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摘要：本文以VC++ 6.0為編程工具，講述了采取逆濾波和維納濾波兩種圖像恢復(fù)算法對(duì)退化圖像的恢復(fù)實(shí)現(xiàn)過(guò)程。

　　引言

　　圖像恢復(fù)技術(shù)是圖像處理領(lǐng)域一類(lèi)重要的處理技術(shù)，與圖像增強(qiáng)等其他基本圖像處理技術(shù)類(lèi)似，該技術(shù)也是以獲取視覺(jué)質(zhì)量得到某種程度改善為目的的，所不同的是圖像恢復(fù)過(guò)程需要根據(jù)指定的圖像退化模型來(lái)完成，根據(jù)這個(gè)退化模型對(duì)在某種情況下退化或惡化了的退化圖像進(jìn)行恢復(fù)，以獲取到原始的、未經(jīng)過(guò)退化的原始圖像。換句話說(shuō)，圖像恢復(fù)的處理過(guò)程實(shí)際是對(duì)退化圖像品質(zhì)的提升，并通過(guò)圖像品質(zhì)的提升來(lái)達(dá)到圖像在視覺(jué)上的改善。本文以VC++作為開(kāi)發(fā)工具，講述了對(duì)退化圖像進(jìn)行逆濾波和維納濾波處理算法。

　　逆濾波處理

　　對(duì)圖像進(jìn)行恢復(fù)處理通常需要根據(jù)一定的圖像退化模型來(lái)進(jìn)行，一個(gè)簡(jiǎn)單的通用圖像退化模型可將圖像的退化過(guò)程模型化為一個(gè)作用在原始圖像f(x,y)上的退化系統(tǒng)H，作用結(jié)果與一個(gè)加性噪聲n(x,y)的聯(lián)合作用導(dǎo)致產(chǎn)生出了退化圖像g(x,y)，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)形式為g(x,y)=H[f(x,y)]+n(x,y)。根據(jù)上述退化系統(tǒng)H可以從給定的退化圖像g(x,y)得到原始圖像f(x,y)的一個(gè)近似結(jié)果。逆濾波處理就是其中一種無(wú)約束恢復(fù)的圖像恢復(fù)技術(shù)，其恢復(fù)過(guò)程的數(shù)學(xué)形式可表示為F (u,v)=G(u,v)/H(u,v) (u,v=0,1,…,M-1),其中F(u,v)和G(u,v)分別為圖像f(x,y)和g(x,y)的頻域變換,H(u,v)可看作是一個(gè)濾波函數(shù)。由于圖像在退化過(guò)程中存在噪聲的干擾，因此通常情況下的濾波器往往不是正好的1/H(u,v),而是關(guān)于u和v的某個(gè)非線形的恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)M(u,v)。經(jīng)過(guò)以上的分析，圖像的退化和恢復(fù)過(guò)程（模型）大致可用下圖來(lái)表示：


　　一種簡(jiǎn)便的恢復(fù)方法是在選取恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)M(u,v) 時(shí)，如果u2+v2≤w2,則取值1/H(u,v)，否則為1。這樣處理雖然簡(jiǎn)單，但是恢復(fù)后的圖像往往存在較明顯的振鈴現(xiàn)象，通常為了消除振鈴現(xiàn)象，以H(u,v)的值作為判據(jù)，如不大于d(0
　　由于恢復(fù)過(guò)程需要在頻域進(jìn)行，因此需要通過(guò)二維傅立葉變換將圖像由空域變換到頻域。二維的傅立葉變換較一維傅立葉變換要復(fù)雜的多，一般采取連續(xù)2次運(yùn)用一維離散快速傅立葉變換的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，即先沿f(x,y)的每一個(gè)x對(duì)y求變換再乘以N得到F(x,v)，完成第一步變換。然后再將得到的F(x,v)沿f(x,v)的每一個(gè)v對(duì)x求變換即可得到f(x,y)的最終變換F(u,v)，這兩步的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

F(x,v)=N*[(1/N)* f(x,y)exp[-j2πvy/N]] (v=0,1,……,N-1) F(u,v)=(1/N)* F(x,v)exp[-j2πux/N] (u,v=0,1,……,N-1)

　　類(lèi)似也可以得出二維離散傅立葉變換逆變換用一維變換計(jì)算的表達(dá)式：

F(x,v)= F(u,v)exp[j2πux/N] (x,y=0,1,……,N-1) f(x,y)=(1/N)* F(x,v)exp[j2πvy/N]] (y=0,1,……,N-1)

