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[3D基礎(chǔ)]理解計(jì)算機(jī)3D圖形學(xué)中的坐標(biāo)系變換

     要談坐標(biāo)系變換，那么坐標(biāo)系有哪些呢？依次有:物體坐標(biāo)系，世界坐標(biāo)系，相機(jī)坐標(biāo)系，投影坐標(biāo)系以及屏幕坐標(biāo)系.我要討論的就是這些坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換。
     這些坐標(biāo)系不是憑空而來(lái)，他們都是為了完成計(jì)算機(jī)3D圖形學(xué)最最最基本的目標(biāo)而出現(xiàn).
      計(jì)算機(jī)3D圖形學(xué)最最最基本的目標(biāo)就是:將構(gòu)建好的3D物體顯示在2D屏幕坐標(biāo)上.
      初看好像就是將最初的物體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到屏幕坐標(biāo)系就可以了呀，為什么多出了世界坐標(biāo)系,相機(jī)坐標(biāo)系，投影坐標(biāo) 系。這是因?yàn)?在一個(gè)大世界里有多個(gè)物體，而每個(gè)物體都有自己的坐標(biāo)系，如何表述這些物體間相對(duì)的關(guān)系，這個(gè)多出了世界坐標(biāo)系；如果只需要看到這個(gè)世界其 中一部分，這里就多出了相機(jī)坐標(biāo)系；至于投影坐標(biāo)系那是因?yàn)橹苯訉?D坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為屏幕坐標(biāo)是非常復(fù)雜的(因?yàn)樗鼈儾粌H維度不同,度量不同（屏幕坐標(biāo)一般都 是像素為單位,3D空間中我們可以現(xiàn)實(shí)世界的米，厘米為單位），XY的方向也不同，在2D空間時(shí)還要進(jìn)行坐標(biāo)系變換),所以先將3D坐標(biāo)降維到2D坐標(biāo), 然后2D坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到屏幕坐標(biāo)。
理解3D圖形學(xué)的第一步:理解左手坐標(biāo)系與右手坐標(biāo)系
      為什么會(huì)有左手坐標(biāo)系與右手坐標(biāo)系之分？
      在3D空間(沒(méi)錯(cuò)！就是3D)中，所有2D坐標(biāo)系是等價(jià)的（就是通過(guò)一系列的仿射變換，可以互相轉(zhuǎn)換）
      而3D坐標(biāo)系不是等價(jià)的，通過(guò)仿射變換，是無(wú)法將左手坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到右手坐標(biāo)系；也就是說(shuō)，物體坐標(biāo)系用的就是左手坐標(biāo)系，世界坐標(biāo)系用的是右手 坐標(biāo)系，那么物體可能就是不會(huì)是我們所希望的樣子了，可能是倒立的，也可能是背對(duì)著我們的，所以我們要區(qū)分左手坐標(biāo)系與右手坐標(biāo)系。也許在4D空間，左右 手坐標(biāo)系就可以互相變換了吧。
      進(jìn)入正題吧:
     首先討論的是物體坐標(biāo)系->世界坐標(biāo)系
      前面說(shuō)了為了描述多個(gè)物體間相對(duì)的關(guān)系，這里引進(jìn)了世界坐標(biāo)系,所以世界坐標(biāo)系是個(gè)參考坐標(biāo)系。
      這一步的目的將所有的物體的點(diǎn)都轉(zhuǎn)移到世界坐標(biāo)系，這里主要涉及的是旋轉(zhuǎn)，縮放，平移等。
      不過(guò)我將詳細(xì)說(shuō)明為何及如何用矩陣來(lái)描述這些變換。
      例:如果有兩個(gè)坐標(biāo)系C與C`, C`是C繞Z軸旋轉(zhuǎn)θ得到的。下面是各坐標(biāo)軸的變換：
             
     如果是C坐標(biāo)系的點(diǎn)P（x, y, z），而在C`的表示就是
   
     這時(shí)該如何建立矩陣呢? 答案就是區(qū)分你用的是行向量還是列向量.也許有人會(huì)問(wèn)為什么不區(qū)分是左手坐標(biāo)系還是右手坐標(biāo)系呢？因?yàn)镃可以變換到C`,那么他們一定是同在左手坐標(biāo)系或右手坐標(biāo)系,變換只能在可以互相轉(zhuǎn)換的坐標(biāo)系之間進(jìn)行。
      如果你用的是行向量：由于行向量只能左乘矩陣(注意乘與乘以的區(qū)別)
      所以矩陣形式應(yīng)該是這樣
    
