海盜分金問題 Description:
傳說，從前有五個海盜搶得了100枚金幣.他們通過了一個如何確定選用誰的分配方案的安排.即：
1.抽簽決定各人的號碼（1，2，3，4，5）；
2.先由1號提出分配方案，然后5個人表決.當且僅當超過半數人同意時，方案才算被通過，否則他將被扔入大海喂鯊魚；
3.當1號死后，再由2號提方案，4個人表決，當且僅當超過半數同意時，方案才算通過，否則2號同樣將被扔入大海喂鯊魚；
4.往下依次類推……
根據上面的這個故事，現在提出如下的一個問題.即：
我們假定每個海盜都是很聰明的人，并且都能夠很理智地判斷自己的得失，從而做出最佳的選擇，那么第一個海盜應當提出怎樣的分配方案才能夠使自己不被扔入大海喂鯊魚，而且收益還能達到最大化呢？
Solution:
  倒推，從后往前推，人數依次增加
  如果１－３號強盜都喂了鯊魚，只剩４號和５號的話，５號一定投反對票讓４號喂鯊魚，以獨吞全部金幣。所以，４號惟有支持３號才能保命。３號知道這一點，就會提（１００，０，０）的分配方案，對４號、５號一毛不拔而將全部金幣歸為已有，因為他知道４號一無所獲但還是會投贊成票，再加上自己一票，他的方案即可通過。  
２號推知到３號的方案，就會提出（９８，０，１，１）的方案，即放棄３號，而給予４號和５號各一枚金幣。由于該方案對于４號和５號來說比在３號分配時更為有利，他們將支持他而不希望他出局而由３號來分配。這樣，２號將拿走９８枚金幣。
２號的方案會被１號所洞悉，１號并將提出（９７，０，１，２，０）或（９７，０，１，０，２）的方案，即放棄２號，而給３號一枚金幣，同時給４號（或５號）２枚金幣。由于１號的這一方案對于３號和４號（或５號）來說，相比２號分配時更優，他們將投１號的贊成票，再加上１號自己的票，１號的方案可獲通過，９７枚金幣可輕松落入囊中。這無疑是１號能夠獲取最大收益的方案了！

帽子/瘋狗問題
Description:
  一群人開舞會，每人頭上都戴著一頂帽子。帽子只有黑白兩種，黑的至少有一頂。每個人都能看到其他人帽子的顏色，卻不知自己的。主持人先讓大家看看別人頭上戴的什么帽子，然后關燈，如果有人認為自己戴的是黑帽子，就打自己一個耳光。第一次關燈，沒有聲音。于是再開燈，大家再看一遍，關燈時仍然鴉雀無聲。一直到第三次關燈，才有劈劈啪啪打耳光的聲音響起。問有多少人戴著黑帽子？  
Solution:
  遞推歸納
  假如只有一個人戴黑帽子，那他看到所有人都戴白帽，在第一次關燈時就應自打耳光，所以應該不止一個人戴黑帽子；如果有兩頂黑帽子，第一次兩人都只看到對方頭上的黑帽子，不敢確定自己的顏色，但到第二次關燈，這兩人應該明白，如果自己戴著白帽，那對方早在上一次就應打耳光了，因此自己戴的也是黑帽子――― 于是也會有耳光響起；可事實是第三次才響起耳光聲，說明全場不止兩頂黑帽，依此類推，應該是關幾次燈，有幾頂黑帽。  

稱球問題
Description:
  一共12 個一樣的小球，  其中只有一個重量與其它不一樣( 未知輕重) ，給你一個天平，  只稱三次，  找出那個不同重量的球？
如果一共13 個一樣的小球，  其中只有一個重量與其它不一樣( 未知輕重) ，給你一個天平，  只稱三次，  找出那個不同重量的球？  
Solution:
充分利用所有信息
12個情形:將球編號1~12，分為1-4,5-8,9-12三堆
左1-4－右5-8
若平衡，壞球在9-12,左1-3－右9-11
若不平衡且5-8重，壞球1-8
左1,6,7,8－右5,9,10,11
右重->壞球是1或5
平衡->壞球為2-4且比標準球輕
左重->壞球在拿到左邊的6-8且比標準球重
三種情形：再稱一次得解
若不平衡且1-4重與上同理
13 個球情形：解法類似 , 分為三組,1-4,5-8,9-12
  左1-4 －右5-8
  不平衡情形與12 球同
  平衡時左1-3 －右9-11
  不平衡時與12 球同，平衡時壞球在12/13 ，左1 －右12
  平衡，壞球13
  不平衡, 壞球12
  注意：題目只需要找出重量不同的球即可

