（一）巴什博奕（Bash Game）：只有一堆n個物品，兩個人輪流從這堆物品中取物，規(guī)定每次至少取一個，最多取m個。最后取光者得勝。
顯然，如果n=m+1，那么由于一次最多只能取m個，所以，無論先取者拿走多少個，后取者都能夠一次拿走剩余的物品，后者取勝。因此我們發(fā)現(xiàn)了如何取勝的法則：如果n=（m+1）r+s，（r為任意自然數(shù)，s≤m),那么先取者要拿走s個物品，如果后取者拿走k（≤m)個，那么先取者再拿走m+1-k個，結(jié)果剩下（m+1）（r-1）個，以后保持這樣的取法，那么先取者肯定獲勝。總之，要保持給對手留下（m+1）的倍數(shù)，就能最后獲勝。
即，若n=k*(m+1)，則后取著勝，反之，存在先取者獲勝的取法。
n%(m+1)==0. 先取者必敗。
（二）威佐夫博奕（Wythoff Game）：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規(guī)定每次至少取一個，多者不限，最后取光者得勝。
這種情況下是頗為復(fù)雜的。我們用（ak，bk）（ak ≤ bk ,k=0，1，2，...,n)表示兩堆物品的數(shù)量并稱其為局勢，如果甲面對（0，0），那么甲已經(jīng)輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。
可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現(xiàn)過的最小自然數(shù),而 bk= ak + k，奇異局勢有
如下三條性質(zhì)：
1。任何自然數(shù)都包含在一個且僅有一個奇異局勢中。
由于ak是未在前面出現(xiàn)過的最小自然數(shù)，所以有ak > ak-1 ，而 bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 。所以性質(zhì)1。成立。
2。任意操作都可將奇異局勢變?yōu)榉瞧娈惥謩荨?
事實(shí)上，若只改變奇異局勢（ak，bk）的某一個分量，那么另一個分量不可能在其他奇異局勢中，所以必然是非奇異局勢。如果使（ak，bk）的兩個分量同時減少，則由于其差不變，且不可能是其他奇異局勢的差，因此也是非奇異局勢。
3。采用適當(dāng)?shù)姆椒ǎ梢詫⒎瞧娈惥謩葑優(yōu)槠娈惥謩荨?
假設(shè)面對的局勢是（a,b），若 b = a，則同時從兩堆中取走 a 個物體，就變?yōu)榱似娈惥謩荩?，0）；如果a = ak ，b > bk，那么，取走b - bk個物體，即變?yōu)槠娈惥謩荩蝗绻?a = ak ， b < bk ,則同時從兩堆中拿走 ak - ab - ak個物體,變?yōu)槠娈惥謩荩?ab - ak , ab - ak+ b - ak）；如果a > ak ，b= ak + k,則從第一堆中拿走多余的數(shù)量a - ak 即可；如果a < ak ，b= ak + k,分兩種情況，第一種，a=aj （j < k）,從第二堆里面拿走 b - bj 即可；第二種，a=bj （j < k）,從第二堆里面拿走 b - aj 即可。
從如上性質(zhì)可知，兩個人如果都采用正確操作，那么面對非奇異局勢，先拿者必勝；反之，則后拿者取勝。
那么任給一個局勢（a，b），怎樣判斷它是不是奇異局勢呢？我們有如下公式：
ak =[k（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...,n 方括號表示取整函數(shù))
奇妙的是其中出現(xiàn)了黃金分割數(shù)（1+√5）/2 = 1。618...,因此,由ak，bk組成的矩形近似為黃金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，bj+1 = aj+1+ j + 1，若都不是，那么就不是奇異局勢。然后再按照上述法則進(jìn)行，一定會遇到奇異局勢。
（三）尼姆博奕（Nimm Game）：有三堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆取任意多的物品，規(guī)定每次至少取一個，多者不限，最后取光者得勝。
這種情況最有意思，它與二進(jìn)制有密切關(guān)系，我們用（a，b，c）表示某種局勢，首先（0，0，0）顯然是奇異局勢，無論誰面對奇異局勢，都必然失敗。第二種奇異局勢是（0，n，n），只要與對手拿走一樣多的物品，最后都將導(dǎo)致（0，0，0）。仔細(xì)分析一下，（1，2，3）也是奇異局勢，無論對手如何拿，接下來都可以變?yōu)椋?，n，n）的情形。
計算機(jī)算法里面有一種叫做按位模2加，也叫做異或的運(yùn)算，我們用符號（^）表示這種運(yùn)算。這種運(yùn)算和一般加法不同的一點(diǎn)是1^1=0。先看（1，2，3）的按位模2加的結(jié)果：
1 =二進(jìn)制01
2 =二進(jìn)制10
3 =二進(jìn)制11 （^）
———————
0 =二進(jìn)制00 （注意不進(jìn)位）
對于奇異局勢（0，n，n）也一樣，結(jié)果也是0。
任何奇異局勢（a，b，c）都有a（^）b（^）c =0。
如果我們面對的是一個非奇異局勢（a，b，c），要如何變?yōu)槠娈惥謩菽兀考僭O(shè) a < b < c,我們只要將 c 變?yōu)?a（^）b,即可,因?yàn)橛腥缦碌倪\(yùn)算結(jié)果: a（^）b（^）(a（^）b)=(a（^）a)（^）(b（^）b)=0（^）0=0。要將c 變?yōu)閍（^）b，只要從 c中減去 c-（a（^）b）即可。
獲勝情況對先取者進(jìn)行討論：
異或結(jié)果為0，先取者必敗，無獲勝方法。后取者獲勝；
結(jié)果不為0，先取者有獲勝的取法。
拓展： 任給N堆石子,兩人輪流從任一堆中任取(每次只能取自一堆),取最后一顆石子的人獲勝，問先取的人如何獲勝？
根據(jù)上面所述，N個數(shù)異或即可。如果開始的時候T＝0，那么先取者必敗，如果開始的時候T>0，那么只要每次取出石子使得T＝0，即先取者有獲勝的方法。