　　在分布進(jìn)行一維傅立葉變換時(shí)，多采用"蝴蝶圖"的快速算法（詳見(jiàn)信號(hào)處理方面資料），其核心算法如下：

int N=(int)pow(2,M); file://N：序列長(zhǎng)度（2的整數(shù)次冪） ReverseOrder(A,N); file://對(duì)空間序列進(jìn)行倒序 for(int i=1;i<=M;i++){ 　int b=(int)pow(2,(i-1)); 　for(int j=0;j<=(b-1);j++) { 　　float p=(float)(pow(2,(M-i))*j*2.0*PI/(float)N); 　　for(int k=j;k<=(N-1);){ 　　　float tr=(float)(A[k+b].Re*cos(p)+A[k+b].Im*sin(p)); file://計(jì)算復(fù)數(shù)運(yùn)算A*U 　　　float ti=(float)(A[k+b].Im*cos(p)-A[k+b].Re*sin(p)); 　　　A[k+b].Re=A[k].Re-tr; file://復(fù)數(shù)運(yùn)算A-tr 　　　A[k+b].Im=A[k].Im-ti; 　　　A[k].Re+=tr; file://復(fù)數(shù)運(yùn)算A+tr 　　　A[k].Im+=ti; 　　　k+=b*2; 　　} 　} }

　　傅立葉逆變換的同傅立葉變換比較相似，只是在計(jì)算exp[j2πvy/N]時(shí)同正變換有符號(hào)的區(qū)別，以及在計(jì)算完成后逆變換需要將值除以N，因此不難寫(xiě)出一維傅立葉逆變換的實(shí)現(xiàn)代碼。在進(jìn)行二維傅立葉變換將圖像由空域變換到頻域之前，首先需要通過(guò)補(bǔ)0的手段將點(diǎn)數(shù)非2的整數(shù)次冪的非正方型網(wǎng)格采樣構(gòu)造為一個(gè)長(zhǎng)寬均為2的整數(shù)次冪的正方型網(wǎng)格：

int WM=(int)(log(W)/log(2)+1.0f); file://計(jì)算圖像寬應(yīng)為2的多少次冪 int HM=(int)(log(H)/log(2)+1.0f); file://計(jì)算圖像高應(yīng)為2的多少次冪 WM=HM=max(WM,HM); file://取二者大值 int WN=(int)pow(2,WM); file://構(gòu)造網(wǎng)格寬度 int HN=(int)pow(2,HM); file://構(gòu)造網(wǎng)格高度 for{int i=0;i;for(int j=0;j 　　if(i 　　　U[i*WN*3+j].Re=D[i*W*3+j]; file://D為圖像序列 　　U[i*WN*3+j].Im=0.0f; 　　}else file://缺位補(bǔ)0 　　U[i*WN*3+j].Re=U[i*WN*3+j].Im=0.0f; 　} }

　　預(yù)處理完畢后，可對(duì)構(gòu)造網(wǎng)格的每一列分別進(jìn)行一維快速傅立葉變換，并將結(jié)果存放在原位置，結(jié)果乘以N，完成第一步的轉(zhuǎn)換，求得F(x,v)：

for(i=0;i 　for(int j=0;j 　　UH[j].Re=U[j*WN*3+i].Re; 　　UH[j].Im=U[j*WN*3+i].Im; 　} 　DFT_FFT(UH,HM); file://對(duì)UH進(jìn)行快速離散傅立葉變換 　for(j=0;j 　　U[j*WN*3+i].Re=HN*UH[j].Re; file://N=HN 　　U[j*WN*3+i].Im=HN*UH[j].Im; 　} }

　　隨即對(duì)構(gòu)造網(wǎng)格的每一行進(jìn)行傅立葉變換，得到最終的變換結(jié)果F(u,v)：

for(i=0;i 　for(int k=0;k<3;k++){ file://對(duì)24位位圖的R、G、B三分量均各自進(jìn)行變換 　　for(int j=0;j 　　　UW[j].Re=U[i*WN*3+j*3+k].Re; 　　　UW[j].Im=U[i*WN*3+j*3+k].Im; 　　} 　　DFT_FFT(UW,WM); file://對(duì)UW序列進(jìn)行快速離散傅立葉變換 　　for(j=0;j 　　　U[i*WN*3+j*3+k].Re=UW[j].Re; 　　　U[i*WN*3+j*3+k].Im=UW[j].Im; 　　} 　} }

　　至于二維傅立葉逆變換則基本上是上述過(guò)程的逆過(guò)程，在此就不再贅述。根據(jù)逆濾波圖像恢復(fù)的設(shè)計(jì)方案，先通過(guò)前面的二維傅立葉變換將退化圖像g(x,y)從空域變換到頻域得到G(u,v)，然后在頻域經(jīng)過(guò)恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)M(u,v)的恢復(fù)處理并經(jīng)過(guò)二維傅立葉逆變換將結(jié)果由頻域轉(zhuǎn)換回空域，就可得到經(jīng)過(guò)恢復(fù)處理的近似原始圖像：