分金條問題
Description:
  你讓某些人為你工作了七天，  你要用一根金條作為報酬。這根金條要被分成七塊。你必須在每天的活干完后交給他們一塊。如果你只能將這根金條切割兩次，你怎樣給這些工人分？  
Solution:
  聯想：二進制:1,2,4 其中若干個的和可構成1,7 中任何一個數
1/7 ，2/7 ，4/7 ，第一天給1/7 ，第二天拿2/7 換1/7………………
猴子搬香蕉問題
Description:
  一個小猴子邊上有100 根香蕉，它要走過50 米才能到家，每次它最多搬50 根香蕉，每走1 米就要吃掉一根，請問它最多能把多少根香蕉搬到家里。  
Solution:
  猜想＋驗證
  猜想：
  設小猴從0 走到50, 到A 點時候他可以直接抱香蕉回家了, 可是到A 點時候他至少消耗了3A 的香蕉( 到A, 回0, 到A), 一個限制就是小猴只能抱50 只香蕉, 那么在A 點小猴最多49 只香蕉.100-3A=49, 所以A=17.  這樣折騰完到家的時候香蕉剩100-3A-(50-A)=50-2A=16.
  驗證:
  以上為最優情形，只需驗證這種情形可以達到即可

飛機加油問題
Description:
  每個飛機只有一個油箱，  飛機之間可以相互加油（注意是相互，沒有加油機）  一箱油可供一架飛機繞地球飛半圈。
為使至少一架飛機繞地球一圈回到起飛時的飛機場，至少需要出動幾架飛機？（所有飛機從同一機場起飛，而且必須安全返回機場，不允許中途降落，中間沒有飛機場）  
Solution:
猜想+驗證
猜想：
至少需要出動5 架飛機。思路是這樣的，一架飛機要想完成繞地球一周的飛行，至少需要別的飛機給它提供1 箱油。最劃算的辦法顯然是，派飛機和它結伴飛行前四分之一周以及后四分之一周，（因為這兩段路程距離基地近所花代價小。）由它獨立飛行中間的半程。必須保證兩個加油點，前四分之一處，加滿，后四分之一點，及時補充。那么必須有兩架飛機與目標機結伴飛行四分之一周，這兩架飛機需要做折返飛行，正好花費2 箱油。所以補充油的任務實際上該由另外兩架飛機完成。這兩架飛機飛八分之一周，做折返飛，正好富余1 箱油。因此，5 架飛機剛好完成任務。到了此時，問題只考慮了一半。能夠提供多少油并不意味著就能夠全部接受，受到結伴飛行的距離，即騰出的油箱空間所限制。而以下做法正好可以滿足此條件。
驗證:
3  架飛機同時從機場出發，飛行八分之一周，各耗油四分之一。此時某架飛機給其余兩架補滿油，自己返回基地。另一機和目標機結伴，飛至四分之一周，給目標機補滿油，自己返回。目標機獨自飛行半周，與從基地反向出發的一機相遇，2  機將油平分，飛至最后八分之一處，與從基地反向出發的另一機相遇，各分四分之一油，返回。  

硬幣游戲
Description:
16 個硬幣，A 和B 輪流拿走一些，每次拿走的個數只能是1 ，2 ，4 中的一個數。
誰最后拿硬幣誰輸。
問：A 或B 有無策略保證自己贏？  
博弈類問題，分清兩概念
  必勝態：有一種方法導致下一狀態為必敗態
  必敗態：每一種方法導致下一狀態為必勝態
  解決辦法：遞推
1: 必敗
2: 必勝：取1 ，導致變為1 狀態( 必敗)
3: 必勝：取2-> 必敗態
4: 必?。喝? 或2 或4 均導致必敗態或直接失敗
  以些類推知16 為必敗態，即后手必勝
剩2 個時, 取1 個必勝;
剩3 個時, 取2 個必勝;
剩4 個時, 如果對手足夠聰明則必敗;
剩5 個時, 去1 個必勝...
記作 2(1) 3(2) 4(x) 5(1) 6(2) 7(x) 8(1) ...
從中找出規律:
當剩余個數K=3N-2,N 為自然數時, 只要對手足夠聰明則必敗.
當K=3N-1 時, 有必勝策略:  取1 個;
當K=3N 時, 有必勝策略: 取2 個;
所以, 當16 個時, 后取者有必勝策略.

