使用從節(jié)點到目標的直線距離）。其它的都想往常一樣處理。
進一步閱讀(Further Reading)
Ok
，現(xiàn)在你已經(jīng)對
A*
有了個基本的了解，同時也認識了一些高級的主題。我強烈建議你看看我的代碼，壓縮包里包含了
2
個版本的實現(xiàn)，一個是
C++
，另一個是
Blitz Basic
。
2
個版本都有注釋，你以該可以很容易就看懂。下面是鏈接：
Sample Code: A* Pathfinder (2D) Version 1.71
。
?
如果你不會使用
C++
或是
BlitzBasic
，在
C++
版本下你可以找到兩個
exe
文件。
BlitzBasic
版本必須去網(wǎng)站
Blitz Basic
下載
BlitzBasic 3D
的免費
Demo
才能運行。
在這里
here
你可以看到一個
Ben O'Neill
的
A*
在線驗證實例。
?
你應(yīng)該閱讀下面這幾個站點的文章。在你讀完本教程后你可以更容易理解他們。
：
Amit Patel
的這篇文章被廣泛引用，但是如果你沒有閱讀本教程的話，你可能會感到很迷惑。尤其是你可以看到
Amit Patel
自己的一些想法。
Smart Moves: Intelligent Path Finding
：
Bryan Stout
的這篇需要去
Gamasutra.com
注冊才能閱讀。
Bryan
用
Delphi
寫的程序幫助我學習了
A*
，同時給了我一些我的程序中的一些靈感。他也闡述了
A*
的其他選擇。
Terrain Analysis
：
Dave Pottinger
一篇非常高階的，有吸引力的文章。他是
Ensemble Studios
的一名專家。這個家伙調(diào)整了游戲帝國時代和王者時代。不要期望能夠讀懂這里的每一樣東西，但是這是一篇能給你一些不錯的主意的很有吸引力的文章。它討論了包
mip-mapping
，
influence mapping
，和其他高階
AI
尋路主題。他的
flood filling
給了我在處理死路徑
”dead ends”
和孤島
”island”
時的靈感。這包含在我的
Blitz
版本的程序里。
?
下面的一些站點也值得去看看：
·????????????????????
aiGuru: Pathfinding
·????????????????????
Game AI Resource: Pathfinding
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GameDev.net: Pathfinding
謝謝。