題目概述：有一個沒有排序，元素個數(shù)為2N的正整數(shù)數(shù)組。要求把它分割為元素個數(shù)為N的兩個數(shù)組，并使兩個子數(shù)組的和最接近。
假設(shè)數(shù)組A[1..2N]所有元素的和是SUM。模仿動態(tài)規(guī)劃解0-1背包問題的策略，令S(k, i)表示前k個元素中任意i個元素的和的集合。顯然：
S(k, 1) = {A[i] | 1<= i <= k}
S(k, k) = {A[1]+A[2]+…+A[k]}
S(k, i) = S(k-1, i) U {A[k] + x | x屬于S(k-1, i-1) }
按照這個遞推公式來計算，最后找出集合S(2N, N)中與SUM最接近的那個和，這便是答案。這個算法的時間復(fù)雜度是O(22N).
因為這個過程中只關(guān)注和不大于SUM/2的那個子數(shù)組的和。所以集合中重復(fù)的和以及大于SUM/2的和都是沒有意義的。把這些沒有意義的和剔除掉，剩下的有意義的和的個數(shù)最多就是SUM/2個。所以，我們不需要記錄S(2N,N)中都有哪些和，只需要從SUM/2到1遍歷一次，逐個詢問這個值是不是在S(2N,N)中出現(xiàn)，第一個出現(xiàn)的值就是答案。我們的程序不需要按照上述遞推公式計算每個集合，只需要為每個集合設(shè)一個標(biāo)志數(shù)組，標(biāo)記SUM/2到1這個區(qū)間中的哪些值可以被計算出來。關(guān)鍵代碼如下：
for(i = 0; i < N+1; i++)
for(j = 0; j < sum/2+1; j++)
flag[i][j] = false;
flag[0][0] = true;
for(int k = 1; k <= 2*N; k++) {
for(i = k > N ? N : k; i >= 1; i--) {
//兩層外循環(huán)是遍歷集合S(k,i)
for(j = 0; j <= sum/2; j++) {
if(j >= A[k] && flag[i-1][j-A[k]])
flag[i][j] = true;
}
}
}
for(i = sum/2; i >= 0; i--) {
if(flag[N][i]) {
cout << "minimum delta is " << abs(2*i - sum) << endl;
break;
}
}