Cayley公式是說，一個(gè)完全圖K_n有n^(n-2)棵生成樹，換句話說n個(gè)節(jié)點(diǎn)的帶標(biāo)號的無根樹有n^(n-2)個(gè)。今天我學(xué)到了Cayley公式的一個(gè)非常簡單的證明，證明依賴于Prüfer編碼，它是對帶標(biāo)號無根樹的一種編碼方式。
給定一棵帶標(biāo)號的無根樹，找出編號最小的葉子節(jié)點(diǎn)，寫下與它相鄰的節(jié)點(diǎn)的編號，然后刪掉這個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)。反復(fù)執(zhí)行這個(gè)操作直到只剩兩個(gè)節(jié)點(diǎn)為止。由于節(jié)點(diǎn)數(shù)n>2的樹總存在葉子節(jié)點(diǎn)，因此一棵n個(gè)節(jié)點(diǎn)的無根樹唯一地對應(yīng)了一個(gè)長度為n-2的數(shù)列，數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都在1到n的范圍內(nèi)。下面我們只需要說明，任何一個(gè)長為n-2、取值范圍在1到n之間的數(shù)列都唯一地對應(yīng)了一棵n個(gè)節(jié)點(diǎn)的無根樹，這樣我們的帶標(biāo)號無根樹就和Prüfer編碼之間形成一一對應(yīng)的關(guān)系，Cayley公式便不證自明了。
注意到，如果一個(gè)節(jié)點(diǎn)A不是葉子節(jié)點(diǎn)，那么它至少有兩條邊；但在上述過程結(jié)束后，整個(gè)圖只剩下一條邊，因此節(jié)點(diǎn)A的至少一個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)被去掉過，節(jié)點(diǎn)A的編號將會(huì)在這棵樹對應(yīng)的Prüfer編碼中出現(xiàn)。反過來，在Prüfer編碼中出現(xiàn)過的數(shù)字顯然不可能是這棵樹（初始時(shí)）的葉子。于是我們看到，沒有在Prüfer編碼中出現(xiàn)過的數(shù)字恰好就是這棵樹（初始時(shí)）的葉子節(jié)點(diǎn)。找出沒有出現(xiàn)過的數(shù)字中最小的那一個(gè)（比如④），它就是與Prüfer編碼中第一個(gè)數(shù)所標(biāo)識的節(jié)點(diǎn)（比如③）相鄰的葉子。接下來，我們遞歸地考慮后面n-3位編碼（別忘了編碼總長是n-2）：找出除④以外不在后n-3位編碼中的最小的數(shù)（左圖的例子中是⑦），將它連接到整個(gè)編碼的第2個(gè)數(shù)所對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上（例子中還是③）。再接下來，找出除④和⑦以外后n-4位編碼中最小的不被包含的數(shù)，做同樣的處理……依次把③⑧②⑤⑥與編碼中第3、4、5、6、7位所表示的節(jié)點(diǎn)相連。最后，我們還有①和⑨沒處理過，直接把它們倆連接起來就行了。由于沒處理過的節(jié)點(diǎn)數(shù)總比剩下的編碼長度大2，因此我們總能找到一個(gè)最小的沒在剩余編碼中出現(xiàn)的數(shù)，算法總能進(jìn)行下去。這樣，任何一個(gè)Prüfer編碼都唯一地對應(yīng)了一棵無根樹，有多少個(gè)n-2位的Prüfer編碼就有多少個(gè)帶標(biāo)號的無根樹。
一個(gè)有趣的推廣是，n個(gè)節(jié)點(diǎn)的度依次為D1, D2, ..., Dn的無根樹共有(n-2)! / [ (D1-1)!(D2-1)!..(Dn-1)! ]個(gè)，因?yàn)榇藭r(shí)Prüfer編碼中的數(shù)字i恰好出現(xiàn)Di-1次。