     只有這樣，在左乘矩陣時(shí)才能得到上面P`的形式。
    
     如果你用的是列向量: 由于列向量只能右乘矩陣(注意乘與乘以的區(qū)別)
     所以矩陣形式應(yīng)該是這樣
    
     只有這樣，在右乘矩陣時(shí)才能得到上面P`的形式。
  
     至于如何旋轉(zhuǎn)，縮放，平移我不在多說(shuō)。
     …………………………………覺(jué)得自己好像跑題了.還好這兩個(gè)坐標(biāo)系變換很簡(jiǎn)單。
     我們?cè)儆懻?span>世界坐標(biāo)系->相機(jī)坐標(biāo)系
     引進(jìn)相機(jī)的目的就是只需看到世界的一部分，而哪些是可以在相機(jī)里看到的，就需要進(jìn)行篩選。將物體轉(zhuǎn)換到相機(jī)坐標(biāo)系，這樣相機(jī)坐標(biāo)系進(jìn)行篩選時(shí)就會(huì)簡(jiǎn)單很多。這里的重點(diǎn)是構(gòu)建相機(jī)坐標(biāo)系。
     物體坐標(biāo)系，世界坐標(biāo)系是美工在繪制時(shí)就定義好了的。而相機(jī)坐標(biāo)系是需要程序?qū)崟r(shí)構(gòu)建的。（當(dāng)然這是通常情況下，如果你要建立一個(gè)世界，這個(gè)世界都是圍繞 你轉(zhuǎn)，要實(shí)時(shí)改變所有物體坐標(biāo)系，固定相機(jī)坐標(biāo)系（其實(shí)這時(shí)候相機(jī)坐標(biāo)系就是世界坐標(biāo)系），建立一個(gè)地心說(shuō)的世界，我也沒(méi)辦法，你的思維也太不一樣了。）
     如何構(gòu)建相機(jī)坐標(biāo)系呢？首先我們要明確目標(biāo)：我們是要構(gòu)建3D坐標(biāo)系(好像是廢話)，三個(gè)坐標(biāo)軸要互相垂直(也好像是廢話).
      我們一般用UVN相機(jī)。例如:D3D的D3DXMatrixLookAtLH，D3DXMatrixLookAtRH，OGL的gluLookAt(右手坐標(biāo)系).
      如何建立呢UVN相機(jī)呢? 我們就要利用叉積這個(gè)工具了：兩個(gè)不平行，不重疊的向量的叉積可以得到與這兩個(gè)向量互相垂直的向量。
      如果有了相機(jī)的位置與目標(biāo)的位置那么我們可以確定一個(gè)Z軸（有人問(wèn)為什么是Z軸，因?yàn)槲矬w的遠(yuǎn)與近我們就習(xí)慣用Z值來(lái)表示的）。求Z軸時(shí)要注意 是左手坐標(biāo)系還是右手坐標(biāo)系，左右手坐標(biāo)系XY軸方向相同時(shí)，Z軸的方向相反。所以左手坐標(biāo)系是目標(biāo)位置減去相機(jī)位置，而右手坐標(biāo)系則是相機(jī)位置減去目標(biāo) 位置。記得normalize
     這是我們要得到X與Y軸了。如何求X，Y軸呢？
     一般方法是：
     1、選擇一個(gè)臨時(shí)Y軸，
     2、對(duì)臨時(shí)Y 與Z 軸進(jìn)行叉積求得一個(gè)X軸
     3、X軸再與Z軸進(jìn)行叉積，得到一個(gè)Y軸。
     有了XYZ就可以求出旋轉(zhuǎn)的相機(jī)矩陣了。
     如何選擇一個(gè)Y軸呢？大多數(shù)情況下是（0，1，0），但是如果是相機(jī)位置E與目標(biāo)位置T垂直,即（E-T=（0，+/-1，0）時(shí)），這時(shí)就不能用(0,1,0)了， 因?yàn)閮蓚€(gè)平行向量的叉積是零向量，所以我們就要另選一個(gè)Y軸。
     但是我覺(jué)得我們可以改變方法。
      如果不能選Y軸，我們就選擇一個(gè)臨時(shí)X軸，這個(gè)臨時(shí)Ｘ軸就是（1，0，0）。
     然后再對(duì)臨時(shí)X軸與Z軸進(jìn)行叉積求得一個(gè)Y軸。
     最后Y軸再與Z軸進(jìn)行叉積，得到X軸。
      這樣可以得到XYZ軸。
      最后再根據(jù)行向量與列向量建立相機(jī)矩陣，再進(jìn)行平移。

