題目

有N種物品和一個容量為V的背包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的費用總和不超過背包容量，且價值總和最大。

基本算法

這題目和完全背包問題很類似。基本的方程只需將完全背包問題的方程略微一改即可，因為對于第i種物品有n[i]+1種策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i種物品恰放入一個容量為v的背包的最大權值，則有狀態轉移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

復雜度是O(V*Σn[i])。

轉化為01背包問題

另一種好想好寫的基本方法是轉化為01背包求解：把第i種物品換成n[i]件01背包中的物品，則得到了物品數為Σn[i]的01背包問題，直接求解，復雜度仍然是O(V*Σn[i])。

但是我們期望將它轉化為01背包問題之后能夠像完全背包一樣降低復雜度。仍然考慮二進制的思想，我們考慮把第i種物品換成若干件物品，使得原問題中第i種物品可取的每種策略——取0..n[i]件——均能等價于取若干件代換以后的物品。另外，取超過n[i]件的策略必不能出現。

方法是：將第i種物品分成若干件物品，其中每件物品有一個系數，這件物品的費用和價值均是原來的費用和價值乘以這個系數。使這些系數分別為1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是滿足n[i]-2^k+1>0的最大整數。例如，如果n[i]為13，就將這種物品分成系數分別為1,2,4,6的四件物品。

分成的這幾件物品的系數和為n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i種物品。另外這種方法也能保證對于0..n[i]間的每一個整數，均可以用若干個系數的和表示，這個證明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]兩段來分別討論得出，并不難，希望你自己思考嘗試一下。

這樣就將第i種物品分成了O(log n[i])種物品，將原問題轉化為了復雜度為<math>O(V*Σlog n[i])的01背包問題，是很大的改進。

下面給出O(log amount)時間處理一件多重背包中物品的過程，其中amount表示物品的數量：

procedure MultiplePack(cost,weight,amount)     
   if cost*amount>=V         
      CompletePack(cost,weight)         
      return     
   integer k=1     
   while k<amount         
      ZeroOnePack(k*cost,k*weight)         
      amount=amount-k         
      k=k*2     
   ZeroOnePack(amount*cost,amount*weight) 

希望你仔細體會這個偽代碼，如果不太理解的話，不妨翻譯成程序代碼以后，單步執行幾次，或者頭腦加紙筆模擬一下，也許就會慢慢理解了。

O(VN)的算法

多重背包問題同樣有O(VN)的算法。這個算法基于基本算法的狀態轉移方程，但應用單調隊列的方法使每個狀態的值可以以均攤O(1)的時間求解。由于用單調隊列優化的DP已超出了NOIP的范圍，故本文不再展開講解。我最初了解到這個方法是在樓天成的“男人八題”幻燈片上。

小結

這里我們看到了將一個算法的復雜度由O(V*Σn[i])改進到O(V*Σlog n[i])的過程，還知道了存在應用超出NOIP范圍的知識的O(VN)算法。希望你特別注意“拆分物品”的思想和方法，自己證明一下它的正確性，并將完整的程序代碼寫出來。