歐幾里德算法

歐幾里德算法又稱輾轉(zhuǎn)相除法，用于計算兩個整數(shù)a,b的最大公約數(shù)。其計算原理依賴于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)

 證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數(shù)，則有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數(shù)
假設d 是(b,a mod b)的公約數(shù)，則
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數(shù)
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數(shù)是一樣的，其最大公約數(shù)也必然相等，得證

歐幾里德算法就是根據(jù)這個原理來做的，其算法用C++語言描述為：

    void swap(int & a, int & b)
    {
        int c = a;
        a = b;
        b = c;
    }
    int gcd(int a,int b)
    {
        if(0 == a )
        {
            return b;
        }
        if( 0 == b)
        {
            return a;
        }
        if(a > b)
        {
            swap(a,b);
        }
        int c;
        for(c = a % b ; c > 0  ; c = a % b)
        {
            a = b;
            b = c;
        }
        return b;
    }

模P乘法逆元

對于整數(shù)a、p，如果存在整數(shù)b，滿足ab mod p =1，則說，b是a的模p乘法逆元。

定理：a存在模p的乘法逆元的充要條件是gcd(a,p) = 1

 證明：
首先證明充分性
如果gcd(a,p) = 1，根據(jù)歐拉定理，aφ(p) ≡ 1 mod p，因此
顯然aφ(p)-1 mod p是a的模p乘法逆元。
再證明必要性
假設存在a模p的乘法逆元為b
ab ≡ 1 mod p
則ab = kp +1    ，所以1 = ab - kp
因為gcd(a,p) = d
所以d | 1
所以d只能為1

擴展歐幾里德算法

擴展歐幾里德算法不但能計算(a,b)的最大公約數(shù)，而且能計算a模b及b模a的乘法逆元，用C語言描述如下：

 int    gcd(int    a,    int    b    ,    int&    ar,int    &    br)
{
int    x1,x2,x3;
int    y1,y2,y3;
int    t1,t2,t3;
if(0    ==    a)
{//有一個數(shù)為0，就不存在乘法逆元
             ar    =    0;
             br    =    0    ;
             return    b;
}
if(0    ==    b)
{
             ar    =    0;
             br    =    0    ;
             return    a;
}
x1    =    1;
x2    =    0;
x3    =    a;
y1    =    0;
y2    =    1;
y3    =    b;
int    k;
for(    t3    =    x3    %    y3    ;    t3    !=    0    ;        t3    =    x3    %    y3)
{
k    =    x3    /    y3;
t2    =    x2    -    k    *    y2;
t1    =    x1    -    k    *    y1;
x1    =    y1;
x1    =    y2;
x3    =    y3;
y1    =    t1;
y2    =    t2;
y3    =    t3;
}
if(    y3    ==    1)
{
//有乘法逆元
ar    =    y2;
br    =    x1;
return    1;
}else{
        //公約數(shù)不為1，無乘法逆元
         ar    =    0;
         br    =    0;
         return    y3;
}
}

擴展歐幾里德算法對于最大公約數(shù)的計算和普通歐幾里德算法是一致的。計算乘法逆元則顯得很難明白。我想了半個小時才想出證明他的方法。

首先重復拙作整除中的一個論斷：

如果gcd(a,b)=d，則存在m,n，使得d = ma + nb，稱呼這種關系為a、b組合整數(shù)d，m，n稱為組合系數(shù)。當d=1時，有 ma + nb = 1 ，此時可以看出m是a模b的乘法逆元，n是b模a的乘法逆元。

為了證明上面的結(jié)論，我們把上述計算中xi、yi看成ti的迭代初始值，考察一組數(shù)(t1,t2,t3)，用歸納法證明：當通過擴展歐幾里德算法計算后，每一行都滿足a×t1 + b×t2 = t3

 第一行：1 × a + 0 × b = a成立
第二行：0 × a + 1 × b = b成立
假設前k行都成立，考察第k+1行
對于k-1行和k行有
t1(k-1)    t2(k-1)  t3(k-1)
t1(k)      t2(k)    t3(k)
分別滿足：
t1(k-1) × a + t2(k-1) × b = t3(k-1)
t1(k)   × a + t2(k)   × b = t3(k)
根據(jù)擴展歐幾里德算法，假設t3(k-1) = j t3(k) + r
則：
t3(k+1) = r
t2(k+1) = t2(k-1) - j × t2(k)
t1(k+1) = t1(k-1) - j × t1(k)
則
t1(k+1) × a + t2(k+1) × b
=t1(k-1) × a - j × t1(k) × a +
t2(k-1) × b - j × t2(k) × b
= t3(k-1) - j t3(k) = r
= t3(k+1)
得證
因此，當最終t3迭代計算到1時，有t1× a + t2 × b = 1，顯然，t1是a模b的乘法逆元，t2是b模a的乘法逆元。