     相機(jī)坐標(biāo)系->投影坐標(biāo)系.
     投影的目的就是：降維.
      兩種投影方式：正交投影與透視投影.
      在我們TEAM中易穎已經(jīng)寫(xiě)了，我就不多說(shuō)了，大家去看他的文章。

     投影坐標(biāo)系->屏幕坐標(biāo)系
      這是最簡(jiǎn)單的。2D坐標(biāo)變換。也不多說(shuō)。

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計(jì)算機(jī)圖形學(xué)筆記(Part 1 )：計(jì)算機(jī)圖形學(xué)透視投影變換原理及一點(diǎn)和兩點(diǎn)透視

一、平行互分法

吳英凡所寫(xiě)的《透視作圖的新方法——交點(diǎn)法體系》，其中談到的平行互分法，還是有道理的。

其實(shí)簡(jiǎn)單點(diǎn)說(shuō)，就是透視圖上的兩條“原來(lái)空間中的平行線”（在畫(huà)面上透視投影為相交于滅點(diǎn)），通過(guò)其中一條透視投影直線的端點(diǎn)畫(huà)另一條透視投影直線的平行線，必平行于畫(huà)面；這第三條線在畫(huà)面的透視投影的滅點(diǎn)必然在另一條透視投影線上。

二、透視投影變換學(xué)習(xí)總結(jié)

1、用多維數(shù)列表示低維空間坐標(biāo),加深理解齊次坐標(biāo)表示法。

    齊次坐標(biāo)表示法可以方便地運(yùn)算，同時(shí)形狀不變。[x,y,z,0]表示一個(gè)無(wú)窮的點(diǎn)。

2、透視投影變換公式可以看成兩個(gè)矩陣的乘積，其中一個(gè)做透視變換，另外一個(gè)作正投影

   保留的z'值的確切含義：指的是在完全作完透視投影變換之前，僅作透視投影之后的一條線.

   它的幾何意義見(jiàn)李建平《計(jì)算機(jī)圖形學(xué)原理教程》第44頁(yè)。

3、左手和右手坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

   “視點(diǎn)坐標(biāo)系與一般的物體所在的世界坐標(biāo)系不同，它遵循左手法則，即左手大拇指指向Z正軸，與之垂直的四個(gè)手指指向X正軸，四指彎曲90度的方向是Y正軸。而世界坐標(biāo)系遵循右手法則的。”

4、視點(diǎn)坐標(biāo)系的透視變換公式很重要??！王飛著計(jì)算機(jī)圖形學(xué)書(shū)65頁(yè)

5、z'值的確切含義：指的是在完全作完透視投影變換之前，僅作透視投影之后的一條線

三、兩點(diǎn)透視的變換矩陣：

王飛編著《計(jì)算機(jī)圖形學(xué)基礎(chǔ)》的道理是：

從平面圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、錯(cuò)切開(kāi)始推導(dǎo)，兩點(diǎn)透視的變換矩陣可以看成是：

物體本身有一個(gè)物體坐標(biāo)系——xw,yw,zw，視點(diǎn)作為原點(diǎn)又構(gòu)成一個(gè)視點(diǎn)坐標(biāo)系——xe，ye，ze，物體坐標(biāo)系z軸朝上，y軸朝向遠(yuǎn)處；而視點(diǎn)坐標(biāo)系y軸朝上，z軸朝向遠(yuǎn)處。

這樣，最終的二點(diǎn)透視狀態(tài)可以這樣取得，首先把物體的位置的物體坐標(biāo)系表示法轉(zhuǎn)化為視點(diǎn)坐標(biāo)系的表示法（第一個(gè)矩陣），然后圍繞視點(diǎn)坐標(biāo)系的y軸旋轉(zhuǎn)（第二個(gè)矩陣），然后在x，y，z方向上平移（第三個(gè)矩陣），最后做透視變換（第四個(gè)矩陣），它的原文是把平移放在第二步，我在平移之前轉(zhuǎn)動(dòng)，目的是保證了物體旋轉(zhuǎn)的軸在離它不遠(yuǎn)的地方：

