問(wèn)題:
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1631思路:
題意理解清楚，其實(shí)就是找出最長(zhǎng)上升子序列
這里采用O(nlogn)的算法，類(lèi)似于貪心的原理，關(guān)鍵是要理解輔助數(shù)組aux[]的含義，aux[len]所代表的是組成長(zhǎng)度為len的最長(zhǎng)上升子序列的尾元素的最小值
下面的內(nèi)容轉(zhuǎn)自:
http://blog.csdn.net/ottoCho/archive/2009/12/02/4927262.aspxO(n*log n)算法分析如下：
設(shè) A[t]表示序列中的第t個(gè)數(shù)，F(xiàn)[t]表示從1到t這一段中以t結(jié)尾的最長(zhǎng)上升子序列的長(zhǎng)度，初始時(shí)設(shè)F [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(A))。則有動(dòng)態(tài)規(guī)劃方程：F[t] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])。
現(xiàn)在，我們仔細(xì)考慮計(jì)算F[t]時(shí)的情況。假設(shè)有兩個(gè)元素A[x]和A[y]，滿(mǎn)足
(1)x < y < t (這里應(yīng)該錯(cuò)了，如果x<y<t成立，那么F[y]>=F[x]+1，不可能有(3)成立，這里應(yīng)該是y<x<t) [by simplyzhao, 2010-10-19]
(2)A[x] < A[y] < A[t]
(3)F[x] = F[y]
此時(shí)，選擇F[x]和選擇F[y]都可以得到同樣的F[t]值，那么，在最長(zhǎng)上升子序列的這個(gè)位置中，應(yīng)該選擇A[x]還是應(yīng)該選擇A[y]呢？
很明顯，選擇A[x]比選擇A[y]要好。因?yàn)橛捎跅l件(2)，在A[x+1] ... A[t-1]這一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，則與選擇A[y]相比，將會(huì)得到更長(zhǎng)的上升子序列。
再根據(jù)條件(3)，我們會(huì)得到一個(gè)啟示：根據(jù)F[]的值進(jìn)行分類(lèi)。對(duì)于F[]的每一個(gè)取值k，我們只需要保留滿(mǎn)足F[t] = k的所有A[t]中的最小值。設(shè)D[k]記錄這個(gè)值，即D[k] = min{A[t]} (F[t] = k)。
注意到D[]的兩個(gè)特點(diǎn)：
(1) D[k]的值是在整個(gè)計(jì)算過(guò)程中是單調(diào)不上升的。
(2) D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。
利 用D[]，我們可以得到另外一種計(jì)算最長(zhǎng)上升子序列長(zhǎng)度的方法。設(shè)當(dāng)前已經(jīng)求出的最長(zhǎng)上升子序列長(zhǎng)度為len。先判斷A[t]與D[len]。若A [t] > D[len]，則將A[t]接在D[len]后將得到一個(gè)更長(zhǎng)的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A [t]；否則，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，滿(mǎn)足D[j] < A[t]。令k = j + 1，則有A [t] <= D[k]，將A[t]接在D[j]后將得到一個(gè)更長(zhǎng)的上升子序列，更新D[k] = A[t]。最后，len即為所要求的最長(zhǎng)上 升子序列的長(zhǎng)度。
在 上述算法中，若使用樸素的順序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)個(gè)元素需要計(jì)算，每次計(jì)算時(shí)的復(fù)雜度是O(n)，則整個(gè)算法的 時(shí)間復(fù)雜度為O(n^2)，與原來(lái)的算法相比沒(méi)有任何進(jìn)步。但是由于D[]的特點(diǎn)(2)，我們?cè)贒[]中查找時(shí)，可以使用二分查找高效地完成，則整個(gè)算法 的時(shí)間復(fù)雜度下降為O(nlogn)，有了非常顯著的提高。需要注意的是，D[]在算法結(jié)束后記錄的并不是一個(gè)符合題意的最長(zhǎng)上升子序列！
代碼:
1 /* O(nlogn) algorithm: the longest increasing sub-sequence [LIS] */
2 #include<stdio.h>
3 #include<stdlib.h>
4 #include<string.h>
5 #define MAX_LEN 40001
6 int num[MAX_LEN];
7 int aux[MAX_LEN];
8 int size, rt_len;
9
10 int
11 dp()
12 {
13 int i, left, right, mid;
14 rt_len = 1;
15 aux[rt_len] = num[0];
16 for(i=1; i<size; i++) {
17 if(num[i] > aux[rt_len]) {
18 ++rt_len;
19 aux[rt_len] = num[i];
20 } else {
21 /* binary search: O(logn) */
22 left = 1;
23 right = rt_len;
24 while(left <= right) {
25 mid = (left+right)/2;
26 if(num[i]>aux[mid])
27 left = mid+1;
28 else
29 right = mid-1;
30 }
31 aux[left] = num[i];
32 }
33 }
34 return rt_len;
35 }
36
37 int
38 main(int argc, char **argv)
39 {
40 int i, tests;
41 scanf("%d", &tests);
42 while(tests--) {
43 scanf("%d", &size);
44 for(i=0; i<size; i++)
45 scanf("%d", num+i);
46 printf("%d\n", dp());
47 }
48 }