倒水問題
經典形式：
“ 假設有一個池塘，里面有無窮多的水?，F有2 個空水壺，容積分別為  
5 升和6 升。問題是如何只用這2 個水壺從池塘里取得3 升的水。”  
Solution:
  形式化倒水問題：無窮多水，容量a,b(a<=b) 的水壺倒出c(c<=b) 升水。
  結論：c%***(a,b) == 0  時有解，可用擴展的Euclid 定理加以證明：即存在整數x,y ，使得ax+by=***(a,b).
通用解法:( 容量A,B 的水壺倒C 升水)
int t = 0;
while(t != c){
   Do(fill A),Do(pour A B);
   t = t+A;
   if(t >= B){
    t = t – B;
    Do(empty B), Do(pour A B);
  }
}

本題解答(5,6->3)
  Oper                       a   b   t      (A=5,B=6)      
Fill A, Pour A B          0   5   5
Fill A, Pour A B          4   6   10
Empty B, Pour A B     0   4   4
Fill A, Pour A B          3   6   9
Empty B, Pour A B     0   3   3  (success)

倒水問題推廣
也可以說是倒酒：）有三個酒杯，其中兩個大酒杯每個可以裝8兩酒，一個可以裝3兩酒。現在兩個大酒杯都裝滿了酒，只用這三個杯子怎么把酒平均的分給4個人喝？
Solution:
Try and guess
  用一個三位數表示三個杯，880 ，前兩個為8 升的杯最后一個3 升。開始：880_853A 喝掉3 升變為：850_823_B 喝掉2 升為：803_830_533_560_263_281A 喝掉1 升(A 已經喝4 升完畢）為：280_253_550_523_820_802_703_730_433_460_163_181CD 各喝一升為：080_053_350_323CD 各喝3 升B 喝2 升，分水結束，ABCD 四人各喝4 升。  

帽子問題 Description:
有一個牢房，有3個犯人關在其中。因為玻璃很厚，所以3個人只能互相看見，不能聽到對方說話的聲音。”
    有一天，國王想了一個辦法，給他們每個人頭上都戴了一頂帽子，只叫他們知道帽子的顏色不是白的就是黑的，不叫他們知道自己所戴帽子的是什么顏色的。在這種情況下，國王宣布兩條如下：
     1．誰能看到其他兩個犯人戴的都是白帽子，就可以釋放誰；
     2．誰知道自己戴的是黑帽子，就釋放誰。
    其實，國王給他們戴的都是黑帽子。他們因為被綁，看不見自己罷了。于是他們3個人互相盯著不說話?？墒遣痪茫难垤`的A用推理的方法，認定自己戴的是黑帽子。您想，他是怎樣推斷的?
Solution:
邏輯學，假設思維
現在假設3個犯人是A、B和我
那么我的推斷是：
第一種：我戴的是白帽子
那么A會這么想：如果自己戴的是白帽子，那么B就會看到2個白帽子，那么他根據國王的第一條就馬上會被釋放，但是B現在沒有被釋放，說明我戴的不是白的，是黑的，哈哈，我知道自己是黑的拉，我可以要求國王釋放我拉
結論：如果我戴的是白帽子，那么根據A犯人的想法得出：A和B必然有一個會被釋放，但是現在2個人都沒有被釋放，所以我一定不是白的，而是黑的，所以我會知道自己是黑的，要求國王釋放我，這樣，我就被放了
同理，A和B根據別人的想法也都算出自己是黑帽子，這樣3個犯人同時被釋放

年齡問題
Description:
  一普查員問一女人,“ 你有多少個孩子, 他們多少歲?” 女人回答:“ 我有三個孩子, 他們的歲數相乘是36, 歲數相加就等於隔離間屋的門牌號碼.” 普查員立刻走到隔鄰, 看了一看, 回來說:” 我還需要多少資料.” 女人回答:“ 我現在很忙, 我最大的孩子正在樓上睡覺.” 普查員說:” 謝謝, 我己知道了
問題: 那三個孩子的歲數是多少。  
Solution:
9，2，2
分析，設三個人的年齡組成自然數組合(x,y,z)，一共三個條件，
條件一：三個人歲數乘起來為36；選出滿足x*y*z=36的組合;
條件二：知道三個人歲數之和后還是不能確定它們的年齡；從上面的到的組合中找出xyz之和有相同的組合；
只有 (9,2,2)=13,(6,6,1)=13
條件三：三個孩子中有一個年齡比其他兩個大。符合條件的組合只有(9，2，2)