我使用的矩陣變換如下，原文是是把平移放在第二步：

[xw,yw,zw,1]* ***

最后所得結(jié)果是一個(gè)新的矩陣，

[xe ye ze 1]=[cos*xw-sin*yw+l   zw+m   2sin*xw+2cos*yw+2n-d   (sin*xw+cos*yw+n）/d]

把最后一項(xiàng)變成1，可得

=[(cos*xw-sin*yw+l)*d/(sin*xw+cos*yw+n   (zw+m)*d/(sin*xw+cos*yw+n)   （2sin*xw+2cos*yw+2n-d）*d/(sin*xw+cos*yw+n)    1 ]

即：

Xe= (cos*xw-sin*yw+l)*d/(sin*xw+cos*yw+n)

Ye=(zw+m)*d/(sin*xw+cos*yw+n)

Ze=(2sin*xw+2cos*yw+2*n-d)*d/(sin*xw+cos*yw+n)

實(shí)際上我的delphi程序里面是這樣的：

xe:=trunc((cos(angle)*eee[ii][k].X-sin(angle)*eee[ii][k].Y+l)*d/(sin(angle)*eee[ii][k].X+cos(angle)*eee[ii][k].Y+n));

        ye:=trunc((hhh[ii][k]+m)*d/(sin(angle)*eee[ii][k].X+cos(angle)*eee[ii][k].Y+n)); //透視變換

        //ze可以考慮使用作為消隱

Ze:=trunc((2*sin(angle)*xw+2*cos(angle)*yw+2*n-d)*d/(sin(angle)*xw+cos(angle)*yw+n));

四、通過(guò)變換過(guò)的兩點(diǎn)透視的結(jié)果xe,ye，zw和*，反求原來(lái)的物體坐標(biāo)xw,yw

即：xe,ye，zw和已知，求出xw,yw

根據(jù)：

Xe= (cos*xw-sin*yw+l)*d/(sin*xw+cos*yw+n)          （1）

Ye=(zw+m)*d/(sin*xw+cos*yw+n)                         （2）

Ze=（2sin*xw+2cos*yw+2n-d）*d/(sin*xw+cos*yw+n) （3）

（1）除以（2）得

Xe/Ye= (cos*xw-sin*yw+l)/ (zw+m)

(Xe*(zw+m))/Ye=cos*xw-sin*yw+l

(Xe*(zw+m))/(Ye* cos)=xw-tan*yw+l/cos

Xw=(Xe*(zw+m))/ (Ye* cos) - (ye*l)/(Ye* cos)+( sin*yw*ye)/ (Ye* cos)

Xw=(Xe*(zw+m)+ sin*yw*ye- ye*l)/ (Ye* cos)            (4)

由（2）得

Ye*(sin*xw+cos*yw+n)= (zw+m)*d

Ye*(sin*xw)+ye* cos*yw+n*ye=(zw+m)*d

把（4）代入上式得

Ye* sin*(Xe*(zw+m)+ sin*yw*ye- ye*l)/ (Ye* cos)+ye* cos*yw+n*ye=(zw+m)*d

約去ye，得

sin*(Xe*(zw+m)+ sin*yw*ye- ye*l)/ cos+ye* cos*yw+n*ye=(zw+m)*d

tan*(Xe*zw+xe*m+ sin*yw*ye- ye*l) +ye* cos*yw+n*ye=(zw+m)*d

tan*Xe*zw+xe*m *tan- ye*l*tan+ sin*tan*yw*ye+ye* cos*yw+n*ye=(zw+m)*d

(sin*tan*ye+ye* cos)*yw+ tan*Xe*zw+xe*m *tan- ye*l*tan+n*ye=(zw+m)*d

最后得

Yw=[(zw+m)*d- tan*Xe*zw- xe*m *tan+ ye*l*tan- n*ye]/ (sin*tan*ye+ye* cos) （5）

而前面已經(jīng)得到

Xw=(Xe*(zw+m)+ sin*yw*ye- ye*l)/ (Ye* cos)            (4)

實(shí)際上相當(dāng)于opengl里面的逆變換，從鼠標(biāo)選中的屏幕位置來(lái)確定對(duì)應(yīng)的三維空間中位置，opengl使用gluUnProject和gluUnProject4來(lái)計(jì)算。