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指定向量v繞已知向量n旋轉theta角度的變換矩陣

在3D游戲開發中，該變換時常發生。下面記錄下，以備隨時查詢用。

說明：
1) 已經向量v就不用說，可以是3維空間中的任意向量。(不論位置在哪都沒關系，因為向量是與位置無關的)
2) 繞已知向量n旋轉。此處的n向量，最好要規范化成單位向量。為什么需要此要求呢？其實很簡單，如果不規范化成單位向量，那么變換后的結果向量(假如稱為v')，其模就不會等于原向量v的模。因此就會出錯。(當然，如果非要用非規范化的單位向量參與計算的話，我們也是可以通過將v'進行一些處理，而得到最終想要的向量。)

下面，確認一下，變換矩陣以及變化公式所需的參數信息：
v(v_{x     ，}v_y     ， v_z)                                : 為已經向量
n(n_x    ，    n_y     ， n_z)                                : 為v向量繞n旋轉的“基向量”
R(n     ，    angle)                                         : 為旋轉所需的變換矩陣。(注釋：angle就是角度，本來可以直接用那些希臘字母，結果發現用了，在此，我就輸入不了中文與英文字符了。蛋疼)

v'(v_x'   ，    v_y'     ， v_z')                                : 為變換后最終要得到的結果向量

根據3D變換基礎知識，可得如下公式：
v' = vR(n, angle)
其中，v向量已知。R(n, angle)根據推導，可得如下式子：
                     [ p' ]    [ n_x²(1 - cos(angle)) + cos(angle)                            n_xn_y(1 - cos(angle)) + n_zsin(angle)                       n_xn_z(1 - cos(angle)) - n_ysin(angle) ]
R(n, angle) = | q' | = | n_xn_y(1 - cos(angle)) - n_zsin(angle)                        n_y²(1 - cos(angle)) + cos(angle)                           n_yn_z(1 - cos(angle)) + n_xsin(angle) |
                     [ r' ]     [ n_xn_z(1 - cos(angle)) + n_ysin(angle)                       n_yn_z(1 - cos(angle)) - n_xsin(angle)                        n_z²(1 - cos(angle)) + cos(angle)    ]

所以，可得最終的v'向量。具體如下：

v' = vR = (v_x, v_y, v_z)R;

v_x'   = v_x * (n_x²(1 - cos(angle)) + cos(angle));
v_x' += v_y * (n_xn_y(1 - cos(angle)) - n_zsin(angle));
v_x' += v_z * (n_xn_z(1 - cos(angle)) + n_ysin(angle));

v_y'   = v_x * (n_xn_y(1 - cos(angle)) + n_zsin(angle));
v_y' += v_y * (n_y²(1 - cos(angle)) + cos(angle));
v_y' += v_z * (n_yn_z(1 - cos(angle)) - n_xsin(angle));

v_z'   = v_x * (n_xn_z(1 - cos(angle)) - n_ysin(angle));
v_z' += v_y * (n_yn_z(1 - cos(angle)) + n_xsin(angle));
v_z' += v_z * (n_z²(1 - cos(angle)) + cos(angle));

-----------------------------------------------------------------
有了上面的知識，現在就可以很容易理解。如下一段旋轉攝像機方向的代碼了：（注：代碼出自徐明亮作者所著《opengl游戲編程》一書中的內容）

/** 旋轉攝像機方向 */

void Camera::rotateView(float angle, float x, float y, float z)

{

Vector3 newView;

/** 計算方向向量 */

Vector3 view = m_View - m_Position;

/** 計算 sin 和cos值 */

float cosTheta = (float)cos(angle);

float sinTheta = (float)sin(angle);

/** 計算旋轉向量的x值 */

newView.x = (cosTheta + (1 - cosTheta) * x * x) * view.x;

newView.x += ((1 - cosTheta) * x * y - z * sinTheta) * view.y;

newView.x += ((1 - cosTheta) * x * z + y * sinTheta) * view.z;

/** 計算旋轉向量的y值 */

newView.y = ((1 - cosTheta) * x * y + z * sinTheta) * view.x;

newView.y += (cosTheta + (1 - cosTheta) * y * y) * view.y;

newView.y += ((1 - cosTheta) * y * z - x * sinTheta) * view.z;

/** 計算旋轉向量的z值 */

newView.z = ((1 - cosTheta) * x * z - y * sinTheta) * view.x;

newView.z += ((1 - cosTheta) * y * z + x * sinTheta) * view.y;

newView.z += (cosTheta + (1 - cosTheta) * z * z) * view.z;

/** 更新攝像機的方向 */

m_View = m_Position + newView;

}

posted on 2012-06-12 11:29 Jacc.Kim 閱讀(1743) 評論(0) 編輯收藏引用所屬分類: VC / C++

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