…… dsp.DFT_2D_FFT(m_cpBuffer+54,m_nWidth,m_nHeight,U); file://進(jìn)行二維傅立葉變換 for(int i=0;i 　for(int j=0;j 　　int k=(int)(j/3); 　　D1=(float)sqrt(i*i+k*k); 　　H=1.0f/(1+(D1/D0)*(D1/D0)); file://H(u,v)=1/(1+(u2+v2)/D02)) 　　if(H>0.45f){ file://閥值 d取0.45 　　　U[i*3*WN+j].Re/=H; file://在頻域與M(u,v)相乘 　　　U[i*3*WN+j].Im/=H; 　　}else{ 　　　U[i*3*WN+j].Re*=0.6f; file://如未超過(guò)閥值則M(u,v)取常數(shù)k=0.6 　　　U[i*3*WN+j].Im*=0.6f; 　　} 　} } dsp.DFT_2D_IFFT(m_cpBuffer+54,m_nWidth,m_nHeight,U); file://進(jìn)行傅立葉逆變換

　　這里的逆濾波處理算法采用的是經(jīng)過(guò)改進(jìn)的恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)M(u,v)，因此恢復(fù)后的圖像不會(huì)出現(xiàn)振鈴現(xiàn)象。以標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)圖像Lina為處理對(duì)象應(yīng)用以上恢復(fù)處理算法，效果如下圖所示。其中間圖像為未經(jīng)過(guò)改進(jìn)的簡(jiǎn)單算法，在胳膊和臉部存在較明顯的振鈴現(xiàn)象，而采取了改進(jìn)措施的圖像則沒(méi)有任何振鈴現(xiàn)象出現(xiàn)，圖像得到了較好的恢復(fù)。

維納濾波處理

　　維納（Wiener）濾波是對(duì)退化圖像進(jìn)行恢復(fù)處理的另一種常用算法，是一種有約束的恢復(fù)處理方法，其采用的維納濾波器是一種最小均方誤差濾波器，其數(shù)學(xué)形式比較復(fù)雜：

F(u,v)=[(1/H(u,v))*(|H(u,v)|2)/(|H(u,v)|2+s*[Sn(u,v)/Sf(u,v)])]*G(u,v)

　　當(dāng)s為1時(shí)，上式就是普通的維納濾波；如果s為變量，則為參數(shù)維納濾波，如果沒(méi)有噪聲干擾，即Sn(u,v)=0時(shí)，上式實(shí)際就是前面的逆濾波。從其數(shù)學(xué)形式可以看出：維納濾波比逆濾波在對(duì)噪聲的處理方面要強(qiáng)一些。以上只是理論上的數(shù)學(xué)形式，在進(jìn)行實(shí)際處理時(shí)，往往不知道噪聲函數(shù)Sn(u,v)和Sf(u,v)的分布情況，因此在實(shí)際應(yīng)用時(shí)多用下式進(jìn)行近似處理：

F(u,v)=[(1/H(u,v))* (|H(u,v)|2)/(|H(u,v)|2+K)]*G(u,v)

　　其中K是一個(gè)預(yù)先設(shè)定的常數(shù)。由此可以寫(xiě)出維納濾波的實(shí)現(xiàn)代碼：

…… float K=0.05f; file://預(yù)先設(shè)定常數(shù)K dsp.DFT_2D_FFT(m_cpBuffer+54,m_nWidth,m_nHeight,U); file://轉(zhuǎn)換到頻域 for(int i=0;i 　for(int j=0;j 　　int k=(int)(j/3); 　　D1=(float)sqrt(i*i+k*k); 　　float H=1.0f/(1+(D1/D0)*(D1/D0));//H(u,v)= 1/(1+(u2+v2)/D02)) 　　U[i*3*WN+j].Re=(U[i*3*WN+j].Re*H)/(H*H+K); file://維納濾波 　　U[i*3*WN+j].Im=(U[i*3*WN+j].Im*H)/(H*H+K); 　} } dsp.DFT_2D_IFFT(m_cpBuffer+54,m_nWidth,m_nHeight,U);//返回到空域

　　對(duì)經(jīng)過(guò)退化的Lina圖像應(yīng)用維納濾波處理，可得到如右圖所示的恢復(fù)效果圖。由于維納濾波在進(jìn)行恢復(fù)時(shí)對(duì)噪聲進(jìn)行了處理，因此其恢復(fù)效果要比逆濾波要好，尤其是退化圖像的噪聲干擾較強(qiáng)時(shí)效果更為明顯。


　　小結(jié)

　　本文對(duì)比較常用的兩種圖像恢復(fù)算法逆濾波和維納濾波的實(shí)現(xiàn)過(guò)程作了較為詳細(xì)的講述，通過(guò)對(duì)圖像質(zhì)量較低的退化圖像應(yīng)用上述算法可以使圖像質(zhì)量得到一定程度的改善，在視覺(jué)上可以得到較好的改觀。類(lèi)似的圖像恢復(fù)算法還有有約束最小平方恢復(fù)算法等多種，應(yīng)視具體情況靈活選擇合適的算法以獲取最佳的恢復(fù)效果。本文所述程序在Windows 98下，由Microsoft Visual C++ 6.0編譯通過(guò)。